第八章时域分析MATLAB

1、1利用利用MATLAB可以求取连续系统和离散系统的单位阶跃响应、可以求取连续系统和离散系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应等。单位脉冲响应等。第八章第八章 时域分析法的时域分析法的MATLAB实现实现一、连续系统单位阶跃响应一、连续系统单位阶跃响应在在MATLAB中，求连续系统单位阶跃响应的函数为中，求连续系统单位阶跃响应的函数为step ( )，其调用，其调用格式为：格式为：step (sys); step (sys, t)：函数在当前图形窗口中直接绘制出系统的：函数在当前图形窗口中直接绘制出系统的阶跃响应曲线。式中阶跃响应曲线。式中sys可以是由可以是由tf、zpk和和ss中任何一个函数建立中

2、任何一个函数建立的系统模型；的系统模型；t可以指定为一个仿真终止时间，此时可以指定为一个仿真终止时间，此时t为标量；也为标量；也可将其设置为一个时间矢量可将其设置为一个时间矢量(用用t=0:dt:Tfinal的形式的形式)。如果是离散。如果是离散系统，一定要注意时间间隔必须与采样周期相匹配；系统，一定要注意时间间隔必须与采样周期相匹配；2uy, t, x=step (sys)：用于计算系统阶跃响应的输出数据而不绘制：用于计算系统阶跃响应的输出数据而不绘制曲线。曲线。y为各个仿真时刻的输出向量，为各个仿真时刻的输出向量，t为仿真的时间向量，为仿真的时间向量，x为系为系统的状态向量相对于时间的响应

3、数据。统的状态向量相对于时间的响应数据。一定注意：一定注意：y, t, x三个元素三个元素的顺序不能错！的顺序不能错！例例8-1已知单位负反馈系统的前向通道的传递函数为：已知单位负反馈系统的前向通道的传递函数为：试作出其单位阶跃响应曲线。试作出其单位阶跃响应曲线。 sssG2802 其其MATLAB命令如下：命令如下：num=80;den=1,2,0;sys=tf (num, den);closys=feedback(sys,1);step (closys) 3MATLAB中用函数命令中用函数命令impulse ( )来求连续系统单位脉冲响来求连续系统单位脉冲响应，其调用格式为：应，其调用格式

4、为：二、连续系统单位脉冲响应二、连续系统单位脉冲响应uimpulse (sys); impulse (sys, t)：函数在当前图形窗口中直接绘制：函数在当前图形窗口中直接绘制出系统的脉冲响应曲线。式中出系统的脉冲响应曲线。式中sys可以是由可以是由tf、zpk和和ss中任何一个中任何一个函数建立的系统模型；函数建立的系统模型；t可以指定为一个仿真终止时间，此时可以指定为一个仿真终止时间，此时t为为标量；也可将其设置为一个时间矢量标量；也可将其设置为一个时间矢量(用用t=0:dt:Tfinal的形式的形式)。如。如果是离散系统，一定要注意时间间隔必须与采样周期相匹配；果是离散系统，一定要注意时

5、间间隔必须与采样周期相匹配；uy, t, x=impulse (sys)：用于计算系统单位脉冲响应的输出数据而：用于计算系统单位脉冲响应的输出数据而不绘制曲线。不绘制曲线。y为各个仿真时刻的输出向量，为各个仿真时刻的输出向量，t为仿真的时间向量，为仿真的时间向量，x为系统的状态向量相对于时间的响应数据。为系统的状态向量相对于时间的响应数据。一定注意：一定注意：y, t, x三三个元素的顺序不能错！个元素的顺序不能错！4MATLAB中没有求斜坡响应的函数，根据闭环传递函数的定义：中没有求斜坡响应的函数，根据闭环传递函数的定义：三、连续系统单位斜坡响应三、连续系统单位斜坡响应 sRsCs 对于单位

6、阶跃信号有：对于单位阶跃信号有： sssRssCssR11 对于单位斜坡信号有：对于单位斜坡信号有： ssssssRssCssR111122 由此可以看出：可以将系统闭环传递函数除以拉氏算子由此可以看出：可以将系统闭环传递函数除以拉氏算子s，再使，再使用用step函数就不再是单位阶跃响应，而是单位斜坡响应。在函数就不再是单位阶跃响应，而是单位斜坡响应。在MATLAB中，只需在系统闭环传递函数分母多项式向量最末位补中，只需在系统闭环传递函数分母多项式向量最末位补上一个上一个“0”即可。即可。5MATLAB中没有求单位加速度响应的函数，同样可根据闭环传递中没有求单位加速度响应的函数，同样可根据闭环

7、传递函数的定义：函数的定义：四、连续系统单位加速度响应四、连续系统单位加速度响应 sRsCs 对于单位阶跃信号有：对于单位阶跃信号有： sssRssCssR11 对于单位加速度信号有：对于单位加速度信号有： 2331111ssssssRssCssR 由此可以看出：可以将系统闭环传递函数除以拉氏算子由此可以看出：可以将系统闭环传递函数除以拉氏算子s2，再，再使用使用step函数就不再是单位阶跃响应，而是单位加速度响应。在函数就不再是单位阶跃响应，而是单位加速度响应。在MATLAB中，只需在系统闭环传递函数分母多项式向量最末位补中，只需在系统闭环传递函数分母多项式向量最末位补上两个上两个“0”即可

8、。即可。6零输入响应是系统初始状态引发的动态过程，此时系统无输零输入响应是系统初始状态引发的动态过程，此时系统无输入信号的作用，响应只与系统的初始状态、结构及参数有关。入信号的作用，响应只与系统的初始状态、结构及参数有关。五、连续系统零输入响应响应五、连续系统零输入响应响应uinitial (sys, x0); initial (sys, x0, t)：函数在当前图形窗口中直接绘：函数在当前图形窗口中直接绘制出系统的零输入响应曲线。式中制出系统的零输入响应曲线。式中sys必须是必须是ss函数建立的状态空函数建立的状态空间模型；间模型；x0为初始状态；为初始状态；t可以指定为一个仿真终止时间，此

9、时可以指定为一个仿真终止时间，此时t为标量；也可将其设置为一个时间矢量为标量；也可将其设置为一个时间矢量(用用t=0:dt:Tfinal的形式的形式)。如果是离散系统，一定要注意时间间隔必须与采样周期相匹配；如果是离散系统，一定要注意时间间隔必须与采样周期相匹配；uy, t, x=initial (sys, x0)：用于计算系统零输入响应的输出数据而：用于计算系统零输入响应的输出数据而不绘制曲线。不绘制曲线。y为各个仿真时刻的输出向量，为各个仿真时刻的输出向量，t为仿真的时间向量，为仿真的时间向量，x为系统的状态向量相对于时间的响应数据。为系统的状态向量相对于时间的响应数据。一定注意：一定注意

10、：y, t, x三三个元素的顺序不能错！个元素的顺序不能错！7六、离散系统的单位阶跃、单位脉冲响应等六、离散系统的单位阶跃、单位脉冲响应等u离散系统的单位阶跃响应函数为离散系统的单位阶跃响应函数为dstep ( )；其调用格式同连续系；其调用格式同连续系统；统；u离散系统的单位脉冲响应函数为离散系统的单位脉冲响应函数为dimpulse ( )；u离散系统的零输入响应函数为离散系统的零输入响应函数为dinitial ( )；8线性控制系统绝对稳定的首要条件是：系统特征方程的根都线性控制系统绝对稳定的首要条件是：系统特征方程的根都位于复平面虚轴的左半部。位于复平面虚轴的左半部。故在故在MATLAB

11、中，判断系统是否绝对稳定，只需解出控制系中，判断系统是否绝对稳定，只需解出控制系统闭环特征方程的根，再根据这些根是否均在复半平面虚轴左半统闭环特征方程的根，再根据这些根是否均在复半平面虚轴左半部分即可判定系统是否绝对稳定。而要求特征方程的根，只需调部分即可判定系统是否绝对稳定。而要求特征方程的根，只需调用前面所讲的函数指令用前面所讲的函数指令roots( )即可。这种方法称为代数稳定性判即可。这种方法称为代数稳定性判据。还可以用根轨迹法和频域法来判断系统稳定性，这在后面将据。还可以用根轨迹法和频域法来判断系统稳定性，这在后面将会讲到。会讲到。9例例8-2其其MATLAB命令如下：命令如下：设系

12、统特征方程为：设系统特征方程为： 试用代数稳定判据判断该系统的稳定性。试用代数稳定判据判断该系统的稳定性。05432234 ssssP=1 2 3 4 5; roots(P)程序运行结果为：程序运行结果为：ans = 0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i可以看出系统特征根中有两个实可以看出系统特征根中有两个实部为正值，所以该闭环系统是不部为正值，所以该闭环系统是不稳定的。稳定的。解解10例例8-3其其MATLAB命令如下：命令如下：已知系统开环传递函数为：已知系统开环传递函数为： 试用代数稳定

13、判据判断该闭环系统的稳定性。试用代数稳定判据判断该闭环系统的稳定性。 2012100 sssssGz=-2;p=0,-1,-20;k=100;num,den=zp2tf(z,p,k); p=num+den; roots(p)程序运行结果为：程序运行结果为：ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010可以看出系统特征根的实部全为负值，所以该闭环系统是稳定的。可以看出系统特征根的实部全为负值，所以该闭环系统是稳定的。解解11在这一小节里必须注意：要计算控制系统稳态误差，首先要在这一小节里必须注意：要计算控制系统稳态误差，首先要确定系统是稳定的！确定系统是稳定的！一、静态误差系数一、

14、静态误差系数 位置误差系数位置误差系数Kp: 速度误差系数速度误差系数Kv： 加速度误差系数加速度误差系数Ka： sGKksp0lim sGsKksv 0lim sGsKksa 20lim以上三式中，以上三式中，Kp、Kv、Ka分别反映了系统跟踪阶跃输入、分别反映了系统跟踪阶跃输入、斜坡输入和加速度输入的能力。斜坡输入和加速度输入的能力。12例例8-4（1）对系统）对系统1：首先判断其稳定性：首先判断其稳定性两个单位负反馈系统的闭环传递函数分别为：两个单位负反馈系统的闭环传递函数分别为： 试分别求两个系统的位置、速度和加速度误差系数试分别求两个系统的位置、速度和加速度误差系数Kp、Kv和和Ka

15、。 6555,732122231 ssssssss 根据代数稳定判据，该特征方程根据代数稳定判据，该特征方程的根有的根有2个有正实部，故该闭环个有正实部，故该闭环系统是不稳定的。故不能求其误系统是不稳定的。故不能求其误差系数。差系数。解解p1=1 2 3 7; roots(p1)程序运行结果为：程序运行结果为：ans = -2.1325 0.0662 + 1.8106i 0.0662 - 1.8106i13（2）对系统）对系统2：首先判断其稳定性：首先判断其稳定性：特征方程的根均位于复平特征方程的根均位于复平面虚轴左半部分。故可以面虚轴左半部分。故可以求其稳态误差系数。求其稳态误差系数。p2=

16、5 5 6;roots(p2)程序运行结果为：程序运行结果为：ans = -0.5000 + 0.9747i -0.5000 - 0.9747isyms s phi2 Gk2 Kp Kv Ka; phi2=5/(5*s2+5*s+6);Gk2=solve(5/(5*s2+5*s+6)=Gk2/(1+Gk2),Gk2);Kp=limit(Gk2,s,0)Kv=limit(s*Gk2,s,0)Ka=limit(s2*Gk2,s,0)运行结果为：运行结果为：Kp =5Kv =0，Ka =014根据自动控制原理，三种典型输入信号下的静态误差系数和稳根据自动控制原理，三种典型输入信号下的静态误差系数和稳

17、态误差分别如表态误差分别如表8-1和和8-2所示。所示。二、三种典型信号下的稳态误差计算二、三种典型信号下的稳态误差计算类型类型位置误差位置误差系数系数Kp速度误差系速度误差系数数Kv加速度误加速度误差系数差系数Ka0型型K00I型型K0II型型K表表8-1 给定输入信号下的静态误差系数给定输入信号下的静态误差系数类型类型阶跃输入阶跃输入r(t)=Ap(t)斜坡输入斜坡输入r(t)=Av*t加速度输入加速度输入r(t)=Aa*t2/20型型Ap/(K+1)I型型0Av/KII型型00Aa/K表表8-2 给定输入信号下的稳态误差给定输入信号下的稳态误差15例例8-5由于在例由于在例8-4中已经判

18、断了系统的稳定性，故在这里不再对系中已经判断了系统的稳定性，故在这里不再对系统进行稳定性判断。统进行稳定性判断。已知一个单位负反馈系统的闭环传递函数为：已知一个单位负反馈系统的闭环传递函数为： (1)试绘制出该系统的单位阶跃响应曲线并求此响应的稳态误差；试绘制出该系统的单位阶跃响应曲线并求此响应的稳态误差；(2)试绘制出该系统的单位斜坡响应曲线并求此响应的稳态误差；试绘制出该系统的单位斜坡响应曲线并求此响应的稳态误差；(3)试绘制出该系统的单位加速度响应曲线并求此响应的稳态误差；试绘制出该系统的单位加速度响应曲线并求此响应的稳态误差； 65552 sss 解解（1）单位阶跃响应与其稳态误差）单

19、位阶跃响应与其稳态误差syms s phi; num=5;den=5,5,6;phi=tf (num, den);t=0:0.01:30;y=step (phi, t);subplot(1,2,1);plot(t,y);gridsubplot(1,2,2);ess=1-y;plot(t,ess);grid16该系统是该系统是0型系统，由表型系统，由表8-2所知，其单位阶跃响应的稳态误差为所知，其单位阶跃响应的稳态误差为ess=1/(1+K)=1/6=0.167。如果取。如果取t=0:1:30，计算，计算ess=1-y可得出结果可得出结果0.167。17（2）单位斜坡响应与其稳态误差）单位斜坡响

20、应与其稳态误差syms s phi1;num=5;den=5,5,6,0;phi1=tf (num, den);t=0:0.01:30;y=step(phi1,t);subplot(1,2,1);plot(t,y);gridsubplot(1,2,2);ess=t- y; plot (t, ess); grid该系统是该系统是0型系统，由表型系统，由表8-2所知，其单位斜坡响应的所知，其单位斜坡响应的稳态误差为稳态误差为。由稳态误。由稳态误差曲线也可看出来。差曲线也可看出来。18（3）单位加速度响应与其稳态误差）单位加速度响应与其稳态误差syms s phi2;num=5;den=5,5,6,

21、0,0;phi2=tf (num, den);t=0:0.01:30;y=step(phi2,t);subplot(1,2,1);plot(t,y);gridsubplot(1,2,2);ess=1/2*t.2-y;plot(t,ess);grid该系统是该系统是0型系统，由表型系统，由表8-2所知，其单位加速度响应所知，其单位加速度响应的稳态误差为的稳态误差为。由稳态。由稳态误差曲线也可看出来。误差曲线也可看出来。19系统误差：输出量的希望值系统误差：输出量的希望值 和实际值和实际值 之差：之差：)()()(0tctct)(0tc)(tc系统偏差：系统的输入系统偏差：系统的输入 和主反馈信号

22、和主反馈信号 之差。即之差。即)()()(tbtrte)(tr)(tb系统稳态误差：当系统稳态误差：当tt时的系统误差，用时的系统误差，用 表示。即表示。即)(limttssss系统稳态偏差：当系统稳态偏差：当tt时的系统偏差，用时的系统偏差，用 表示。即表示。即)(limteetsssse对单位反馈系统，给定作用对单位反馈系统，给定作用 即为输出量的希望即为输出量的希望值，值， ，偏差等于误差。，偏差等于误差。)()(0tctr)(trsssse对非单位反馈系统，给定作用对非单位反馈系统，给定作用 只是希望输出的代表只是希望输出的代表值，值， ，偏差不等于误差。，偏差不等于误差。)()(0t

23、ctr)(trsssse三、稳态误差计算举例三、稳态误差计算举例20对单位负反馈系统：对单位负反馈系统： sRssEssRsCsRsRsEsCsRsE 11稳态误差：稳态误差： sEsteestss 0limlim21对非单位负反馈系统：对非单位负反馈系统： sHsCsRsBsRsE 其等效图如图所示，可得系统输出量的期望值为：其等效图如图所示，可得系统输出量的期望值为： sHsRsR 由左图有：由左图有： sGsCsE 则系统稳态误差：则系统稳态误差： sHsGssRssHsGsCssHsEssEsteesssstss 0000limlimlimlimlim再由右等效图有：再由右等效图有：

24、sHsEsHsGsCsE 22例例8-6解解（1）首先要判断系统稳定性：）首先要判断系统稳定性：一反馈系统前向通道传递函数一反馈系统前向通道传递函数 与反馈通道传递函数与反馈通道传递函数 系统输入阶跃信号时，试计算系统输出端的稳态位置误差系统输入阶跃信号时，试计算系统输出端的稳态位置误差ess。 210 ssG 1 sH当当 而系统输入信号为斜坡信号时再计算而系统输入信号为斜坡信号时再计算系统输出端的稳态位置误差系统输出端的稳态位置误差ess。 ssHsssG101,210 1,210 sHssG num1=10;den1=1 2;G=tf(num1,den1);phi=feedback(G,

25、1);phi.den1ans = 1 12表明系统闭环特征方程为表明系统闭环特征方程为s+12=0，故闭环特征根为故闭环特征根为-12。闭环系统稳定。闭环系统稳定。23 ssHsssG101,210 表明系统闭环根均为负，故此闭环表明系统闭环根均为负，故此闭环系统稳定。系统稳定。num2=10;den2=1 2 0;G2=tf(num2,den2);H2=tf(10 1,1);phi2=feedback(G2,H2) Transfer function: 10-s2 + 102 s + 10p=1 102 10;roots(p)ans = -101.9019 -0.098124 ssRsHss

26、G/1, 1,210 （2 2） 单位负反馈系统阶跃信号输入时，系统稳态误差：单位负反馈系统阶跃信号输入时，系统稳态误差： sssssRsssEsessssss 1lim11lim1limlim0000num1=10;den1=1 2;G1=tf(num1,den1);phi1=feedback(G1,1) Transfer function: 10-s + 12ess=limit(1-10/(s+12),s,0) ess = 1/625 21,101,210ssRssHsssG （3 3） num2=10;den2=1 2 0;G2=tf(num2,den2);H2=tf(10 1,1);p

27、hi2=feedback(G2,H2) Transfer function: 10-s2 + 102 s + 10输入斜坡信号时系统稳态误差：输入斜坡信号时系统稳态误差： sHsGsssHsGssssHsGssRsesssss 1lim1limlim020026ess=limit(10/(s*(s2+102*s+10)/(10*(1+10*s)/(s*(s+2),s,0) ess = 1/527在自动控制原理中，最常用的阶跃响应性能指标有在自动控制原理中，最常用的阶跃响应性能指标有4个：上个：上升时间升时间tr，峰值时间，峰值时间tp，超调量，超调量%和调整时间和调整时间ts。一、一阶系统一、

28、一阶系统sKsG)(TsTTsKsKsKsKs11111)(TsssTssRssC111111)()()(1( ) ( )1tTc tLC se 28由图中可以看出，一阶由图中可以看出，一阶系统的阶跃响应是一个按系统的阶跃响应是一个按指数规律单调上升的过程。指数规律单调上升的过程。其动态性能指标中无超调其动态性能指标中无超调量、峰值时间和上升时间量、峰值时间和上升时间等。一般只需计算的动态等。一般只需计算的动态性能指标就是调节时间性能指标就是调节时间ts。 Tts43 29)s( snn 22R(s)Y(s)+-特征方程：特征方程：01222 TssT 特征根：特征根：122, 1 nnsnn

29、T 1时间常数时间常数阻尼系数阻尼系数无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率二、二阶系统二、二阶系统 121222222 TssTssnnn 3021,21nns j s1s2y(t)t1拐拐点点令令 s1=-1/T1, s2=-1/T21 21212121221/1( )(1/)(1/)1111/1/TTY ss sTsTTTsTT sTTT sT1211121212( )1( )ttTTTTy tteeTTTT特征方程有两个不同的负实根。其响应曲线是带拐点的非振特征方程有两个不同的负实根。其响应曲线是带拐点的非振荡曲线。荡曲线。31tnn,ne )()t (yTs 11121 j n y(t

30、)t特征方程有一对相等的负实特征方程有一对相等的负实根。其响应曲线是一条非振荡根。其响应曲线是一条非振荡曲线。曲线。32(s) =s2+2ns+n2n2n-nj00 1时：时：21,21nnsj 21( )1sin()1ntdc tet cos=21dn特征方程有一对共轭复数根。其响应曲线是一条衰减振荡曲线。特征方程有一对共轭复数根。其响应曲线是一条衰减振荡曲线。3321( )1sin()1ntdc tet 包络线包络线134ttyTjjsnn cos)(,1121 j nj nj y(t)t特征方程有一对共轭虚根。其瞬态响应是无衰减的周期振荡。特征方程有一对共轭虚根。其瞬态响应是无衰减的周期

31、振荡。35超调量超调量调整时间调整时间峰值时间峰值时间上升时间上升时间21%100%e34sntdpt drt 1ln1ln222 36例例8-6设一单位负反馈控制系统的开环传递函数为：设一单位负反馈控制系统的开环传递函数为： 试绘制出该闭环系统的单位阶跃响应曲线并计算系统的动态性能指标。试绘制出该闭环系统的单位阶跃响应曲线并计算系统的动态性能指标。 sssG 225. 1解解（1）首先绘制其单位阶跃响应曲线：）首先绘制其单位阶跃响应曲线：num=1.25;den=1 1 0;G=tf (num, den);phi=feedback(G,1);step (phi)37（2）计算系统的性能指标：

32、）计算系统的性能指标：wn=sqrt(1.25); zeta=solve(2*zeta*sqrt(1.25)=1,zeta);系统的单位阶跃响应曲线是衰减振荡曲线。属于欠阻尼系统。系统的单位阶跃响应曲线是衰减振荡曲线。属于欠阻尼系统。由前面的计算公式可知，系统的动态性能指标与阻尼系数由前面的计算公式可知，系统的动态性能指标与阻尼系数和无和无阻尼自然振荡频率阻尼自然振荡频率n有关系。故首先要求出这两个参数。有关系。故首先要求出这两个参数。beta=atan(zeta);tr=(pi-beta)/(wn*sqrt(1-(zeta)2)tr=simplify (tr)tp=pi/(wn*sqrt(1

33、-(zeta)2)tp=simplify (tp)ts=3/(zeta*wn)ts=simplify (ts)sigma=exp(-pi*zeta/(1-(zeta)2)(1/2)sigma=simplify (sigma) 38tr=2.7211; tp=3.1416;sigma=0.2079;ts=5.9999程序运行结果为：程序运行结果为：例例8-7已知系统结构如图所示。试确定已知系统结构如图所示。试确定k值，使阻尼系数值，使阻尼系数=0.5=0.5，绘制此，绘制此系统单位阶跃响应曲线并计算此时的单位阶跃响应的动态性能指标。系统单位阶跃响应曲线并计算此时的单位阶跃响应的动态性能指标。 要

34、解此题，首先必须求出系统闭环传递函数要解此题，首先必须求出系统闭环传递函数。 39解解（1）首先求出此系统闭环传递函数：）首先求出此系统闭环传递函数：syms s G1 G2 H1 H2 phi1 phi2 k;G1=16/(s+0.8);H1=k;phi1=G1/(1+G1*H1);G2=phi1*1/s;H2=1;phi2=factor(G2/(1+G2*H2)phi2 = 80/(5*s2+80*s*k+4*s+80)程序运行结果为：程序运行结果为： 168 . 0161680480580222 sksskss 即闭环系统传递函数为：即闭环系统传递函数为：（2）已知）已知=0.5=0.5，求，求k。wn=sqr