2021年中考数学三轮冲刺旋转问题解答题冲刺练习含答案

1、2021年中考数学三轮冲刺旋转问题解答题冲刺练习操作：在abc中，ac=bc=2，c=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边ab的中点p处，将三角板绕点p旋转，三角板的两直角边分别交射线ac、cb于d、e两点（不包括射线的端点）.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究：三角板绕点p旋转，观察线段pd和pe之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.三角板绕点p旋转，pbe是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出pbe为等腰三角形时ce的长；若不能，请说明理由.若将三角板的直角顶点放在斜边ab上的m处，且ammb13，和前面一样操作，试问线段md和me之间

2、有什么数量关系？并结合如图4加以证明. 已知rtabc中，acb=90°，ca=cb,有一个圆心角为45°，半径的长等于ca的扇形cef绕点c旋转，且直线ce，cf分别与直线ab交于点m，n（）当扇形cef绕点c在acb的内部旋转时，如图，求证：mn2=am2+bn2；思路点拨：考虑mn2=am2+bn2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将acm沿直线ce对折，得dcm，连dn，只需证dn=bn，mdn=90°就可以了请你完成证明过程： （）当扇形cef绕点c旋转至图的位置时，关系式mn2=am2+bn2；是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说

3、明理由 如图，o是等边abc内一点，oa=3，ob=4，oc=5，将线段bo绕点b逆时针旋转60°得到线段bo.（1）求点o与o的距离；（2）证明：aob=150°；（3）求四边形aobo的面积（4）直接写出aoc与aob的面积和 小明在玩一副三角板时发现：含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合（如图）.即c´da´的顶点a´、c´分别与bac的顶点a、c重合,其中ab=.现在，他让c´da´固定不动，将bac通过变换使斜边bc经过c´da´

4、;的直角顶点d （1）求ad的长度；（2）如图，将bac绕点c按顺时针方向旋转角度（0°<<180°），使bc边经过点d，则= °；（3）如图，将bac绕点a按逆时针方向旋转，使bc边经过点d求点c走过的路线长；（4）如图，将bac沿射线a´c´方向平移m个单位长度，使bc边经过点d，求m的值 如图，已知点p是正方形abcd内的一点，连结pa，pb，pc（1）如图甲，将pab绕点b顺时针旋转90°到p/cb的位置设ab的长为a，pb的长为b(b<a)，求pab旋转到p/cb的过程中边pa所扫过区域（图甲中阴影部分）的

5、面积；若pa=3，pb=6，apb=135°，求pc的长（2）如图乙，若pa2pc2=2pb2，请说明点p必在对角线ac上 问题：如图1，在等边三角形abc内有一点p，且pa=2， pb=， pc=1求bpc度数的大小和等边三角形abc的边长李明同学的思路是：将bpc绕点b逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）连接pp，可得ppb是等边三角形，而ppa又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以bpa=150°，而bpc=bpa=150°进而求出等边abc的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形abcd内有一

6、点p，且pa=，bp=，pc=1求bpc度数的大小和正方形abcd的边长 如图，点p是正方形abcd内的一点，连接cp，将线段cp绕点c顺时旋转90°，得到线段cq，连接bp，dq(1)如图1，求证：bcpdcq；(2)如图，延长bp交直线dq于点e如图2，求证：bedq；如图3，若bcp为等边三角形，判断dep的形状，并说明理由如图1，abc中，ca=cb，acb=，d为abc内一点，将cad绕点c按逆时针方向旋转角得到cbe，点a，d的对应点分别为点b，e，且a，d，e三点在同一直线上(1)填空：cde=   (用含的代数式表示)；(2)如图2，若=60

7、76;，请补全图形，再过点c作cfae于点f，然后探究线段cf，ae，be之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若=90°，ac=5，且点g满足agb=90°，bg=6，直接写出点c到ag的距离如图1，将两个完全相同的三角形纸片abc和dec重合放置，其中c=90°，b=e=30°.(1)操作发现如图2，固定abc，使dec绕点c旋转，当点d恰好落在ab边上时，填空：线段de与ac的位置关系是；设bdc的面积为s1，aec的面积为s2，则s1与s2的数量关系是.(2)猜想论证当dec绕点c旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中s1与s2的数量关系仍然

8、成立，并尝试分别作出了bdc和aec中bc、ce边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知abc=60°，点d是角平分线上一点，bd=cd=4，deab交bc于点e(如图4).若在射线ba上存在点f，使sdcf=sbde，请直接写出相应的bf的长.在abc中，ca=cb，acb=点p是平面内不与点a，c重合的任意一点连接ap，将线段ap绕点p逆时针旋转得到线段dp，连接ad，bd，cp(1)观察猜想如图1，当=60°时，的值是 ，直线bd与直线cp相交所成的较小角的度数是 (2)类比探究如图2，当=90°时，请写出的值及直线bd与直线cp相交所成的小角的度数

9、，并就图2的情形说明理由(3)解决问题当=90°时，若点e，f分别是ca，cb的中点，点p在直线ef上，请直接写出点c，p，d在同一直线上时的值参考答案解：（1）pd=pe；（2）1，,（3）me=3md. （1）证明:将沿直线对折，得，连， 则有，又由，得 由,，得又， 有， 在rt中，由勾股定理，得即 （）关系式仍然成立 证明：将沿直线对折，得，连， 则 有，又由，得 由，得 又，有， 在rt中，由勾股定理，得即解：（1）等边abc，ab=cb，abc=600。线段bo以点b为旋转中心逆时针旋转60°得到线段bo，bo=bo，oao=600oba=600abo=oba。

10、boaboc。boa可以由boc绕点b逆时针旋转60°得到 连接oo，bo=bo，oao=600，obo是等边三角形oo=ob=4（2）aoo中，三边长为oa=oc=5，oo=ob=4，oa=3，是一组勾股数，aoo是直角三角形aob=aoooob =900600=150° （3） （4）如图所示，将aob绕点a逆时针旋转60°，使得ab与ac重合，点o旋转至o点aoo是边长为3的等边三角形，coo是边长为3、4、5的直角三角形则 (1)连结pp，证为等腰直角三角形，从而pc9(2)将pab绕点b顺时针旋转90°到pcb的位置，由勾股逆定理证出90

11、76;，再证bpcapb180°，即点p在对角线ac上解：(1)证明：bcd=90°，pcq=90°，bcp=dcq，在bcp和dcq中，bcpdcq(sas)；(2)如图b，bcpdcq，cbf=edf，又bfc=dfe，def=bcf=90°，bedq；bcp为等边三角形，bcp=60°，pcd=30°，又cp=cd，cpd=cdp=75°，又bpc=60°，cdq=60°，epd=180°cpdcpb=180°75°60=45°，同理：edp=45°

12、，dep为等腰直角三角形解：(1)将cad绕点c按逆时针方向旋转角得到cbeacdbce，dce=cd=cecde=故答案为：(2)ae=be+cf理由如下：如图，将cad绕点c按逆时针方向旋转角60°得到cbeacdbcead=be，cd=ce，dce=60°cde是等边三角形，且cfdedf=ef=ae=ad+df+efae=be+cf(3)如图，当点g在ab上方时，过点c作ceag于点e，acb=90°，ac=bc=5，cab=abc=45°，ab=10acb=90°=agb点c，点g，点b，点a四点共圆agc=abc=45°，

13、且ceagagc=ecg=45°ce=geab=10，gb=6，agb=90°ag=8ac2=ae2+ce2，(5)2=(8ce)2+ce2，ce=7(不合题意舍去)，ce=1若点g在ab的下方，过点c作cfag，同理可得：cf=7点c到ag的距离为1或7解：(1)dec绕点c旋转点d恰好落在ab边上，ac=cd，bac=90°b=90°30°=60°，acd是等边三角形，acd=60°，又cde=bac=60°，acd=cde，deac；b=30°，c=90°，cd=ac=ab，bd=ad=a

14、c，根据等边三角形的性质，acd的边ac、ad上的高相等，bdc的面积和aec的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即s1=s2；故答案为：deac；s1=s2；(2)如图，dec是由abc绕点c旋转得到，bc=ce，ac=cd，acn+bcn=90°，dcm+bcn=180°90°=90°，acn=dcm，在acn和dcm中，acndcm(aas)，an=dm，bdc的面积和aec的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即s1=s2；(3)如图，过点d作df1be，易求四边形bedf1是菱形，所以be=df1，且be、df1上的高相等，此时sdc

15、f1=sbde；过点d作df2bd，abc=60°，f1dbe，f2f1d=abc=60°，bf1=df1，f1bd=abc=30°，f2db=90°， f1df2=abc=60°，df1f2是等边三角形，df1=df2，bd=cd，abc=60°，点d是角平分线上一点，dbc=dcb=×60°=30°，cdf1=180°bcd=180°30°=150°，cdf2=360°150°60°=150°，cdf1=cdf2，在cdf

16、1和cdf2中，cdf1cdf2(sas)，点f2也是所求的点，abc=60°，点d是角平分线上一点，deab，dbc=bde=abd=×60°=30°，又bd=4，be=×4÷cos30°=2÷=，bf1=，bf2=bf1+f1f2=+=，故bf的长为或.解：(1)如图1中，延长cp交bd的延长线于e，设ab交ec于点opad=cab=60°，cap=bad，ca=ba，pa=da，capbad(sas)，pc=bd，acp=abd，aoc=boe，beo=cao=60°，=1，线bd与直线cp相交所成的较小角的度数是60°，故答案为1，60°(2)如图2中，设bd交ac于点o，bd交pc于点epad=cab=45°，pac=dab，=，dabpac，pca=dba，=，eoc=aob，ceo=oabb=45°，直线bd与直线cp相交所成的小角的度数为45°(3)如图31中，当点d在线段pc上时，延长ad交bc的延长线于hce=ea，cf=fb，efab，efc=abc=45°，pao=45°，pao=ofh，poa=foh，h=apo，apc=90°