中考数学动态几何题中的定值型问题赏析

1、中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析在动态几何问题中，当一些元素按照一定的规律在确定的范围内变化时，与它相关的另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这类问题称为几何定值问题。定值问题由于有时甚至不知道定值的结果，而使人难以下手，给问题解决带来困难。解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在“可变”的元素中寻求“不变”的量一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定值。以下以2010年中考题为例说明具体的求解策略一、长度定值例1（2010山东聊城）如图，点p是矩形abcd的边ad的一个动点，矩形的两条边ab、b

2、c的长分别为3和4，那么点p到矩形的两条对角线ac和bd的距离之和是（ ）a b c d不确定解析：因为四边形abcd是矩形，由勾股定理得ac=bd=5.过点p分别作ac、bd的垂线pe、pf，容易得pdfbda，即，同理，pe+pf故答案为a。点评：本题属于矩形中动点定值问题，在选择题中，可以采取特殊点法求解，譬如p与a重合、p与b重合或p为ad的中点等特殊情形下，求出pepf的值探求答案二、角度定值例2（2010年广东广州）如图，o的半径为1，点p是o上一点，弦ab垂直平分线段op，点d是上任一点（与端点a、b不重合），deab于点e，以点d为圆心、de长为半径作d，分别过点a、b作d的切

3、线，两条切线相交于点c（1）求弦ab的长；（2）判断acb是否为定值，若是，求出acb的大小；否则，请说明理由；（3）略分析：（1）连接oa，op与ab的交点为f，则oaf为直角三角形，且oa1，of，借助勾股定理可求得af的长，根据垂径定理求得ab；（2）要判断acb是否为定值，只需判定cababc的值是否是定值，由于d是abc的内切圆，所以ad和bd分别为cab和abc的角平分线，因此只要daedba是定值，而daedba等于弧ab所对的圆周角，这个值等于aob值的一半，只需看aob值即可。解：（1）连接oa，取op与ab的交点为f，则有oa1弦ab垂直平分线段op，ofop，afbf在r

4、toaf中，af，ab2af（2）acb是定值.理由：由（1）易知，aob120°，因为点d为abc的内心，所以，连结ad、bd，则cab2dae，cba2dba，因为daedbaaob60°，所以cabcba120°，所以acb60°；（3）略点评：本题是圆为载体的角度定值问题，考查了三角形内切圆、角平分线的性质、三角形内角和、同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系及整体思想综合运用，采用了直接推理、计算得到定值。三、周长定值例3（2010重庆）已知：如图（1），在平面直角坐标xoy中，边长为2的等边oab的顶点b在第一象限，顶点a在x轴的正半轴上另一等腰

5、oca的顶点c在第四象限，ocac，c120°现有两动点p、q分别从a、o两点同时出发，点q以每秒1个单位的速度沿oc向点c运动，点p以每秒3个单位的速度沿aob运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）（2）略图（3）如图（2），现有mcn60°，其两边分别与ob、ab交于点m、n，连接mn将mcn绕着c点旋转（0°旋转角60°），使得m、n始终在边ob和边ab上试判断在这一过程中，bmn的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由解：（1）（2）略（3）的周长不发生变化延长至点，使，连结（如图）， 又 的周长不变

6、，其周长为4点评：本题是定角（60°）在等边三角形内旋转的动态几何问题，探究运用过程中的的周长是否定值，解题时通过旋转变换，将三角形的周长转化为直线段上线段和差，直接计算证明了周长为定值。解题时，也可让mcn运动到mn平行于oa或m与o重合或n与a重合（退化的三角形）这几种特殊情形，探求不变的周长的值。三、面积定值例3（2010广州）如图所示，四边形oabc是矩形，点a、c的坐标分别为（3，0），（0，1），点d是线段bc上的动点（与端点b、c不重合），过点d作直线交折线oab于点e（1）略（2）当点e在线段oa上时，若矩形oabc关于直线de的对称图形为四边形o1a1b1c1，试探

7、究o1a1b1c1与矩形oabc的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.cdbaeo思路点拨：（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在oa边上的线段长度是否变化解：（1）略（2）如图3，设o1a1与cb相交于点m，oa与c1b1相交于点n，则矩形o1a1b1c1与矩形oabc的重叠部分的面积即为四边形dnem的面积。由题意知，dmne，dnme，四边形dnem为平行四边形根据轴对称知，medned又mdened，medmde，mdme，平行四边形dnem为菱形过点d作d

8、hoa，垂足为h，因为直线de的解析式中，比例系数k，所以tanden，因为dh1，he2，设菱形dnem 的边长为a，则在rtdhm中，由勾股定理知：，s四边形dnemne·dh矩形o1a1b1c1与矩形oabc的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 点评：本题是点动、线动相结合的平面直角坐标系中的动态几何题，通过运动时所形成的不同位置，考查了矩形、一次函数、直角三角形勾股定理、方程、面积、轴对称变换、锐角三角函数等知识点和数形结合的数学思想。第（2）小题是以面积为载体的动态探究题，从面积的角度探求动态过程中的不变量，解题的关键是找出动态过程中的不变量，通过直接计算求得定值。五、比

9、值定值例5（2010湖北咸宁）如图，直角梯形abcd中，abdc，动点m以每秒1个单位长的速度，从点a沿线段ab向点b运动；同时点p以相同的速度，从点c沿折线c-d-a向点a运动当点m到达点b时，两点同时停止运动过点m作直线lad，与线段cd的交点为e，与折线a-c-b的交点为q点m运动的时间为t（秒）（1）、（2）略（3）当t2时，连接pq交线段ac于点r请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由abcd（备用图1）abcd（备用图2）qabcdlmp（第24题）e分析：（3）当t2时，确定动点p、q、m在图形上的位置，点p在ad上，点q在bc上，画出图形，观察、分析线段cq、

10、rq与已知线段有没有关系，是否存在相似三角形abcd（备用图2）mqrfp解：（1）（2）略 （3）为定值 当2时，如备用图2，作cfabcfad4 四边形amqp为矩形 crqcab点评：本题是一道以直角梯形为框架的动态几何问题，考查了相似三角形、矩形、梯形的常用辅助线方法等知识点，体现了分类讨论的思想。第（3）问是关于线段比的定值探究题，解题时，需要画出当t2时的图形，把“动态”问题转化为“静态”问题，根据相似三角形对应线段成比例，将转化为其他线段的比，探明线段比是否为定值六、积定值例6.（2010广东深圳）如图1，以点m（1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点a、b、c、d，直线y x 与m相切于点h，交x轴于点e，交y轴于点f （1）请直接写出oe、m的半径r、ch的长；（2）略（3）如图3，点k为线段ec上一动点（不与e、c重合），连接bk交m于点t，弦at交x轴于点n是否存在一个常数a，始终满足mn·mka，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由f图4解：（1）如图4，oe=5，ch=2（2）略（3）如图6，连接ak，am，延长am，与圆交于点g，连接tg，则f图61，由于，故，；而，故在和中，；故；所以;即：故存在常数，始终满足mn·mka，常数点评：本题是平