第二章数学模型

1、第第2 2章章 数数 学学 模模 型型 目目 录录 2.1 2.1 控制系统的运动微分方程控制系统的运动微分方程 2.1.1 2.1.1 建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤 2.1.2 2.1.2 控制系统微分方程的列写控制系统微分方程的列写 2.2 2.2 拉氏变换与反变换拉氏变换与反变换 2.2.1 2.2.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 2.2.2 2.2.2 几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换 2.2.3 2.2.3 拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理 2.2.4 2.2.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 2.2.5 2.2.5 应用拉氏变换解线性微分方

2、程应用拉氏变换解线性微分方程 2.3 2.3 传传 递递 函函 数数 2.3.1 2.3.1 传递函数的概念和定义传递函数的概念和定义 2.3.2 2.3.2 特征方程、零点和极点特征方程、零点和极点 2.3.3 2.3.3 关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明 2.3.4 2.3.4 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 2.42.4 系统方框图和信号流图系统方框图和信号流图 2.4.1 2.4.1 系统方框图系统方框图 2.4.2 2.4.2 系统方框图的简化系统方框图的简化 2.4.3 2.4.3 系统信号流图和梅森公式系统信号流图和梅森公式 2.4.4 2.4.4 控制系统

3、的传递函数控制系统的传递函数 2.5 2.5 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 2.5.1 2.5.1 线性化问题的提出线性化问题的提出 2.5.2 2.5.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 2.5.3 2.5.3 系统线性化微分方程的建立系统线性化微分方程的建立 2.6 2.6 控制系统传递函数推导举例控制系统传递函数推导举例 2.6.1 2.6.1 机械系统机械系统 2.6.2 2.6.2 液压系统液压系统 2.6.3 2.6.3 液位系统液位系统 2.6.4 2.6.4 机电系统机电系统 2.6.5 2.6.5 热力系统热力系统 返回总目录学习目的学习目的1.

4、了解建立系统数学模型的一般步骤了解建立系统数学模型的一般步骤2.掌握拉氏变换和反变换方法掌握拉氏变换和反变换方法3.掌握建立系统数学模型的各种方法（包括时域、掌握建立系统数学模型的各种方法（包括时域、复数域；解析式、图示式）复数域；解析式、图示式）4.了解非线性数学模型线性化的方法了解非线性数学模型线性化的方法 5.熟悉各种不同物理属性控制系统数学模型的建立熟悉各种不同物理属性控制系统数学模型的建立过程过程内容提要内容提要本章主要阐述控制系统数学模型的基本概念、时域本章主要阐述控制系统数学模型的基本概念、时域模型模型运动微分方程和复数域模型运动微分方程和复数域模型传递函数传递函数的建立、数学模

5、型的图示法的建立、数学模型的图示法方框图和信号流图方框图和信号流图的建立步骤与方法，介绍拉氏变换与拉氏反变换的建立步骤与方法，介绍拉氏变换与拉氏反变换重重点点传递函数概念的建立、典型环节和控制系统传递函传递函数概念的建立、典型环节和控制系统传递函数的推导数的推导 难难点点实际物理系统，特别是机械系统传递函数的推导实际物理系统，特别是机械系统传递函数的推导 为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统的数学模型。的数学模型。系统的数学模型，是描述系统输入、输出量以及内部各变量系统的数学模型，是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学

6、表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。间的内在关系。系统数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系统的选系统数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系统的选择。在时间域，通常采用微分方程或一阶微分方程组的形式；在择。在时间域，通常采用微分方程或一阶微分方程组的形式；在复数域则采用传递函数形式；而在频率域采用频率特性形式。复数域则采用传递函数形式；而在频率域采用频率特性形式。必须指出，建立合理的数学模型，对于系统的分析和研究极必须指出，建立合理的数学模型，对于系统的分析和研究极为重要。由于不可能将系统实际的错综复杂的物理现象完

7、全表达为重要。由于不可能将系统实际的错综复杂的物理现象完全表达出来，因而要对模型的简洁性与精确性进行折衷的考虑。一般是出来，因而要对模型的简洁性与精确性进行折衷的考虑。一般是根据系统的实际结构参数和系统分析所要求的精度，忽略一些次根据系统的实际结构参数和系统分析所要求的精度，忽略一些次要因素，建立既能反映系统内在本质特性，又能简化分析计算工要因素，建立既能反映系统内在本质特性，又能简化分析计算工作的模型。作的模型。建立系统数学模型，一般采用解析法或实验法。所谓解析法建立系统数学模型，一般采用解析法或实验法。所谓解析法建模，即依据系统及元件各变量之间所遵循的物理学定律，理论建模，即依据系统及元件

8、各变量之间所遵循的物理学定律，理论推导出变量间的数学关系式，从而建立数学模型。本章仅讨论解推导出变量间的数学关系式，从而建立数学模型。本章仅讨论解析建模方法，关于实验法建模将在后面的章节进行介绍。析建模方法，关于实验法建模将在后面的章节进行介绍。2.1 2.1 控制系统的运动微分方程控制系统的运动微分方程 2.1.1 2.1.1 建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤 用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：(1)分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量。和各元件的

9、输入、输出量。(2)从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各从系统的输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件动态微分变量所遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件动态微分方程。方程。(3)消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输出变消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程。量之间关系的微分方程。(4)写成标准化形式。将与输入有关的项放在等式右侧，与写成标准化形式。将与输入有关的项放在等式右侧，与输出有关的项放在等式的左侧，且各阶导数项按降幂排列。输出有关的项放在等式的左侧，且各阶导数项按降幂排列。 2.1.2

10、 2.1.2 控制系统微分方程的列写控制系统微分方程的列写 1机械系统机械系统任何任何机械系统机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以使用系统中以各种形式出现的物理现象，都可以使用质量质量、弹性弹性和和阻阻尼尼三个要素来描述。三个要素来描述。(1)机械平移系统机械平移系统图图2.1所示为常见的所示为常见的质量质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统阻尼系统，图中的，图中的、分别表示分别表示质量质量、弹簧刚度弹簧刚度和和粘性阻尼系数粘性阻尼系数。以系统在静。以系统在静止平衡时的那一点为零点，即止平衡时的那一点为零点，即

11、平衡工作点平衡工作点，这样的零位选择消除，这样的零位选择消除了重力的影响。设系统的输入量为外作用力了重力的影响。设系统的输入量为外作用力，输出量为质，输出量为质量块的位移量块的位移。现研究外力。现研究外力与位移与位移之间的关系。之间的关系。在输入力在输入力的作用下，质量块的作用下，质量块将有加速度，从而产将有加速度，从而产生速度和位移。质量块的速度和位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻生速度和位移。质量块的速度和位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力尼力和弹性力和弹性力。这两个力反馈作用于质量块上，影。这两个力反馈作用于质量块上，影响输入响输入的作用效果，从而使质量块的速度和位移随时间发的作用效果，从而使质

12、量块的速度和位移随时间发mK tfiB)(otx tfi)(otx tfim tfB tfK tfi图图2.1机械平移系统力学模型机械平移系统力学模型生变化，产生生变化，产生动态过程动态过程。根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律，有，有点击观看公式推导点击观看公式推导 由由阻尼器阻尼器、弹簧弹簧的特性，可写出的特性，可写出由以上三个式子，消去由以上三个式子，消去和和，并写成标准形式，得，并写成标准形式，得一般一般、均为常数，故式（均为常数，故式（2.1）为）为二阶常系数线二阶常系数线性微分方程性微分方程。它描述了输入。它描述了输入和输出和输出之间的动态关系。之间的动态关系。方程的系数取决于系统的方

13、程的系数取决于系统的结构参数结构参数；而方程的阶次等于系统中独；而方程的阶次等于系统中独2io2d( )( )( )( )dBKf tftftmxttod( )( )dBftBx tto( )( )KftKx t tfB tfK2oooi2dd( )( )( )( )ddmx tBx tKx tf ttt （2.1） mKB tfi)(otx立的立的储能元件储能元件（惯性质量、（惯性质量、弹簧）的数量。弹簧）的数量。当质量很小可忽略不计当质量很小可忽略不计时，系统由并联的时，系统由并联的弹簧弹簧和和阻阻尼器尼器组成，如图组成，如图2.2所示。所示。此时，系统的运动方程此时，系统的运动方程为为一

14、阶常系数微分方程一阶常系数微分方程 这说明，这说明，同一系统由于同一系统由于简化程度的不同，可以有不简化程度的不同，可以有不同的同的数学模型数学模型。 ooid( )( )( )dBx tKx tf tt图图2.2弹簧弹簧- -阻尼系统力学模型阻尼系统力学模型 (2)机械旋转系统机械旋转系统包含定轴旋转的机械系统用途极其广泛。其建模方法与平移包含定轴旋转的机械系统用途极其广泛。其建模方法与平移系统非常相似。只是这里将系统非常相似。只是这里将质量质量、弹簧弹簧、阻尼阻尼分别变成分别变成转动惯转动惯量量、扭转弹簧扭转弹簧、旋转阻尼旋转阻尼。图图2.3所示为一所示为一机械旋转系统机械旋转系统，旋转体

15、通过柔性轴（用扭转，旋转体通过柔性轴（用扭转弹簧弹簧表示）与齿轮连接。旋转体在粘性介质中旋转，因而承表示）与齿轮连接。旋转体在粘性介质中旋转，因而承受与旋转速度成正比的阻尼力矩。受与旋转速度成正比的阻尼力矩。设齿轮转角设齿轮转角为为系统输入量系统输入量，旋转体转角，旋转体转角为为系统输系统输出量出量，据此建立系统的，据此建立系统的运动微分方程运动微分方程（忽略轴承上的摩擦）。扭（忽略轴承上的摩擦）。扭转弹簧左、右端的转角分别为转弹簧左、右端的转角分别为、，设它加给旋转体的，设它加给旋转体的扭矩为扭矩为（当（当时，弹簧的扭矩为零），则时，弹簧的扭矩为零），则 旋转体上除了受弹簧的扭矩外，也受阻尼

16、扭矩旋转体上除了受弹簧的扭矩外，也受阻尼扭矩作用，作用，因而有因而有扭矩平衡方程扭矩平衡方程io( ) ( )( )KTtKtt2o2d( )( )( )dKBJtTtT ttK)(it)(ot)(it)(ot)(tTBoi)(tTK和和旋转阻尼特性方程旋转阻尼特性方程 由以上三式整理可得由以上三式整理可得机械旋转系统运动微分方程机械旋转系统运动微分方程图图2.3机械旋转系统力学模型机械旋转系统力学模型 od( )( )dBT tBtt2oooi2dd( )( )( )( )ddJtBtKtKttt （2.2） 2电气系统电气系统 电阻电阻、电感电感和和电容器电容器是电路中的三个基本元件。是电

17、路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。电气系统数学模型电气系统数学模型 无源电路网络无源电路网络如图如图2.4所示，设输入端电压所示，设输入端电压为系统输入量。电容器为系统输入量。电容器两端电压两端电压为系统输出量。现研究为系统输出量。现研究输入电压输入电压和输出电压和输出电压之间的关系。电路中的电流为中之间的关系。电路中的电流为中间变量。间变量。RLCCLR)(ituC)(otu)(itu)(otu图图2.4无源电路网络无源电路网络CLR根据根据基尔霍夫定律基尔霍夫定律，有，有点击观看公式推导点击观看公式推导 消去中间

18、变量消去中间变量，稍加整理，即得，稍加整理，即得 一般假定一般假定、都是常数，则上式为都是常数，则上式为二阶常系数线二阶常系数线性微分方程性微分方程。若。若，系统也可简化为，系统也可简化为一阶常微分方程一阶常微分方程 有源电路网络有源电路网络如图如图2.5所示，设电压所示，设电压为系统输入量，电为系统输入量，电压压为系统输出量。现建立为系统输出量。现建立与与之间的关系式之间的关系式。 id ( )1( )( )ddi tuRi tLi tttCo1( )dui ttC)(ti2oooi2dd( )( )( )( )ddLCu tRCu tu tu ttt（2.3）0LRLC)()()(ddRC

19、iootututut （2.4）)(itu)(otu)(itu)(otuoid( )( )du tRCu tt 图图2.5有源电路网络有源电路网络图中图中点为运算放大器的反相输入端，点为运算放大器的反相输入端，为运算放大器为运算放大器的开环放大倍数。因为的开环放大倍数。因为 且一般且一般值很大，所以值很大，所以点电位点电位 运算放大器的输入阻抗一般都很高，故而可认为运算放大器的输入阻抗一般都很高，故而可认为因此，可以得到因此，可以得到即即 oo( )( )Au tK ut AoKoKoo( )0AuutK )()(21titi oid( )( )du tu tCRt oid( )( )du t

20、RCu tt （2.5）3流体系统流体系统 流体系统比较复杂，但经过适当简化也可以用流体系统比较复杂，但经过适当简化也可以用微分方程微分方程加以加以描述。描述。图图2.6所示为一简单的所示为一简单的液位控制系统液位控制系统。在此系统中，箱体通。在此系统中，箱体通过输出端的过输出端的节流阀对外节流阀对外供液。设流供液。设流入箱体的流入箱体的流量量为系为系统输入量，统输入量，液面高度液面高度为输出为输出量，下面列量，下面列写液位波动写液位波动的的运动微分方程运动微分方程。i( )q t)(tH图图2.6液位控制系统液位控制系统根据流体连续方程，可得根据流体连续方程，可得 式中式中：箱体的截面积。箱

21、体的截面积。设液体是不可压缩的，通过节流阀的液流是紊流，则其流量设液体是不可压缩的，通过节流阀的液流是紊流，则其流量公式为公式为 式中式中：由节流阀通流面积和通流口结构形式决定的由节流阀通流面积和通流口结构形式决定的系数，通流面积不变时系数，通流面积不变时为常数。为常数。消去中间变量消去中间变量得液位波动方程为得液位波动方程为 显然，式（显然，式（2.8）是一个）是一个非线性微分方程非线性微分方程。4模型分析模型分析 将上述系统模型进行比较，可清楚地看到，物理本质不同的将上述系统模型进行比较，可清楚地看到，物理本质不同的)()(d)(doitqtqttHA（2.6）A)()(otHatq （2

22、.7）aao( )q t)()(d)(ditqtHattHA （2.8）系统，可以有相同的数学模型。反之，同一数学模型可以描述物系统，可以有相同的数学模型。反之，同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。因此，从控制理论来说，可抛开系统的理性质完全不同的系统。因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同一方法进行普遍意义的分析研究，这就是物理属性，用同一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方信息方法法，从信息在系统中传递，从信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。而、转换的方面来研究系统的功能。而从动态性能来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物从动态性能来看，在相同形式的

23、输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样，这样就有可能利用电系统来模拟其它系统，进行实验研一样，这样就有可能利用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。究。这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。t分析上述系统模型还可以看出，描述系统运动的微分方程分析上述系统模型还可以看出，描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特，这就说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。性是系统的固有

24、特性，取决于系统结构及其参数。用线性微分方程描述的系统，称为用线性微分方程描述的系统，称为线性系统线性系统。如果方程的。如果方程的系数为常数，则称为系数为常数，则称为线性定常系统线性定常系统；如果方程的系数不是常数，；如果方程的系数不是常数，而是时间而是时间的函数，则称为的函数，则称为线性时变系统线性时变系统。线性系统的特点是。线性系统的特点是具有线性性质，即服从叠加原理。这个原理是说，多个输入同具有线性性质，即服从叠加原理。这个原理是说，多个输入同时作用时作用于线性系统的总响应，等于各输入单独作用时产生的响应之和。于线性系统的总响应，等于各输入单独作用时产生的响应之和。用非线性微分方程描述的

25、系统称为用非线性微分方程描述的系统称为非线性系统非线性系统，如前述的液，如前述的液位控制系统。位控制系统。在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用阶常系阶常系数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为，系统的输出量为系统的输出量为，则单输入、单输出，则单输入、单输出阶系统常系数线阶系统常系数线性微分方程有如下的一般形式性微分方程有如下的一般形式 ： （2.9）式中：式中：，和和，由系统由系统结构参数决定的实常数。结构参数决定的实常数。由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，由于实际系统

26、中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，所以总是所以总是n)(itx)(otxn1ooo011o1ddd( )dddnnnnnnxxxaaaa x tttt1iii011i1ddd( )dddmmmmmmxxxbbbb x tttt nm 0a1ana0b1bmbnm 2.2 2.2 拉氏变换与反变换拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性线性微分方程微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换拉普拉斯变换求求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运解线性微分

27、方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。而是一种较为简便的工程数学方法。2.2.1 2.2.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间如果有一个以时间为自变量的实变函数为自变量的实变函数，它的定义，它的定义域是域是，那么，那么的拉普拉斯变换定义为的拉普拉斯变换定义为 式中，式中，是复变数，是复变数，（、 均为实数），均为实数），称为称为拉普拉斯积分拉普拉斯积分；是函数是函数的拉普拉斯变换，它是一的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也

28、称个复变函数，通常也称为为的的象函数象函数，而称，而称为为的的原函数原函数；是表示进行拉普拉斯变换的符号。是表示进行拉普拉斯变换的符号。 ( (2.10) )t tf0t tfsjs0est)(sF tf)(sF tf tf)(sF0tL 0edstF sL f tf tt 0edstF sL f tf tt 0edstF sL f tf ttL defdef式（式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数价的复变函

29、数。2.2.2 2.2.2 几种典型函数的拉氏变换几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数单位阶跃函数的拉氏变换的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在所示，它表示在时刻突然作用时刻突然作用于系统一个幅值为于系统一个幅值为1的不变量。的不变量。单位阶跃函数单位阶跃函数的的拉氏变换拉氏变换式为式为 当当，则，则。 )(sF)0(1)0(0)( 1ttt)( 1 t0t0)Re(s

30、0elimstt)0(1)0(0)( 1tttdefdef0t0t0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsF0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsF 0011ede ststttsL所以所以 2.指数函数指数函数的拉氏变换的拉氏变换 指数函数指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。是常数。令令则与求单位阶跃函数则与求单位阶跃函数同理同理，就可求得，就可求得 ssstLst1)1(00e1)( 1（2.11） attf e 0)(0dedeeettLsFtasstatatass1assLsFat11e)(1 （2.12

31、）a图图2.7单位阶跃函数单位阶跃函数0011 ede s ts ttts0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsFL0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsFassLsFat11e)(1L0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsFassLsFat11e)(1L3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换正弦函数与余弦函数的拉氏变换设设，则，则由由欧拉公式欧拉公式，有，有所以所以ttfsin)(1ttfcos)(2j2eesinjjtttttsFsttsttdeedeej21)(0j0j1 22j1j1j21sss (2.13)01desinsin)(ttt

32、LsFst01desinsin)(tttLsFstttsttstsdeedej210)j(0)j(ttsttstsdeedej210)j(0)j(jj00111ee2jjjststssL同理同理 4.单位脉冲函数单位脉冲函数(t)的拉氏变换的拉氏变换 单位脉冲函数单位脉冲函数是在持续时间是在持续时间期间幅值为期间幅值为的的矩形波。其幅值和作用时间矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于的乘积等于1，即，即。如图如图2.8所示。所示。单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表的数学表达式为达式为 (2.14）)0( t111图图2.8单位脉冲函数单位脉冲函数 222cossF sLts 22 2c o ssFs

33、L ts 00 01lim0t ttt 和0001l i m0tttt 和00 01lim 0t ttt 和 00 01l i m 0tttt 和 00 01l i m0t ttt 和 0001l i m 0t ttt 和L其拉氏变换式为其拉氏变换式为此处因为此处因为时时，故积分限变为，故积分限变为 00de1limtstt 0t0 sstsss e11lime1lim000! 2111lim220sss1! 21lim220sss (2.15) ttLsstde1lim00 s s0ests sstsss e11lime1lim000L5.单位速度函数的拉氏变换单位速度函数的拉氏变换单位速度

34、函数单位速度函数，又称，又称单位斜坡函数单位斜坡函数，其数学表达式为，其数学表达式为如图如图2.9所示。所示。单位速度函数单位速度函数的的拉氏变换式拉氏变换式为为 00tf ttt 0dettsFst图图2.9单位速度函数单位速度函数利用利用分部积分法分部积分法 令令 则则 所以所以当当时，时，,则则 000dduvuvvu,eddsttutv1dd ,esttuvs tsstsFststde1e000)Re(s0elimstt 021de10stssFst （2.16）0uv0estts000dduvuvvu tsstsFststde1e006.单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的拉氏变

35、换单位加速度函数单位加速度函数的数学表达式为的数学表达式为 如图如图2.10所示。所示。其其拉氏变换拉氏变换式为式为 通常并不根据定义来求解象函数和原函数，而可从拉氏变换通常并不根据定义来求解象函数和原函数，而可从拉氏变换表（见教材附录表（见教材附录A）中直接查出。）中直接查出。 200102tf ttt图图2.10单位加速度函数单位加速度函数（2.17） 23112F stsL Re0s 2.2.3 2.2.3 拉氏变换的主要定理拉氏变换的主要定理根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数

36、可使运算简化。和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可使运算简化。1.叠加定理叠加定理拉氏变换拉氏变换也服从线性函数的也服从线性函数的齐次性齐次性和和叠加性叠加性。（1）齐次性齐次性设设，则，则 式中：式中：常数。常数。（2）叠加性叠加性设设，则，则 两者结合起来，就有两者结合起来，就有这说明这说明拉氏变换拉氏变换是是线性变换线性变换。 sFtfL af taF sL（2.18）a sFtfL11 sFtfL22 1212ftftF sFsL（2.19） 1212aftbftaF sbFsLLLL2.微分定理微分定理设设 则则 式中：式中：函数函数在在时刻的值，即时刻的值，即初始值初始值。

37、同样，可得同样，可得的各阶导数的的各阶导数的拉氏变换拉氏变换是是 sFtfL )0()(d)(dfssFttfL)0(f0t tf（2.20） tfLL式中：式中：，原函数各阶导数在原函数各阶导数在时刻的值。时刻的值。如果函数如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始零初始条件条件），则），则各阶导数的各阶导数的拉氏变换拉氏变换为为 3.复微分定理复微分定理若若可以进行可以进行拉氏变换拉氏变换，则除了在，则除了在的的极点极点以外，以外，)0(f )0(f 0t tf tf 23nnftsF sfts F sfts F sfts F sLLLL（2.21） t

38、f)(sF sFsttfLdd （2.22） 10nfL式中，式中，。同样有。同样有一般地，有一般地，有4.积分定理积分定理设设，则，则 式中式中积分积分在在时刻的值时刻的值。当当初始条件为零初始条件为零时，时，对对多重积分多重积分是是 sFstftL222dd d11,2,3,dnnnnL t f tF sns （2.23） sFtfL)0(1)(1d)()1(fssFsttfL（2.24）)0()1(fttfd)(0t)(1d)(sFsttfL （2.25） )0(1)0(1)(1d)()1(nnnnnfsfssFsttfL（2.26） F sf tL 10nfLLLLLL,n当当初始条件

39、为零初始条件为零时，则时，则 5.延迟定理延迟定理设设，且，且时，时，则，则函数函数为原函数为原函数沿沿时间轴延迟了时间轴延迟了，如图如图2.11所示。所示。 )(1d)(sFsttfLnnn （2.27）0t sFtfL 0f t )(e)(sFtfLs（2.28）f t f t图图2.11函数函数f tLLL6.位移定理位移定理 在控制理论中，经常遇到在控制理论中，经常遇到一类的函数，它的一类的函数，它的象函数象函数只需把只需把用用代替即可，这相当于在复数代替即可，这相当于在复数坐标中，坐标中，有一位移有一位移。设设，则，则 例如例如的的象函数象函数，则，则的的象函数象函数为为7.初值定理

40、初值定理它表明它表明原函数原函数在在时的数值。时的数值。 即即原函数原函数的初值等于的初值等于乘以乘以象函数象函数的终值。的终值。tatcose22cosstsLcos t)(etfatssaas)()(easFtfLat sFtfL（2.29）22)(coseasastLat0t 0limlimtsf tsF s（2.30）sLLL8.终值定理终值定理设设，并且，并且存在，则存在，则 即即原函数原函数的终值等于的终值等于乘以乘以象函数象函数的初值。的初值。这一定理对于求这一定理对于求瞬态响应瞬态响应的稳态值是很有用的。的稳态值是很有用的。9.卷积定理卷积定理设设，则有，则有即两个即两个原函数

41、原函数的的卷积分卷积分的的拉氏变换拉氏变换等于它们等于它们象函数象函数的乘积。的乘积。式（式（2.32）中，）中，为为卷积分卷积分的数学表示，定义为的数学表示，定义为 10.时间比例尺的改变时间比例尺的改变 sFtfL)(limtft)(lim)()(lim0ssFftfst （2.31）s sFtfL sGtgL )()()(sGsFtgtfL（2.32） )(tgtftgtftgtf0d)()()()(tgtftgtf0d)()()()(defdefLLLL式中：式中：比例系数比例系数例如，例如，的的象函数象函数，则，则的象函数为的象函数为11.拉氏变换的积分下限拉氏变换的积分下限在某些情

42、况下，在某些情况下，在在处有一个处有一个脉冲函数脉冲函数。这时必须。这时必须明确明确拉普拉斯积分拉普拉斯积分的下限是的下限是还是还是，因为对于这两种下限，因为对于这两种下限，的的拉氏变换拉氏变换是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：是不同的。为此，可采用如下符号予以区分： )()(cscFctfL （2.33）c ttf e 11essFLtttf5 . 0e212222e25 . 0ssFLtfLt tf0t00 tf ttftfstde012222e25 . 0ssFLtfLtLLLLLtfc ttftfttftfststdede000LL若在若在处处包含一个包含一个脉冲函数脉冲函数，则

43、，则 因为在这种情况下因为在这种情况下显然，如果显然，如果在在处处没有脉冲函数没有脉冲函数，则有，则有2.2.4 2.2.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换的公式为拉普拉斯反变换的公式为 式中：式中：表示拉普拉斯反变换的符号表示拉普拉斯反变换的符号通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数原函数。0t tf tfLtfL 000dettfst tf0t tfLtfL jj1de )(j21)(ccstssF

44、sFLtf（2.36） tf tfLtfL tfLtfL tfLtfL tfLtfL jj1de )(j21)(ccstssFsFLtfLLLL1L1L1.部分分式展开法部分分式展开法在控制理论中，常遇到的在控制理论中，常遇到的象函数象函数是是的的有理分式有理分式 为了将为了将写成部分分式，首先将写成部分分式，首先将的分母的分母因式分解因式分解，则有则有 式中，式中，是是的根的负值，称为的根的负值，称为的的极极点点。按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。2.的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换snnnnmmm

45、masasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()()(sF)()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsF1p2pnp0)(sA)(sF，)()()()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsFniiinnpsApsApsApsA12211 （2.37）)(sF)(sF式中，式中，是待定系数，它是是待定系数，它是处的留数，其求法如下：处的留数，其求法如下：再根据再根据拉氏变换拉氏变换的的叠加定理叠加定理，求，求原函数原函数 例例2.1求求的原函数。的原函数。解解首先将首先将的分母因式分解的分母因式分解，则有，则有 iAipsipsii

46、pssFA)( （2.38）)6(2)(22ssssssF sF23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssssFA158) 3()2)(3(2) 3)(3232ssssssssssFAsFnitpiniiiiApsA11e)(tf)(1L1L即得即得3.含有共轭复数极点时的拉氏反变换含有共轭复数极点时的拉氏反变换 如果如果有一对有一对共轭复数极点共轭复数极点、，其余极点均为，其余极点均为各不相同的各不相同的实数极点实数极点。将。将展成展成54)2()2)(3(2)2)(2223ssssssssssFA31)(sF

47、1581s5431s21s )0(e54e1583123ttt)(sF1p2p)(sF)()()()(3211110nmmmmpspspspsbsbsbsbsFnnpsApsApspsAsA332121)(1L)(sF)(tf1L1L1L0t式中，式中，和和可按下式求解：可按下式求解：即即因为因为（或（或）是复数，故式（）是复数，故式（2.39）两边都应是复数，令）两边都应是复数，令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即得得、两个常数。两个常数。例例2.2已知已知，试求其部分分式。试求其部分分式。 解解:因为因为1A2A

48、 （2.39）1p2p、 1A2A（2.40） 21)(21pspspspssF或21)()(21332121pspspspspsApsApspsAsAnn或21212121)()(pspspspsAsApspssF或或 2nndndjjF ss ss 2nndndjjF ss ss含有一对共轭复数极点含有一对共轭复数极点，和和一个极点一个极点，故可将故可将式（式（2.40）因式分解成）因式分解成以下求系数以下求系数、和和。由式（由式（2.40）和式（）和式（2.41）相等，有）相等，有用用乘以上式两边，并令乘以上式两边，并令，得到得到 （2.41）1A2A3A（2.42） 1ndjp 2nd

49、jp 30p 312ndndjjAAsAF ssss2nndndjjs ss312ndndjjAAsAsssndndjjssndjs dd2n12jjssAsAsnn2n1d2djjAAnn上式可进一步写成上式可进一步写成由上式两边实部和虚部分别相等，可得由上式两边实部和虚部分别相等，可得联立以上两式，可求得联立以上两式，可求得为了求出系数为了求出系数，用，用乘方程（乘方程（2.42）两边，并令）两边，并令，将将代入，得代入，得将所求得的将所求得的、值代入式（值代入式（2.41），并整理后得），并整理后得的部分分式的部分分式 12n12AA 3As0s1A2A3A)(sFnd1n21djjAA

50、An1n2d1dAAA 2n2A 22nn3ndndndnd01jjjjsAs ss2dn1查拉氏变换表便得查拉氏变换表便得，结果见式（结果见式（3.16）。例例2.3已知已知,求求。解解将将的分母因式分解的分母因式分解，得，得 )()(1tfsFL) 1(1)(2sssssF)(tf)(sF1) 1(1020ssssssA nndnd21jjsF ssss nn2222ndnd1ssss 0122111313jj2222AAsAsF sssss ss 1L利用方程两边实部、虚部分别相等得利用方程两边实部、虚部分别相等得 解得解得， 所以所以 23j212123j2122) 1() 1(1ss

51、AsAssssss21)23j21(23j21123j21AA23)(2321)(212121AAAA02A， 11A11) 1(1)(22sssssssssF这种形式再作适当变换这种形式再作适当变换查拉氏变换表得查拉氏变换表得 11)(2sssssF2223211sss22222321212321211ssss222223212323212321211ssss )0(23sine57. 023cose1)(2121ttttftt 0t4.中含有重极点的拉氏反变换中含有重极点的拉氏反变换 设设有有个个重根重根，则，则 将上式展开成部分分式将上式展开成部分分式 式中，式中，的求法与单实数极点情况

52、下相同。的求法与单实数极点情况下相同。，的求法如下：的求法如下： )(sF0)(sAr nrrmmmmpspspsbsbsbsbsF101110)(nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF11001002001)(（2.43） 1rA2rAnA01A02ArA0 0002ddpsrpssFsA 002203dd! 21psrpssFsA 0010rspAF ssp例例2.4设设，试求，试求的部分分式。的部分分式。解解已知已知 含有含有2个重极点，可将式（个重极点，可将式（2.45）的分母因式分解得）的分母因式分解得以下求系数以下求系数、和和：2n2n)()(sssF)(sF2n2n)(

53、)(sssF（2.45）（2.46）01A02A3A、 00)1()1(0dd)!1(1psrrrrpssFsrA)0(eee)!2()!1()()(1010)2(02)1(011tAAAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr)0(eee)!2()!1()()(1010)2(02)1(011tAAAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr) 0(eee)!2()!1()()(1010)2(02) 1(011tAAAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr 010232nnAAAF ssss0t（2.44）将所求得的将所求得的、值代入式（值代入式（2.46），即得即得的

54、部分的部分分式分式 查拉氏变换表可得查拉氏变换表可得。例例2.5求求的拉氏反变换。的拉氏反变换。 解解将将展开为部分分式展开为部分分式01A02A3A)(sFssssF11)(n2nn )(1tfsFL 1232ssssF sFn22n01nn2nsAss s nn222nn02n22nd1dssAssss s 2n32n01sAss s1L上式中各项系数为上式中各项系数为 于是于是查拉氏变换表，得查拉氏变换表，得 11232212322201sssssA 0e2e2)(2tttftt 2113132123dd2222202sssssssssssAs 2113132123dd2222202ss

55、sssssssssAs 2113132123dd2222202sssssssssssAs 010232212AAAF ssss 2122212F ssss0t 32131221ssAsss 应当指出，对于在应当指出，对于在分母中包含有较高阶次多项式的复杂函分母中包含有较高阶次多项式的复杂函数，用人工算法进行部分分式展开则相当费时费力。这种情况数，用人工算法进行部分分式展开则相当费时费力。这种情况下，采用下，采用MATLAB工具就方便多了。工具就方便多了。5.用用MATLAB展开部分分式展开部分分式(1)概述概述 MATLAB是美国是美国MathWorks公司的软件产品，是一个高级公司的软件产品

56、，是一个高级的数值分析、处理与计算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的数值分析、处理与计算的软件，其强大的矩阵运算能力和完美的图形可视化功能，使得它成为国际控制界应用最广的首选计算的图形可视化功能，使得它成为国际控制界应用最广的首选计算机工具。机工具。SIMULINK是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是是基于模型化图形的动态系统仿真软件，是MATLAB的一个工具箱，它使系统分析进入一个崭新的阶段，的一个工具箱，它使系统分析进入一个崭新的阶段，它不需要过多地了解数值问题，而是侧重于系统的建模、分析与它不需要过多地了解数值问题，而是侧重于系统的建模、分析与设计。其良好的人机界面及周到的帮助功能使

57、得它广为科技界和设计。其良好的人机界面及周到的帮助功能使得它广为科技界和工程界所采用。工程界所采用。(2)用用MATLAB进行部分分式展开进行部分分式展开MATLAB有一个命令用于求有一个命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展开式。的部分分式展开式。设设s 的有理分式为的有理分式为式中式中（i =）和）和（j =）的某些值可能为零。）的某些值可能为零。在在MATLAB的行向量中，的行向量中，num和和den分别表示分别表示F(s)分子和分母的分子和分母的系数，即系数，即num=den=1命令命令 MATLAB将按下式给出将按下式给出F(s)部分分式展开式中的部分分式展开式中的留数留数、极点极

58、点和和余余项项：nnnnnnasasbsbsbsAsBsF 11110)()()(ian, 2 , 1 jb0b 1bnb 1ana 1ar,p,k=residue(num,den)()()()2()2() 1 () 1 ()(sknpsnrpsrpsrsF 0,1,2,n上式与式（上式与式（2.37）比较，显然有）比较，显然有p(1)=-，p(2)=-，p(n)=-；r(1)= , r(2)= ，r(n)= ；k(s)是余项。是余项。例例2.6试求下列函数的部分分式展开式：试求下列函数的部分分式展开式： 解解对此函数有对此函数有 num=111395226den=110355024命令命令于

59、是得到下列结果于是得到下列结果r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.0000np1p2pnA1A2A2450351026523911)(234234sssssssssFr,p,k=residue(num,den)0.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1则得则得如果如果F(s)中含重极点，则部分分式展开式将包括下列诸项中含重极点，则部分分式展开式将包括下列诸项式中，式中，p(j )为一个为一个q重极点重极点。例例2.7试将下列函数展开成部分分式：试将下列函数展开成部分分式：4324321139522612.530.5(

60、 )1103550244321ssssF sssssssssqjpsqjrjpsjrjpsjr)() 1()() 1()()(2 13364164)(23232sssssssssF解解对于该函数有对于该函数有num=0146den=1331命令命令r,p,k=residue(num,den)将得到如下结果将得到如下结果：r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.00003.0000p=-1.0000-1.0000-1.0000k=所以可得所以可得 注意，本例的余项注意，本例的余项k 为零为零。2.2.5 2.2.5 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程应用