2020高中数学1.3.2球的体积与表面积教案新人教A版必修2通用

1、必修2第1章第3节球的体积和表面积第1课时教学设计【课标解读】由于球的体积和表面积公式在推导证明上比较繁琐，学生在理解掌握上也比较困难，根据新的数学课程标准要求，本节的公式证明和推导应淡化处理，只需让学生简单了解推导过程，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用，不要求学生掌握其证明。在球的体积和表面积公式应用和球与几何体组合体的求解过程中，提高学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。通过应用预设和相应的应用练习提高学生的提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，利用学生身边熟知的问题预设提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，进而形成锲

2、而不舍的钻研精神和科学态度。【教材分析】本节课是人教a版高中数学（课程标准实验教材）必修2第一章“空间几何体”第三节“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征。从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础。【学情分析】学生刚学习立体几何不久，具备的图形语言表达及空间想象能力相对不足， 几何体的内切球、外接球的位置关系较难想

3、象，很难顺利作出正确的直观图，空间图形问题向平面图形问题的转化意识也不够，对于解决组合体的体积和表面积的问题有一定的困难，而且学生的归纳总结能力不够，独立完成自主学习任务有一定困难，还不能从一定高度去体会和感悟数学思想。这些都是摆在学生面前的难题，也是教学中迫切需要解决的问题。【教学目标】1.掌握球的体积、表面积公式及其应用。2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力，发展逻辑思维能力，加强辩证唯物主义观点。3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”与“外切”的几何体问题。【教学重点、难点】重点：球的体积和表面积的计算公式的应用难点：解决与球相关的“内接

4、”和“外切”的几何问题【教学方法】讲练结合【教学过程】教学过程教学内容师生互动设计意图新课引入问题一、座落于莱阳河东新区鹤山路与梨园路交叉口的山东莱阳金山国际酒店由锦江国际酒店管理有限公司管理，邻近莱阳火车站，酒店集传统中式的优雅与现代设计于一身，体现一流的舒适感和实用性。现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？问题二、一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？通过多媒体展示实际问题师：对于这两个实际问题，我们能否利用数学知识来解决呢？通过问题的铺设引入新课探索

5、新知回顾上一节的内容柱体的体积公式v=sh锥体的体积公式台体的体积公式这些公式推导的依据是什么？提出问题怎样求球的表面积和体积？球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展开成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？球的体积1.实验法：排液法测小球的体积（曹冲称象）小球排出的液体的体积等于小球的体积2祖暅定理法：一个半径和高都等于r的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为r的半球的体积相等。用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为r 则截面面积设圆大环半径为r小圆半径为 ，面积所以，由祖

6、暅定理得，这两个几何体的体积相等，即球的表面积:设想一个球由许多顶点在球心,底面在球面上的“准锥体”组成,这些准锥体的底面并不是真的多边形,但只要其底面足够小,就可以把它们看成真正的锥体.=)r=知识要点1球的体积：2球的表面积：解惑一，解决问题一解惑二，解决问题二多媒体展示回顾内容师以提问的方式让学生回答回顾内容师：这些公式推导的依据是什么？生：分割师投影提出问题师投影球的体积和表面积的推导方法，并简单介绍师：因为球的体积和表面积公式的推导不要求掌握，所以在这里只做简单了解师：通过给出的球的体积表面积公式，思考球的体积、表面积由哪一个量来决定的？生：球的半径r师：（肯定）利用刚才所学知识能否

7、解决问题一？生：师：那能否解决问题二呢？通过回顾内容提出问题通过球的体积表面积的推导让学生简单了解，不要求学生掌握所以用时要简单加强对公式的认识培养学生理解能力典例分析例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；(2)球的表面积与圆柱的侧面积相等.证明:(1)设球的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r.(2)例2篮球直径是10cm,不考虑球皮厚度，求它的体积.拓展一在物流快递中，邮递员要将此篮球（充气状态）用正方体纸箱进行打包，怎样做才能做到用料最省？ 解：由题意得，球的直径等于正方体的棱长 正方体的表面积为拓展二如图，正方体abcd-abcd

8、的棱长为a,它的各个顶点都在球o的球面上，问球o的表面积。分析：由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。adc bd师：投影例1并读题，学生先独立完成生：利用投影仪展示自己所做的答案师：点评学生做的答案并投影本题答案（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）教师投影例2并读题，学生先独立完成.让学生投影答案教师进行点评教师投影拓展一并读题，师：思考：用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 生： 球内切于正方体师：你准备怎样研究这个组合体？生：画出球和正方体的平面图.师：正方体的棱长与球的哪一个量相等？生：球的直径.师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.教

9、师投影拓展二并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，并利用投影仪展示学生做的解题过程，最后给出正确答案让学生比照自己做的，找出不足之处。.师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.本题较易，学生能独立完成，该题的目的是引出拓展通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.随堂练习(

10、1)若球的表面积变为原来的4倍,则半径变为原来的 倍 。(2)若球半径变为原来的4倍，则表面积变为原来的 倍 。(3)若两球表面积之比为1:4，则其体积之比是。(4)若两球体积之比是1:8，则其表面积之比是。应用练习如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?分析：解决本题关键是求出半球的体积和圆锥的体积，然后使得圆锥体积大于等于半球的体积即可.解：要使冰淇淋不从杯子里溢出，只需使由题意得学生独立完成（1）（2）（3）（4）师展示应用练习并

11、读题，并引导学生研究思考巩固所学知识应用练习的目的是让学生能够利用所学的知识解决实际应用问题课堂小结初步了解球的表面积体积的计算公式的获得2掌握球的表面积体积的计算公式的应用3掌握球的内接和外切问题，解决此类题型的关键是找到几何体与球的直径（或半径）间的联系，并能通过轴截面将空间几何体转换成平面问题来解决学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.课后作业p28 课后练习1.2.3p35复习参考题a组1 b组2学生独立完成固化练习提升能力【板书设计】由于本节课的授课形式为多媒体课件和导学案相结合的方式，所以在板书设计上能体现本节课的主要内容即可球的体积和表面

12、积一、 体积公式： 拓展一 拓展二 面积公式：二、例题例1必修2第1章第3节球的体积和表面积第1课时导学案莱阳市第四中学 孙大勇 闫留云一、教学目标1.掌握球的体积、表面积公式及其应用。2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力，发展逻辑思维能力，加强辩证唯物主义观点。3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”与“外切”的几何体问题。二、教学重点、难点教学重点：球的体积和表面积的计算公式的应用教学难点：解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题三、知识链接1、柱体、锥体、台体的体积公式和表面积公式分别是什么？ 2、球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，那

13、么它的表面积和体积的应用和拓展应用也是我们这节课所要研究的内容。四、学法指导结合导学案和多媒体通过讲练结合的方法学习本节内容问题引入问题一、座落于莱阳河东新区鹤山路与梨园路交叉口的山东莱阳金山国际酒店由锦江国际酒店管理有限公司管理，邻近莱阳火车站，酒店集传统中式的优雅与现代设计于一身，体现一流的舒适感和实用性。现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？问题二、一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？回顾柱体的体积公式 锥体的体积公式 台体的体积公式 这些公式推导

14、的依据是什么？提出问题怎样求球的表面积和体积？球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？球的体积1.实验法：排液法测小球的体积（曹冲称象）小球排出的液体的体积等于小球的体积2.祖暅定理法：一个半径和高都等于r的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为r的半球的体积相等。用任一水平面去截这两个几何体用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为r 则截面面积设圆大环半径为r小圆半径为 ，面积所以，由祖暅定理得，这两个几何体的体积相等，即球的表面积设想一个

15、球由许多顶点在球心，底面在球面上的“准锥体”组成，这些准锥体的底面并不是真的多边形，但只要其底面足够小，就可以把它们看成真正的锥体。=)r=知识要点1、半径为r的球的体积公式：_2、半径为r的球的表面积公式：_球的体积、表面积由哪一个量来决定的？典例分析例1如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二；(2)球的表面积与圆柱的侧面积相等.例2篮球直径是10cm,不考虑球皮厚度，求它的体积.拓展一在物流快递中，邮递员要将此篮球（充气状态）用正方体纸箱进行打包，怎样做才能做到用料最省？拓展二如图，正方体abcd-abcd的棱长为a，它的各个顶点都在球o的球面上，问球o的表面积。分析：由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。adc bd 课堂练习(1)若球的表面