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文档简介
1、第9课时圆的一般方程1.在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,掌握方程x2+y2 +dx+ey+f=0表示圆的条件,由圆的一般方程确定圆的圆心和半径.2.能通过配方等手段将圆的一般方程化为圆的标准方程,会用待定系数法求圆的方程.3.培养学生发现问题、解决问题的能力.同学们,我们在上一节课学习了圆的定义和圆的标准方程,以及用待定系数法求圆的标准方程.我们把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,展开后得到了x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,本节课我们就来学习下这个方程的特点.问题1:对于方程x2+y2+dx+ey+f=0,配方可得. (1)当
2、d2+e2-4f>0时,与圆的标准方程作比较,可看出方程表示以为圆心,为半径的圆; (2)当d2+e2-4f=0时,方程只有一个解,x=-d2,y=-e2,它表示一个点(-d2,-e2);(3)当d2+e2-4f<0时,方程没有实数解,它不表示任何图形.因此,当d2+e2-4f>0时,x2+y2+dx+ey+f=0表示一个圆,叫作圆的一般方程. 圆的一般方程的特点:x2和y2的系数相同,没有xy这样的二次项,圆的一般方程中有三个待定系数d、e、f,因此只要求出这三个系数,圆的方程就明确了;圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的一般方程也指
3、出了圆心坐标与半径大小,几何特征明显. 问题2:设点m(x0,y0),根据圆的一般方程得到坐标平面内的点和圆的关系如下:(1)点在圆外 x02+y02+dx0 +ey0 +f>0;(2)点在圆上 x02+y02+dx0 +ey0 +f=0;(3)点在圆内 x02+ y02+ dx0+ey0+f<0. 问题3:用待定系数法求圆的一般方程的步骤是:(1)设出圆的一般方程;(2)根据题意列出关于d、e、f的方程组;(3)解出d、e、f,代入一般方程. 问题4:求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系,用有序数对(x,
4、y)表示曲线上任意一点m的坐标;(2)写出适合条件的点m的集合; (3)列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.总结为:建系设标列式化简结果.1.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆的条件是().a.14<m<1b.m>1c.m<14d.m<12.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分别为().a.(3,0),8b.(0,-3),8c.(0,3),22d.(3,0),223.圆的方程为x2+y2-8x=0,则圆心为,半径为. 4.圆c通过不同的三
5、点p(k,0)、q(2,0)、r(0,1),已知圆c在点p处的切线斜率为1,试求圆c的方程.圆的一般方程的概念辨析若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的标准方程.求圆的一般方程已知圆经过三点:a(1,4),b(-2,3),c(4,-5),求圆的方程.有关圆的轨迹问题等腰三角形的顶点是a(4,2),底边一个端点是b(3,5),求另一个端点c的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0对称的曲线仍是其本身,求实数a的值.圆心在直线y=x上,且过点a(-1,1)、b(3,-1),求圆的
6、一般方程.已知定点a(4,0),点p是圆x2+y2=4上一动点,点q是ap的中点,求点q的轨迹方程.1.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是().a.x+y-1=0b.x+y+3=0c.x-y+1=0d.x-y+3=02.已知圆c的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆c相切,则圆c的方程为().a.x2+y2-2x-3=0b.x2+y2+4x=0c.x2+y2+2x-3=0d.x2+y2-4x=03.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心为. 4.已知圆x2+y2=r2,圆内有定点p(a,b),圆周上有两个动点a、b满
7、足papb,求矩形apbq顶点q的轨迹方程.(2020年·上海卷)圆c:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=. 考题变式(我来改编):第9课时圆的一般方程知识体系梳理问题1:(x+d2)2+(y+e2)2=(d2+e2-4f)4(1)(-d2,-e2)12d2+e2-4f(3)圆的一般方程x2和y2圆心半径问题2:(1)x02+y02+dx0 +ey0 +f>0(2)x02+y02+dx0 +ey0 +f=0(3)x02+ y02+ dx0+ey0+f<0问题3:(1)d、e、f问题4:(2)点m的集合基础学习交流1.d圆的
8、方程条件为42+22-4×5m>0m<1.2.c方程可变形为:x2+(y-3)2=8.3.(4,0)44.解:设圆c的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,则k、2为x2+dx+f=0的两根,k+2=-d,2k=f,即d=-(k+2),f=2k.又圆过点r(0,1),故1+e+f=0,e=-2k-1.故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心坐标为(k+22,2k+12).圆c在点p处的切线斜率为1,kcp=-1=2k+12-k,k=-3.d=1,e=5,f=-6.所求圆c的方程为x2+y2+x+5y-6=0.重点难点探究探究一:【解析】 (
9、法一)当a=0时,显然不符合题意,当a0时,方程可写为x2+y2-4(a-1)ax+4ay=0.d=-4(a-1)a,e=4a,f=0,由d2+e2-4f=16a2(a2-2a+2)>0知,当ar且a0时原方程表示圆.又半径r=12d2+e2-4f=22(1a-12)2+12,当a=2时,rmin=2,此时圆的方程为x2+y2-2x+2y=0.(法二)原方程可化为x-2(a-1)a2+(y+2a)2=4(a2-2a+2)a2.a2-2a+2>0,当a0时,原方程表示圆.又r=4(a2-2a+2)a2=2a2+2(a2-4a+4)a2=2+2(a-2)2a22,当a=2时,rmin=
10、2,半径最小的圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.【小结】解答此类问题要注意所给的方程是否为x2+y2+dx+ey+f=0这种形式,若不是,则要化成一般方程形式再求解.探究二:【解析】设所求圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,将a(1,4),b(-2,3),c(4,-5)代入,得d+4e+f=-17,-2d+3e+f=-13,4d-5e+f=-41d=-2,e=2,f=-23,故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0.【小结】若已知圆上三点往往要利用待定系数法求解,即设出圆的一般方程,把点的坐标代入即可建立关于d、e、f的方程组.探究三:【解析】 设点c的坐标为(x,y
11、),由题意得,|ac|=|ab|,即(x-4)2+(y-2)2=(4-3)2+(2-5)2,整理得(x-4)2+(y-2)2=10,即为点c的轨迹方程,所以点c的轨迹是圆.问题点c的轨迹是完整的圆吗?结论上述误解忽视了三角形三点不共线这一隐含条件.于是,正确解答如下:设点c的坐标为(x,y),由题意得,|ac|=|ab|,即(x-4)2+(y-2)2=(4-3)2+(2-5)2,整理得(x-4)2+(y-2)2=10,因为a、b、c是三角形的三个顶点,三点不共线,而直线ab与圆的交点为(3,5)、(5,-1),所以点c的坐标不能为(3,5)、(5,-1),故点c的轨迹方程为(x-4)2+(y-
12、2)2=10(除去点(3,5)、(5,-1),它的轨迹是以a(4,2)为圆心,10为半径的圆,但除去(3,5)、(5,-1)两点.【小结】求曲线的轨迹方程时注意以下几点:(1)根据题目的条件选用适当的求轨迹的方法;(2)要看清是求轨迹还是求轨迹方程,轨迹是轨迹方程所表达的曲线;(3)验证轨迹上是否有应去掉或漏掉的点.思维拓展应用应用一:由题意知,圆心c(-a22,a2-12)在直线y-x=0上,a2-12+a22=0,a2=12,a=±22.(注:f=-4<0,不需检验d2+e2-4f>0)应用二:设圆的一般方程为x2+y2+dx+ey+f=0,由题意得-d2=-e2,2
13、-d+e+f=0,10+3d-e+f=0,解得d=e=-4,f=-2,故所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.应用三:设点q的坐标为(x,y),点p的坐标为(x0,y0),则x=4+x02,y=0+y02,即x0=2x-4,y0=2y.又点p在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y)2=4,整理得(x-2)2+y2=1,即为点q的轨迹方程.基础智能检测1.c解题的突破口为弄清平分线的实质是过圆心的直线,即圆心符合直线方程.圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心为(1,2),把点(1,2)代入a、b、c、d,不难得出选项c符合要求.2.d
14、设圆心c为(a,0),且a>0,则点c到直线3x+4y+4=0的距离为2,即|3×a+4×0+4|32+42=23a+4=±10a=2或a=-143(舍去),则圆c的方程为:(x-2)2+(y-0)2=22,即x2+y2-4x=0.3.(0,-1)将方程配方,得(x+k2)2+(y+1)2=-34k2+1.r2=1-34k21,rmax=1,此时k=0,且圆面积最大,所求圆心为(0,-1).4.解:设ab的中点为r,坐标为(x,y),欲求q的轨迹方程,应先求r的轨迹方程.在rtapb中,|ar|=|pr|.又因为r是弦ab的中点,所以在rtoar中,|ar|2=|ao|2-|or|2=r2-(x2+y2).又|ar|=|pr|=(x-a)2+(y-b)2,所以有(x-a)2+(y-b)2=r2-(x2+y2),即2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.因此,点r在一个圆上,而当r在此圆上运动时,q点即在所求的轨迹上运动.设q(x,y),r(x1,y1),因为r是pq的中点,所以x1=x+a2,y1=y+b2,代
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