new矩阵论课后习题答案袖珍字体版改

1、膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂

2、膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂

3、膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃

4、艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁

5、芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁

6、莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂

7、莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀

8、羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀

9、肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁

10、肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿

11、肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀

12、膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈

13、膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈

14、芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿

15、芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇

16、芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃蚅罿芈芅薁羈羇蒁蒇肇肀芄螆肆膂葿蚂肅莄节蚈肅肄薇薄肄膆莀袂肃艿薆螈肂莁荿蚄肁肁薄薀螈膃莇蒆螇芅薂螅螆羅莅螁螅膇蚁蚇螄艿蒃薃螃莂芆袁螂肁蒂螇螂膄芅蚃袁芆蒀蕿袀羆芃蒅衿肈蒈袄袈芀芁螀袇莃薇蚆袆肂荿薂袆膅薅蒈袅芇莈螆羄羇薃蚂羃聿莆薈羂膁薂薄羁莃蒄袃羀肃芇蝿羀膅蒃 第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于"x,yÎv，æx1+y1öæy1+x1ö； 

17、7;çx+y=ç=çx+y+xy÷çy+x+yx÷÷=y+x211ø211øè2è2（2）对于"x,y,zÎv，æx1+y1öæz1ö(x+y)+z=ççx+y+xy÷÷+ççz÷÷=211øè2è2øæx1+y1+z1ö=ççx+y+z+xy+xz+yz)÷

18、÷22111111øè2æx1+y1+z1öççx+y+xy+z+z(x+y)÷÷2112111øè2æx1öæy1+z1ö÷çx+(y+z)=ç+çx÷çy+z+yz÷÷=211øè2øè2æx1+y1+z1ö=ççx+y+z+xy+xz+yz)÷÷22111111&

19、#248;è2（3）对于q则æx1+y1+z1öççx+y+z+yz+x(y+z)÷÷，即(x+y)+z=x+(y+z)。 2211111øè2æ0ö和"xÎv，显然æ-x1ö， ；（4）对于"xÎv，令æx1+0öæx1ö=çç2÷y=÷ç÷x+q=ç=xç0÷÷çx-x

20、47;çx+0+0x÷çx÷èø2øè11øè2è2øöæ0öæx1öæ-x1öæx1-x1，即y=-x。 ç÷ç÷x+y=ç+=ç0÷÷=qçx÷çx2-x÷çx+x2-x-x2÷÷=çèøè2ø&

21、#232;12ø121øè2ælx1öæmx1öç÷ç÷lx+mx=ç+ç112÷2÷çlx2+l(l-1)x1÷çmx2+m(m-1)x1÷（5）对于"l,mÎr和"xÎv，有 22èøèøælx1+mx1öæ(l+m)x1öç÷ç÷=ç

22、=ç11222÷22÷çlx2+mx2+l(l-1)+m(m-1)x1+lmx1÷ç(l+m)x2+(l+2lm+m-l-m)x1÷22èøèøæ(l+m)x1öæx1öç÷=ç=(l+m)ç122÷çx÷÷=(l+m)xç(l+m)x2+(l+m)-(l+m)x1÷è2ø2èø（6）对于"l

23、06;r和"x,yÎv，有æl(x1+y1)ö， æx1+y1öç÷l(x+y)=lççx+y+xy÷÷=çl(x+y+xy)+1l(l-1)(x+y)2÷ç÷211øè22211112èøælx1öæly1öç÷ç÷lx+ly=ç+ç112÷2÷çlx2+l(l-1)

24、x1÷çly2+l(l-1)y1÷22èøèø， ælx1+ly1öç÷=ç11÷222çlx2+l(l-1)x1+ly2+l(l-1)y1+lx1y1÷22èøælx1+ly1öç÷=ç11÷222çl(x2+y2+x1y1)+l(l-1)x1+ly2+l(l-1)y1+(l-l)x1y1÷22èøælx1+ly1&

25、#246;ç÷=ç12÷çl(x2+y2+x1y1)+l(l-1)(x1+y1)÷2èøæmx1öælmx1öç÷ç÷l(mx)=l=即l(x+y)=lx+ly。（7）对于"l,mÎr和"xÎv，有çmx+1m(m-1)x2÷çlmx+1m(m-1)x2+1l(l-1)m2x2÷， ç2ç1÷211÷222è

26、øèøælmx1öælmx1öç÷ç÷=ç=ç=(lm)x112÷2÷çlmx2+lm(m-1)+m(l-1)x1÷çlmx2+lm(lm-1)x1÷22èøèø（8）对于"xÎv，有æ1×x1ö。 综上所述，v在r上构成线性空间。 ç÷1×x=ç=x12÷ç

27、1×x2+1×(1-1)x1÷2èø2、对于"x,yÎv和"mÎr，因为a(x+ly)=ax+ay=lx+ly=l(x+y)，a(mx)=m(ax)=m(lx)=l(mx)，所以x+yÎvl，mxÎvl，从而由第1.2节定理1可知，vl是c的子空间。因为对"xÎv，ax=lx，即(a-li)x=0，所以由第1.4节的定理3可知，dimvlln=n-rank(a-li)。3、对于"b,cÎv和"lÎf，满足ba=ab，ca=ac

28、，并且a(b+c)=ab+ac=ba+ca=(b+c)a，a(mb)=mab=mba=(mb)a，即b+cÎv，mbÎv，从而由第1.2节定理1可知，v是fn´n的子空间。4、对于"b,cÎv和"lÎr，满足trb=0，trc=0，并且tr(b+c)=trb+trc=0，tr(lb)=ltr(b)=0，从而由第1.2节定理1可知，v是r2´2的1子空间。dimv=3，并且v的一组基为1æ0öçç0-1÷÷èø，æ01ö

29、;ç÷ç÷è00ø和æ00ö。çç10÷÷èø5、对于"b,cÎv和"lÎr，满足b=bt，c=ct，并且(b+c)t=bt+ct=b+c，(lb)t=lbt=lb，从而由第1.2节定理1可知，v是r间。dimv=n(n+1)，并且v的一组基为vijn´n的子空2=(aij)n´n，其中aij=aji=1,(1£i£n,1£j£i)，其它元素为0。000&#

30、246;÷200÷010÷÷002÷ø11021ö÷1÷3÷÷2÷ø-1æ1çç0¢,e2¢,e3¢,e4¢=ça=e1,e2,e3,e4-1e16、解由e1¢,e2¢,e3¢,e4¢=e1,e2,e3,e4a，可得0çç0èæ1000öç÷3111öæ31&

31、#231;0100÷æç÷çç÷ç4022÷ç202=ç÷ç÷=çç0010÷ç1303÷ç13ç11ç1÷ç2244÷èøèç000÷2øèæ3çç4ç1çç2è111ö÷022÷

32、;303÷÷244÷ø由x=e¢,e¢,e¢,e¢y，可得1234æ3çç4-1¢,e2¢,e3¢,e4¢x=çy=e11çç2è10321204æ11çç48-11öæ1öç35÷ç÷-2÷ç2÷ç48=ç÷ç÷3311

33、7;ç÷ç-ç÷ç÷334øè4øç57çç-è612ö÷÷1öæ0ö。 ÷æçç÷0÷ç2÷0÷÷÷ç÷=ç10÷÷ç3÷çç-÷ç4÷ç1÷

34、47;3÷èøèø11-÷÷312ø0-1818137、由二项式定理，01nf(x)=(x+1)n=(x-1)+2n=cn(x-1)02n+cn(x-1)12n-1+l+cn(x-1)n20，n(n-1)=2n+n(x-1)2n-1+(x-1)22n-2l+(x-1)n2!(x-1)(x-1)下的坐标为所以f(x)在1,(x-1),l,2!n!2n(2,n2nn-1,n(n-1)2n-2,l,n!)。k和k8、由kx+ky+kz=0和kk¹0可得kk。对于"pÎspanx,y，存在常数

35、l1和l2，使得 12313x=-2y-3zz=-1x-2yk1k1k3k3p=l1x+l2y=l1(-kkk2k，故spanx,yÌy-3z)+l2y=(l2-l12)y-l13zÎspany,zk1k1k1k1spany,z。对于"qÎspany,z，存在常数m1和m2，使得q故spany,zÌ9、因为=m1y+m2z=m1y+m2(-k1kkkx-2y)=-m21x+(m1-m22)yÎspanx,y， k3k3k3k3spanx,y。综上所述，有spanx,y=spany,z。211232121öæ1

36、47;ç2÷ç0®1÷ç0÷çç0÷øè0210032101ö÷，从而2÷5÷÷0÷øæ1çç0ta1,a2,b1,b2=ç2çç3èranka1,a2,b1,b2=3。上面的过程可以得到b1-2a1+3a2=b2-3a1+4a2，所以b2-b=a1-a2。则由第4节定理1可知，dim(v1+v2)=ranka1,a2,b1,b2=3，并

37、且a1,a2,b1是它的一组基（并不唯一）。再由子空间维数定理可得，dim(v1Çv2)=dimv1+dimv2-dim(v1+v2)=2+2-3=1，并且基为b2-b=a1-a2。10、设a,a,l,a是w1的一组基，则因为w1Ìw2，所以a,a,l,aÎw。再由dimw2=dimw1可知，从而w2Ìw1。即得w1=w2。 a1,a2,l,as是w2的一组基，12s12s212、对于"xÎv1，存在常数l,l,l,lÎf，使得x=le+le+l+le，从而t1(x)=t1(l1e1+l2e2+l+lnen)=l1t1(e1

38、)+l2t1(e2)+l+lnt1(en)1122nn12n。=l1t2(e1)+l2t2(e2)+l+lnt2(en)=t2(l1e1+l2e2+l+lnen)=t2(x)-1121213、设所求矩阵为a，从1¢到e1,e2的转换矩阵为p，则e1,e2=e1¢,e2¢p，从而p=e¢,e¢e,e=æe1¢,e2çç3è，可得2ö÷1÷ø-1æ10ö。çç12÷÷èø由

39、0;11ö¢,e2¢)=t(e1,e2p-1)=t(e1,e2)p-1çç20÷÷=t(e1èøæ11ö，即æ11ö，又由t(e,e)=e,ea，可得çe,ea=1212t(e1,e2)=ç12ç20÷÷pç20÷÷pèøèø2æ11öæ10öa=e1,e2çç20÷÷

40、p=çç12÷÷èøèø1öæ30öæ1ç-÷111öç5ç÷æ5÷æ÷ç=ç11÷çç÷çç-÷è20øç13÷è1ç÷è22øè55ø-1-1æ11ö

41、30;12öæ10öç÷÷ç20÷÷çç÷çç÷èøè31øè12ø。4öæ6÷0öç55ç÷÷=ç÷2÷13ø-÷ç5øè51-114、若取一组常数l1,l2,l,lm，使得l则作用线性变换t，m-1次，得到ltm-1(x)=0

42、，因为tm-1(x)¹0，所以l1=0。x+l2t(x)+l+lmtm-1(x)=0，1=l2=l=lm=0，所以x,t(x),l,tm-1(x)是w的基。作用线性变换tm-2次，得到l2tm-1(x)=0，因为tm-1(x)¹0，所以l2=0。依次类推，得到l1t(x,t(x),l,tm-1(x)=(t(x),l,tm-1(x),0)因为æ0çç1m-1=(x,t(x),l,t(x)ç0ççlç0è00l00ö，所以矩阵为ç÷ç100l00÷&

43、#231;0÷ç10l00çl÷ç0llll÷è÷00l10øæ000l00ö÷。00l00÷10l00÷÷llll÷00l10÷ø15、设v和v是a分别对应于不同特征值l1和l2的特征子空间。对"zÎvÇv，它满足azl1l2l1l2因为l1=l1z与az=l2z，从而l1z=l2z，即(l1-l2)z=q。¹l2，所以z=q，从而vlÇvl=q，从而得证。16、对

44、任意a的特征子空间v=x|ax=lx,xÎfn，"xÎv，满足axll得证。12=lx。从而at(x)=abx=bax=b(lx)=lbx=lt(x)，即t(x)Îvl，从而17、对于"xÎn(a)Çn(b)，则ax=q且bx=q，从而(a+b)x=ax+bx=q，(a-b)x=ax-bx=q，即xÎn(a+b)Çn(a-b)，得到n(a)Çn(b)Ìn(a+b)Çn(a-b)。对于"yÎn(a+b)Çn(a-b)，则(a+b)y=q且(a-b)

45、y=q，从而ay=q，by=q，即yÎn(a)Çn(b)，得到n(a+b)Çn(a-b)Ìn(a)Çn(b)。综上所述，n(a)Çn(b)=n(a+b)Çn(a-b)。18、对于"yÎr(a+b)，则存在zÎa+b，使得y=(a+b)z=az+bzÌr(a)+r(b)，从而r(a+b)Ìr(a)+r(b)。dimn(ab)=m-rank(ab)，dimn(a)=m-rank(a)，19、显然n(ab)Ìn(a)Èn(b)，即dimn(ab)£di

46、mn(a)+dimn(b)，并且dimn(b)=s-rank(b)，所以m-rank(ab)£m-ranka+s-rankb，即ranka+rankb£rankab+s。第二章 内积空间 习题二（71-73）1、由题意可知，at=a，所以对于"x,y,zÎv，"lÎc，有（1）(y,x)=yhax=yta(xh)t=(xhay)t=(x,y)t=(x,y)； （2）(lx,y)=(lx)h（4）（3）(x+y,z)=(ay=hay=(x,y)；x+y)haz=(xh+yh)az=xhaz+yhaz=(x,z)+(y,z)；n_(x,x

47、)=xhax=ålixi2³0。因为l1,l2,l,ln>0，所以(x,x)=0Ûi=1xåli=1n2ii=0Ûxi2=0(i=1,2,l,n)Ûxi=0(i=1,2,l,n)Ûx=0综上可知，v是酉空间。12、a=æç111öæ1013ö，从而ranka=2， dimn(a)=4-ranka=2。对于"xÎn(a)，由ax=0，得ìx1+x3+3x4=0，可得n(a)的基为íç121-1÷÷

48、74;çç010-2÷÷èøèøîx2-2x4=0æ-1öæ-3öç÷，ç÷，从而n(a)=la,a。对a,a进行schmidt正交化，可得b=a=(-1010)t，121211ç0÷ç2÷a1=ç÷a2=ç÷10ç÷ç÷ç0÷ç1÷èøè

49、øæ3öç-÷-3-1æöæöç2÷。对b,b进行单位化，即得n(a)的标准正交基12ç÷ç÷(b1,a2)ç2÷-1´(-3)+0´2+1´0+0´1ç0÷ç2÷b2=a2-b1=ç÷-ç1÷=ç3÷0(b1,b1)(-1)2+02+12+02ç÷ç

50、7;ç-÷ç1÷ç0÷ç2÷èøèøç1÷èøbg1=1=b1æ-1öæ-1öç÷ç÷11ç0÷æç0÷ç-=ç÷1÷ç2ç(-1)2+02+12+02ç1÷ç÷èç0÷ç

51、;0÷èøèø 2ö0÷÷øt；g2=b2b2æ3öæ3öç-÷ç-÷ç2÷ç2÷ç2÷11ç2÷。=ç÷ç÷32322ç3÷ç3÷2-(-)+2+(-)+1-ç2÷222ç2÷ç1÷ç1÷

52、èøèøt231æ3ö=ç-,-,÷193819è38ø3、由于e1,e2,e3为r的标准正交基，则由第2.2节定理2可知，内积在这组基下的矩阵为a=3¢,e2¢,e3¢)=(e1,e2,e3)p，可得 i3。又由(e13æç1çç-1¢,e3¢)=ç0p=(e1,e2,e3)(e1¢,e2çç0çè0120ö0÷÷&

53、#247;0÷÷1÷÷3ø-1æ100öæ100öæ111öæ100öæ111öæ111ö再由第2.1节定理4可知， ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷。111100111111æöæöæöæöb=phap=ç140÷&

54、#231;010÷ç044÷=ç140÷ç044÷=ç11717÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç022÷=ç020÷ç022÷=ç044÷ç149÷ç001÷ç009÷ç149÷ç009÷ç11798÷èøè&#

55、248;èøèøèøèøç003÷ç003÷ç003÷ç009÷èøèøèøèø4、设e1,e2,l,en为n维欧氏空间v的一组标准正交基，线性变换t在这组基下的矩阵为a，即t(e1,e2,l,en)=(e1,e2,l,en)a。t（1）若t为对称变换，即对于"x,yÎv，(t(x),y)=(x,y(y)，有(xa)ty=xtya，即at

56、xty=xtya，由于xty是一个常数，所以at=a，即a为对称阵。 （2）若t为反对称变换，即对于"x,yÎv，(t(x),y)=-(x,y(y)，有(xa)ty=-xtya，即atxty=-xtya，由于xty是一个常数，所以a5、由=-a，即a为反对称阵。10ö，可得æ1212öæ10 dimw=2。又因为a1,a2线性无关，所以它们是w的一组基，对a1,a2进行schmidt正交化，得到：ç÷ç÷a1,a2,a3=ç2121÷®ç0-10-1

57、47;ç1111÷ç0000÷èøèøtb1=a1=(1212)t；æ2öæ1öç÷ç÷(b1,a2)3ç1÷1´2+2´1+1´2+2´1ç2÷æ6b2=a2-b1=ç÷-=ç-2222ç÷21(b1,b1)2+1+2+155ç÷ç÷èç

58、1÷ç2÷èøèø63ö-÷55øt。对b1,b2进行单位化，即得w的标准正交基æ1öæ1öç÷ç÷b111ç2÷æç2÷çg1=ç÷=ç1÷=ç10b12+22+12+22ç1÷ç÷èç2÷ç2÷èø

59、;èø510ö÷5÷øt；g2=b2=b2æ6öç÷ç5÷æ2öç3÷ç÷。 -÷ç11ç-1÷5ç÷=2÷62326232ç6÷çç÷()+(-)+()+(-)çç-1÷5÷5555èøç÷3çç-

60、÷÷è5øtæö÷=çç5,-10,5,-10÷èø令x=(x1,x2,x3,x4)t则(x,g1)=0，即ìx1+2x2+x3+2x4=0，解得a=(-1010)t，从而w=la1,a2。 Îw，(x,g2)=0，a2=(0-101)t，1íî2x1-x2+2x3-x4=06、显然，cn=lÅl。对"xÎcn，有x7、由=x1+x2，x1Îl，x2Îl，p(x)=x1，则(in-p)(

61、x)=in(x)-p(x)=x-x1=x2，从而in-p为chæacöæaoö，从而hç÷dd=ççob÷÷çhbh÷èøècøn到l的正交投影。æacö为酉矩阵，则ddh=dhd=i，而hæahd=çm+nd=ççob÷÷çchèøèoöæaah+cch÷=çh÷hb

62、øçèbccbhö，÷h÷bbøæahdhd=ççchèoöæacöæahaahcö。即aah+cch=aha=i，bbh=chc+bhb=i，则ah=a-1，bh=b-1。从而÷çç÷mn÷=çob÷çhhh÷bh÷cacc+bbøèøèøaah=aha=im，bbh=bhb=in，a，

63、b为酉矩阵，c=0。8、（1）"xÎn(a)，有ax=0，从而(ahax)=ah(ax)=ah0=0，所以xÎn(aha)，即n(a)Ín(aha)。"yÎn(aha)，有ahay=0，从而(ay)hay=yhahay=yh0=0，即ay=0，yÎn(a)，所以n(aha)Ín(a)。综上所述，n(a)=n(aha)。（2）"xÎr(a)，则$xÎcn，使得ax对"yÎr(aah)，则$xÎcm=y。令x=ahz,zÎcm，则x=ahzÎ

64、;cn，使得y=aahz，即yÎr(aah)，从而r(a)Ír(aah)。m=aahz，令z=ahx，则zÎc，y=azÎr(a)，即r(aah)Ír(a)。综上所述，r(a)=r(aah)。，使得y（3）显然ranka=rankah。由dimr(a)=ranka及（2）可知ranka=dimr(a)=dimr(aah)=rank(aah)和rankah=dimr(ah)=dimr(aha)=rank(aha)，从而得证。9、（1）(in-p)2=in-p-p+p2=in-p，即in-p为幂等阵。(in-p)p=p-p2=pin-p2=p(in

65、-p)，所以in-p与p可交换。n-p)，$xÎc，使得y=(in-p)x，则py=p(in-p)x=(p-p2)x=0x=0，所以yÎn(p)，即r(in-p)Ín(p)。（2）对"yÎr(in对"xÎn(p)，则px=0，有(in征值，x为对应的特征向量，则px（4）由p（3）设l为p的特-p)x=x-px=x，所以xÎr(in-p)，即r(in-p)Ín(p)。综上所述，r(in-p)=n(p)。=lx，从而p2x=plx=lpx=l2x，再由p2=p，得到l2x=lx，即(l2-l)x=0，从而l

66、=0或l=1。p为酉空间cn到r(p)上的正交投影，而dimr(p)=trp，所以rankp=trp。（5）若px=x，则xÎr(p)；若xÎr(p)，=p2和第2.4节定理4可知，则$yÎcn，使得x=py，从而px=p2y=py=x。第三章 矩阵的对角化、若当标准型 习题三（106-108）1、由第3.1节的司楚尔（schur）引理可知，$uÎun´n，使得h，其中r是以a的特征值为对角线元素的上三角阵，则a=uru4ak=(uruh)l(uruh)=urkuh，kmskmikm1km2kkhkhkdeta=det(uru)=detudet

67、rdetu=detr=llll=lÕi所以12si=12、由s。-100æ000öæ001ö，得到可得特征值为l1=1（二重），l2=-1。由ç÷ç÷2li-a=l-12=(l-1)(l+1)l1i-a=ç002÷®ç000÷ç002÷ç000÷0l+1èøèøæ-200öç÷，得到a2l2i-a=ç0-22÷

68、1;000÷èø。由a1=3-ran(lk1i-a)=3-1=2=m1=3-rank(l2i-a)=3-2=1=m2。从而由第3.1节定理5可知，a可对角化。对于l1=1，得到对应的特征向量为(1,0,0)t和(0,1,0)t。对于l2=-1，得到对应的特征向量为(0,1,1)t。从而相似变换矩阵æ100öæ1ö。ç÷。ç÷t=ç011÷a=tç1÷thç001÷ç-1÷èøè

69、ø3、因为li-ba=hlibai=(-1)2nai=(-1)2nab-li=(-1)3nli-ab，所以ba与ab的特征多项式相同，从而得证。lib4、因为a=-a，则aha=aah=-a2，从而a为正规阵，由第3.1节的推论6可知，若l为a的特征值，则为ah的特征值，设x为其对应的特征向，所以(量，则=ahx=-ax=-lx，即(+l)x=0。因为x¹q+l)=0，从而l为纯虚数。ah可知，a为埃尔米特阵，故由第3.1节定理6可知，$uÎun´n，使得a=uluh，其中l是以a的特征值为对角线元素的对角矩hhh2h阵。又由a=a2可得，ulu=ulu

70、ulu=ulu，从而a的特征值只能为0或1。又因为a=crn´n(r³1)，所以不妨取前r个特征值为1，从而得证。5、充分性：由a=必要性：若$uÎun´n，使得éi0ùhéir0ùhéi0ùh，éi0ùéi0ùh，则 h 2éi0ù，éi0ùh，a=uêruh=uêrua=uêruuêu=uêruau=êra=uêruúú&#

71、250;úúuúúë00ûë00ûë00ûë00ûë00ûë00ûë00ûhh从而a=ah=a2。nh6、因为a正定，所以"xÎc，xax>0。特别地，依次取x为第i个元素为1，其他元素为0的n个单位向量，则得aii>0(i=1,2,l,n)。æ1öç÷ço÷ç÷，令则存在可逆矩阵c，使得1ç&#

72、247;-1ç÷ç÷chha=clc=cço÷ç÷-1ç÷0÷çço÷ç÷ç0÷èø7、由x1hhax1x2ax2<0可知，x1hax1与x2hax2异号，即a非正定。又由a=ah=cn´nx=(c-1)hy，y是第1个和第r-p+1个元素为1，其他元素为0（r为矩阵a的秩，p为正惯性指数）的向量，则xhax=yhc-1clch(c-1)hy=yhly=0。8、因为矩阵a正定，所以

73、可逆，并且ah即l=xbx>0，从而得证。h-1-1也正定。设l为ab的一个特征值，x为其对应的特征向量，则abx=lx，从而bx=la-1x。有xhbx=lxha-1x，xax9、（1）充分性：由a=ah和a正定可知，$uÎun´n，使得a=uluh，其中l为以a的特征值li12hh12121>0(i=1,2,l,n)为对角线元素的对角矩阵。令l2表示以有令q=i(i=1,2,l,n)为对角线元素的对角矩阵，则q必要性：若存在可逆矩阵qÎcn´n，使得a=qhq，则对"xÎcn，q=ulh=a。xhax=xhqhqx=(

74、qx)h(qx)³0，并且因为矩阵q可逆， (qx)h(qx)=0Ûqx=0Ûx=0，从而a正定。（2）由a=ah和a半正定可知，$uÎun´n，使得a=ulu12h，其中l为以a的特征值lih12121³0(i=1,2,l,n)为对角线元素的对角矩阵。令l2表示以i(i=1,2,l,n)为对角线元素的对角矩阵，令q=uh，则qq=ulluh=a。10、由a是埃尔米特阵可知，$uÎun´n，使得a=uluh，其中l为以a的特征值li>0(i=1,2,l,n)（或li³0(i=1,2,l,n)）为对角

75、线元素的对角矩5阵。令l表示以12lih(i=1,2,l,n)为对角线元素的对角矩阵，令b=uu，则b=ullu=a，并且矩阵b显然是埃尔米特阵。2h=diag(l1l2lln)，vbv=i，其中li(i=1,2,l,n)为a相对于b的特征值，满足ax=lbx。12h121211、由第3.2节定理10可知，存在可逆矩阵v，使得vhav从而xhax=lxhbx，因为a半正定，b正定，所以l=xax³0，从而vh(a+b)v=vhav+vhbv=diag(llll)+i>i=vhbv，两边取行列式即得结论。12nhhxbx12、充分性：若a为正规阵，则$uÎun´

76、;n，使得a=uluh，其中l是以a的特征值为对角元素的对角矩阵，令l=l1l2，其中l1是以a的特征值的模为=l2l1，a=ul1l2uh=ul1uhul2uh=ul2l1uh=ul2uhul1uh。令对角元素的对角矩阵，l2为以a的特征值的符号数为对角元素的对角矩阵，则l则显然s为半正定的埃尔米特阵，q为酉矩阵。从而a=sq=qs。必要性：若存在半正定的埃尔米特阵s和酉矩阵q，使得a=sq=qs，q=ul2uh，s=ul1uh，则$uÎun´n，使得s=uluh，其中l是以s的特征值为对角元素的对角矩阵。即a=uluhq=quluh，有haah=(uluhq)(uluh

77、q)h=(uluhq)(qhuluh)=ul2uh， aha=(quluh)h(quluh)=(uluhqh)(quluh)=ul2uh。从而aa13、埃尔米特阵为=aha，即a为正规阵。-1-i-1l-1-i-1l-1-i-2i1ö，则æ1得到特征值为l=3,l=-2,l=0。 ç÷123li-a=il2i=0l+22i+li=0l+20=l(l+2)(l-3)a=ç-i0-2i÷ç1-1-2il-1-2il-1-2il-22i0÷èø由5i5öæ0i1ö，可得0

78、0öæ000ö，可得æ-3-i-1öæ0æ0ö； æ2-i-1öæ0-5i5öæ0æ1ö由ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷00÷®ç000÷a2=çi÷l1i-a=çi32i÷®

79、;ç055i÷®ç055i÷®ç01i÷a1=ç-i÷l2i-a=çi-22i÷®ç0ç-1-2i-2÷ç-1-2i-2÷ç-100÷ç1÷ç-1-2i3÷ç-1-2i3÷ç-1-2i3÷ç-101÷ç1÷èøèøèø&

80、#232;øèøèøèøèøèø由æ-2öæ-1-i-1öæ-1-i-1öæ-10-2öç÷；对a1,a2,a3进行正交化，得到：b1=a1=(1-i1)t； ç÷ç÷ç÷，可得a3=ç-i÷l3i-a=çi02i÷®ç01i÷®ç01i&

81、#247;ç1÷ç-1-2i0÷ç0ç-i1÷00÷èøèøèøè0øæ0öæ1öæ0öæ1öæ-2öç÷0´1+i´(-i)+1´1ç÷ç÷ç÷ç÷； (a2,b1)b2=a2-b1=çi÷

82、;-ç-i÷=çi÷-2ç-i÷=ç3i÷(b1,b1)12+(-i)2+12ç÷ç÷ç÷ç÷ç1÷èøè1øè1øè1øè-1ø (a,b)(a,b)b3=a3-31b1-32b2(b1,b1)(b2,b2)æ-2öæ1öæ-2öç÷(-

83、2)´1+(-i)´(-i)+1´1ç÷(-2)´(-2)+(-i)´(3i)+1´(-1)ç÷=ç-i÷-ç-i÷-ç3i÷2222221+(-i)+1(-2)+(3i)+(-1)ç1÷ç1÷ç-1÷èøèøèøæöç-3÷æ-2öæ1ö

84、æ-2öç÷ç÷ç÷3ç÷ç3÷=ç-i÷+2ç-i÷+ç3i÷=çi÷ç1÷ç1÷2ç-1÷ç2÷èøèøèøç3÷ç÷è2ø 对b1,b2,b3单位化，得到：b1g1=1=b12+(-i)2+12

85、æ1öç÷b1t；g2=2=ç-i÷=(1-i1)b2(-2)2+(3i)2+(-1)2ç1÷èøæç1。从而ç1tçu=ç-i)2çç1çèæ-2öæ-2öç÷1ç÷ç3i÷=ç3i÷=(iç-1÷2iç-1÷èøè&

86、#248;321t； i)2g3=b3=b3æöæöç-3÷ç-3÷ç÷ç÷1ç3÷1ç3÷i=i=(-12÷3ç2÷3232ç2÷ç÷(-3)+(i)+()ç22ç3÷ç3÷ç÷ç÷è2øè2ø1i2ö22i-1÷，&

87、#247;f(x)=xhuhaux=3y1-2y2。31÷i22÷÷11÷i÷22ø14、由第3.2节定理10可知，存在可逆矩阵vÎcn´n，使得a=vhdiag(l,l,l,l)v，从而对"xÎcn，有xhax=b=vhv，12n从而得证。15、因为矩阵b是埃尔米特阵，所以$uÎun´n，使得b=udiag(l,l,l,l)uh，从而minl(b)uu12niihxhvhdiag(l1,l2,l,ln)vx，£b£maxli(b)uuh，从而得证。i16

88、、（1）æl-3-3ö， d2(l)=1，不变因子为d1(l)=1，d1(l)=1，ç÷从而行列式因子为d0(l)=1，d2(l)=1，d3(l)=l(l+1)2，d3(l)=li-a=l(l+1)2，li-a=ç1l-8-6÷ç-214l+10÷èø6æl-1ö0ç÷æö2，初等因子为l，从而若当标准形为。（2）行列式因子为d(l)=1，ç÷d2(l)=1，(l+1)d1(l)=1，dn(l)=ln-1，ç

89、;l-1÷，0j=ç-21÷li-a=çloo÷ç÷ç÷-2øèl-1÷çç-1lll÷èø不变因子为d1(l)=1，d2(l)=1，d(l)=ln-1，初等因子ln-1，若当标准型为以元素cos2kp+isin2kpnnn (k=0,1,l,n-1)为对角元素的对角矩阵。17、（1）æl-5-4-1ö，行列式因子为2ç÷d0(l)=1，d1(l)=1，d2(l)=1，d3(l)=(l-5)(l-1)，不变因子为d1(l)=1，d2(l)=1，li-a=ç0l-1-1