高中数学_2-3_排列组合典型例题__第二节

1、排列 p-和顺序有关组合 c -不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如 把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法 "组合"1排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一

2、组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,.nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*.*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（pnm(n为下标，m为上标)）pnm=n

3、15;（n-1）.（n-m+1）；pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；pn1（n为下标1为上标）=n组合（cnm(n为下标，m为上标)）cnm=pnm/pmm ；cnm=n！/m！（n-m）！；cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；cn1（n为下标1为上标）=n；cnm=cnn-m2008-07-08 13:30公式p是指排列，从n个元素取r个进行排列。公式c是指组合，从n个元素取r个，不进行排列。n-元素的总个数 r参与选择的元素个数 ！-阶乘 ，如 9！9*8*7*6*5*4*3*2*1从n倒数r个，表达式应该为n*（n-

4、1)*(n-2).(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n（n-r+1)r第六章 排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解

5、： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查. 三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考概念形成1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元

6、素2、排列：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同合作探究二 排列数的定义及公式3、排列数：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？4、排列数公式推导探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？呢？呢？（）说明：公式特征：（1）第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一

7、个 因数是，共有个因数； （2）即学即练:1.计算 (1）； (2） ；(3)2.已知，那么 3且则用排列数符号表示为( ) 答案：1、5040、20、20；2、6；3、c例1 计算从这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。变式训练：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的排列。5 、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的全排列。此时在排列数公式中， m = n全排列数：（叫做n的阶乘）. 即学即练:

8、口答（用阶乘表示）：（1） （2） （3）想一想：由前面联系中（ 2 ) ( 3 ）的结果我们看到，和有怎样的关系？那么，这个结果有没有一般性呢？排列数公式的另一种形式：另外，我们规定 0! =1 .想一想：排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择？例2求证： 解析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。解：左边=点评：(1)熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。思考：你能用计数原理直接解释例2中的等式吗？（提示：可就所取的m个元素分类，分含某个元素a和不含元素a两类）变式训练：已知，求的值。（n=15）归纳总结：1、顺序是

9、排列的特征；2、两个排列数公式的用途：乘积形式多用于计算，阶乘形式多用于化简或证明。1若，则 （ ） 2若，则的值为 （ ） 3 已知，那么 ；4一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？答案：1、b；2、a；3、8；4、1680。1.计算 (1）； (2） ；(3)2.已知，那么 3且则用排列数符号表示为( ) 答案：1、5040、20、20；2、6；3、c例1 计算从这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。1若，则 （ ） 2若，则的值为 （ ） 3 已知，那么 ；4一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同

10、的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？答案：1、b；2、a；3、8；4、1680。 1下列各式中与排列数相等的是（ ）（a） （b）n(n1)(n2)(nm) （c） （d）2若 nn且 n<20，则(27n)(28n)(34n)等于（ ） （a） （b） （c） （d）3若s=，则s的个位数字是（ ） （a）0 （b）3 （c）5 （d）84.已知，则n= 。5.计算 。6解不等式：21d 2d 3c 4. 9 5. 1. 6、n|2n61用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （a）24个 （b）30个 （c）40个 （d）60个2甲、乙、丙

11、、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ） （a）12种 （b）18种 （c）24种 （d）96种3某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ） （a）6种 （b）9种 （c）18种 （d）24种4五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种答案：1、a；2、b；3、c；4、480。例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛？解： 变式训练：(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，

12、则他们共发了多少封电子邮件？(2) 放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？答案：（1）12；（2）6例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解：点评 ：解答元素“在”与“不在”某一位置问题的思路是：优先安置受限制的元素，然后再考虑一般对象的安置问题，常用方法如下：1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原理2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数原理 3）从“对立事件”出发，用减法

13、4）若要求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。5）若要求某n个元素间隔，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上变式训练: 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ） （a）种 （b）种 （c）·种 （d）种答案:d例4、三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少

14、种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？解：答案：(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 720点评：1）若要求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。2）若要求某n个元素间隔，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上变式训练：1、6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法26个人站一排，甲不在排头，乙不在

15、排尾，共有 种不同排法答案：1600 25041由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）（a） l：l （b）2：3 （c） 12：13 （d） 21：232由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ） （a）42031 （b）42103 （c）42130 （d）430213若直线方程ax十by=0的系数a、b可以从o， 1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是 （ ） （a）一2 b） （c）+2 （d）24从a，b，c，d，e这五个元素中任取四个排成一列，b不排在第

16、二的不同排法有 （） a b c d5从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行实验，有 24 种不 同的种植方法。 69位同学排成三排，每排3人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 166320种。7、某产品的加工需要经过5道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？答案：1c 2a 3b 4. d 5.24. 6、166320；7、96； 36。排列与排列数作业(1)1四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有 （ ） 种 10种 12种 16种2信号兵

17、用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有 （ ）3种 6种 1种 27种3且则用排列数符号表示为 （ ） 45人站成一排照相，甲不站在排头的排法有 （ ） 24种 72种 96种 120种5.4··6·7··(n-1)·等于 （ ）a. b.c.！4！d. 6.与的大小关系是 （ ）a. b. c. d.大小关系不定7给出下列问题：有10个车站，共需要准备多少种车票？有10个车站，共有多少中不同的票价？平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？从10

18、个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）。8若 ，则以为坐标的点共有 个。9.若x=,则x用的形式表示为x= .10.(1) ；（2） 11（1）已知，那么 ；（2）已知，那么= ；（3）已知，那么 ；（4）已知，那么 12从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？13从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？14计算：（1） （2）16求证： ； 17.计算： 18三个数成等差数列，其比为，如果最小数加上，则三数成等比数列，

19、那么原三数为什么？排列与排列数作业(2)1与不等的是 （ ） 2若，则的值为 （ ） 3.100×99×98××89等于 （ ）a. b. c.d.4.已知132，则n等于 （ ）a.11 b.12c.13 d.以上都不对5将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法多少种？（ ） 6 9 11 236有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车a不能停在第三条轨道上，货车b不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有多少种 （ ）78 72 120 96 7由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的