正弦定理和余弦定理应用材料

1、正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在abc中，若角a，b，c所对的边分别是a，b，c，r为abc外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2ra2b2c22bccosa；b2c2a22cacosb；c2a2b22abcosc变形(1)a2rsina，b2rsinb，c2rsinc；(2)sina，sinb，sinc；(3)abcsinasinbsinc；(4)asinbbsina，bsinccsinb，asinccsinacosa；cosb；coscsabcabsincbcsinaacsinb(abc)r(r是三角形内切圆半径)，并可由此计算r、r选择题在abc中，已知a2，b，a45°

2、;，则满足条件的三角形有()a1个 b2个 c0个 d无法确定解析bsina×，bsina<a<b，满足条件的三角形有2个在abc中，a60°，ab2，且abc的面积为，则bc的长为()a. b. c2 d2解析因为s×ab×acsina×2×ac，所以ac1，所以bc2ab2ac22ab·accos60°3，所以bc.已知在abc中，ax，b2，b45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()ax2 bx2 c2x2 d2x2解析若三角形有两解，则必有ab，x2，又由sinasinb×

3、;1，可得x2，x的取值范围是2x2.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是()a(8,10) b(2，) c(2，10) d(，8)解析因为3>1，所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可，故即8<x2<10.又因为x>0，所以2<x<.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若<cosa，则abc为()a钝角三角形 b直角三角形 c锐角三角形 d等边三角形解析已知<cosa，由正弦定理，得<cosa，即sinc<sinbcosa，所以sin(ab)<sinbcosa，即sinbcosacosbsin

4、asinbcosa<0，所以cosbsina<0.又sina>0，于是有cosb<0，b为钝角，所以abc是钝角三角形在abc中，cos2(a，b，c分别为角a，b，c的对边)，则abc的形状为()a等边三角形 b直角三角形 c等腰三角形或直角三角形 d等腰直角三角形解析cos2，cos2，(1cosb)·cac，acosb·c，2a2a2c2b2，a2b2c2，abc为直角三角形在abc中，已知b40，c20，c60°，则此三角形解的情况是()a有一解 b有两解 c无解 d有解但解的个数不确定解析由正弦定理得，sinb>1.角b不存

5、在，即满足条件的三角形不存在若abc的三个内角满足sinasinbsinc51113，则abc()a一定是锐角三角形 b一定是直角三角形c一定是钝角三角形 d可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析由正弦定理2r(r为abc外接圆半径)及已知条件sinasinbsinc51113，可设a5x，b11x，c13x(x0)则cosc0，c为钝角，abc为钝角三角形abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，则“ab”是“cos2acos2b”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析因为在abc中，absinasinbsin2asin2b2sin2a2si

6、n2b12sin2a12sin2bcos2acos2b，所以“ab”是“cos2acos2b”的充分必要条件在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sina)，则a()a. b. c. d.解析在abc中，由bc，得cosa，又a22b2(1sina)，所以cosasina，即tana1，又知a(0，)，所以a，故选c.在abc中，ab，ac1，b30°，abc的面积为，则c()a30° b45° c60° d75°解析sabc·ab·ac·sina，即××1&#

7、215;sina，sina1，由a(0°，180°)，a90°，c60°，故选c已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且，则b等于()a. b. c. d.解析根据正弦定理2r，得，即a2c2b2ac，得cosb，故b，故选c.在abc中，角a，b，c对应的边分别为a，b，c，若a，a2，b，则b等于()a. b. c.或 d.解析a，a2，b，由正弦定理可得，sinbsina×，a，b设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sina5sinb，则角c等于()a. b. c. d.解析因为3sina5sin

8、b，所以由正弦定理可得3a5b.因为bc2a，所以c2aaa.令a5，b3，c7，则由余弦定理c2a2b22abcosc，得492592×3×5cosc，解得cosc，所以c.在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，c，abc的面积是()a3 b. c. d3解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.c，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6，sabcabsinc×6×.填空题abc中，若bcoscccosbasina，则abc的形状为_解析由已知得sinbcosccosbsincsin2a，sin

9、(bc)sin2a，sinasin2a，又sina0，sina1，a，abc为直角三角形在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若角a，b，c依次成等差数列，且a1，b，则sabc_.解析因为角a，b，c依次成等差数列，所以b60°.由正弦定理，得，解得sina，因为0°a180°，所以a30°或150°(舍去)，此时c90°，所以sabcab在abc中，a4，b5，c6，则_解析由余弦定理：cosa，sina，cosc，sinc，1.在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tanbac，则角b的值

10、为_解析由余弦定理，得cosb，结合已知等式得cosbtanb，sinb，b或在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知bcoscbsincac0，则角b_解析由正弦定理知，sinbcoscsinbsincsinasinc0sinasin(bc)sinbcosccosbsinc，代入上式得sinbsinccosbsincsinc0sinc0，sinbcosb10，2sin1，即sin.b(0，)，b在abc中，已知sinasinb1，c2b2bc，则三内角a，b，c的度数依次是_解析由题意知ab，a2b2c22bccosa，即2b2b2c22bccosa，又c2b2bc，cosa，a

11、45°，sinb，b30°，c105°.设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a2，cosc，3sina2sinb，则c_解析由3sina2sinb及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，故c2a2b22abcosc492×2×3×16，所以c4.设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若a，sinb，c，则b_解析因为sinb且b(0，)，所以b或b.又c，bc<，所以b，abc.又a，由正弦定理得，即，在abc中，a60°，ac2，bc，则ab_解析a60°，ac2，bc，设abx，

12、由余弦定理，得bc2ac2ab22ac·abcosa，化简得x22x10，x1，即ab1.在abc中，a，ac，则_解析在abc中，a2b2c22bccosa，将a，ac代入，可得(c)2b2c22bc，整理得2c2b2bc，c0，等式两边同时除以c2，得22，可解得1在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知abc的面积为3，bc2，cosa，则a的值为_解析cosa，0a，sina，sabcbcsinabc×3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccosa522×24×64，a8.解答题在

13、abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，已知a，b2a2c2(1)求tanc的值；(2)若abc的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2bsin2c.所以cos2bsin2c.又由a，即bc，得cos2bcos2cossin2c2sinccosc，由解得tanc2.(2)由tanc2，c(0，)得sinc，cosc，因为sinbsin(ac)sin，所以sinb，由正弦定理得cb，又因为a，bcsina3，所以bc6，故b3.已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，absinaacosb.(1)求角b；(2)若b2，abc的面积为，求a，c.解(1)

14、由absinaacosb及正弦定理，得sinasinb·sinasina·cosb，0<a<，sina>0，sinbcosb1，即sin，又0<b<，<b<，b.(2)sacsinb，ac4，又b2a2c22accosb，即a2c28.由联立解得ac2.如图，在abc中，d是bc上的点，ad平分bac，abd面积是adc面积的2倍(1)求；(2)若ad1，dc，求bd和ac的长解(1)sabdab·adsinbad，sadcac·adsincad.因为sabd2sadc，badcad，所以ab2ac，由正弦定理可

15、得.(2)因为sabdsadcbddc，所以bd.在abd和adc中，由余弦定理，知ab2ad2bd22ad·bdcosadb，ac2ad2dc22ad·dccosadc.故ab22ac23ad2bd22dc26，由(1)知ab2ac，所以ac1.在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知acb，sinbsinc(1)求cosa的值；(2)求cos的值解(1)abc中，由，及sinbsinc，可得bc，又由acb，有a2c，所以cosa(2)在abc中，由cosa，可得sina于是，cos2a2cos2a1，sin2a2sina·cosa所以，cos

16、cos2acossin2asin××已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，a2，且(2b)(sinasinb)(cb)sinc，则abc面积的最大值为解析由正弦定理，可得(2b)(ab)(cb)·ca2，a2b2c2bc，即b2c2a2bc由余弦定理，得cosa，sina.由b2c2bc4，得b2c24bc.b2c22bc，即4bc2bc，bc4，sabcbc·sina，即(sabc)max.在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2acos2bsinacosasinbcosb.(1)求角c的大小；(2)若s

17、ina，求abc的面积解(1)由题意得sin2asin2b，即sin2acos2asin2bcos2b，sinsin.由ab，得ab，又ab(0，)，所以2a2b，即ab，所以c.(2)由c，sina，得a，由ac，得ac，从而cosa，故sinbsin(ac)sinacosccosasinc，所以，abc的面积为sacsinb.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知cosb，sin(ab)，ac2，求sina和c的值解在abc中，由cosb，得sinb，因为abc，所以sincsin(ab).因为sincsinb，所以cb，可知c为锐角所以cosc.因此sinasin(bc)

18、sinbcosccosbsinc××.由，可得a2c，又ac2，所以c1.专项能力提升在abc中，ac，bc2，b60°，则bc边上的高等于()a. b. c. d.解析设abc，则由ac2ab2bc22ab·bc·cosb知7c242c，即c22c30，c3(负值舍去)bc边上的高为ab·sinb3×.在abc中，内角a，b，c所对的边长分别是a，b，c，若cacosb(2ab)cosa，则abc的形状为()a等腰三角形 b直角三角形 c等腰直角三角形 d等腰或直角三角形解析cacosb(2ab)cosa，c(ab)，由正弦定理得sincsinacosb2sinacosasinbcosa，sinacosbcosasinbsinacosb2sinacosasinbcosacosa(sinbsina)0，cosa0或sinbsina，a或ba或ba(舍去)，abc为等腰或直角三角形在abc中