第17讲 时变电磁场(2)

1、 目录目录 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。 研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变

2、场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。同频率的时谐场的叠加。 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。题得分析得以简化。 设设 是一个以角频率是一个以角频率 随时间随时间t t 作正弦变化的场量，它作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成它与时间的关系可以表示成( , )A r t 0( , )cos( )A r

3、 tAtr( )0( , )ReRe( )ejtrjtA r tA eA r其中其中( )0( )ejrA rA时间因子时间因子空间相位因子空间相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0为振幅、为振幅、 为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。( )r 实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法复数表示法复数表示法复振幅复振幅 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标

4、有关 的部份就可表示复矢量的部份就可表示复矢量照此法，矢量场的各分量照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 ( )( , )Re( )eReijtrjtiiimE r tE rE e( , )Re( )ejtmE r tEr( )( )( )( )( )( )( )yxzjrjrjrmxxmyymzzmEre Er ee Er ee Er e各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明复矢量复矢量 例例 ( , )cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz解：解：由于由于

5、( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz(/2)()Reeeyxjt kzjt kzxxmyyme Ee E(/2)()( )eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E()eyxjjjkzxxmyyme E ee jE e所以所以 例例 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量( )cos()mxxmzEze jEk z解解()2( , )Recos()eRecos()ejtxxmzjtxxmzE z te jEk ze Ek zcos()cos()2xxmze Ek zt其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度

6、的瞬时矢量cos()sin()xxmze Ek zt 以电场旋度方程以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得为例，代入相应场量的矢量，可得tBERe(e)Re(e)j tj tmmEBt Re(e)Re(e)Reej tj tj tmmmEBjBt mmEj B t Re 将将 、 与与 交换次序，得交换次序，得上式对任意上式对任意 t 均成立。均成立。令令 t0 ，得，得ReRemmEjB 0mmmmmmmmHJjDEjBBD 0tt DHJBEBD0BDBjEDjJH从形式上讲，只要把微分算子从形式上讲，只要把微分算子 用用 代替，就可以把时谐电磁代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的

7、关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程的麦克斯韦方程jtjt 略去略去“.”和下标和下标m 例题例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为：已知正弦电磁场的电场瞬时值为),(),(),(21tzEtzEtzE8182( , )0.03sin(10)( , )0.04 cos(10/ 3)xxEz tetkzEz tetkz式中式中888888(10/2)(10/3)(/2)(/3)( , )0.03sin(10)0.04cos(10/3)0.03cos(10)0.04cos(10/3)2Re0.03eRe0.04eRe0.03e

8、0.04eexxxxjt kzjt kzxxj kzj kzjxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810t 解解：（1）/2/3( )0.030.04ejjjkzxE zeee故电场的复矢量为故电场的复矢量为试求：（试求：（1）电场的复矢量）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。）磁场的复矢量和瞬时值。（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量jkzjjyjkzjjyxykekezEjezEjzHe e1001. 1e106 . 7e e04. 0e03. 0)(1)(34253200058( , )Re( )e7.6 1

9、0sin(10)j tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10)3tkz磁场强度瞬时值磁场强度瞬时值/2/3( )0.030.04ejjjkzxE zeee实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗： 导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质电介质受到极化时，存在电极化损耗受到极化时，存在电极化损耗 磁介质磁介质受到磁化时，存在磁化损耗受到磁化时，存在磁化损耗 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。的损耗在低频时可以忽略，

10、但在高频时就不能忽略。 ()cjjjj HEEEE 导电媒质的等效介电常数导电媒质的等效介电常数 对于介电常数为对于介电常数为 、电导率为、电导率为 的导电媒质，有的导电媒质，有其中其中 c= -j/、称为导电媒质的等效介电常数。、称为导电媒质的等效介电常数。 对于存在电极化损耗的电介质，有对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。 cj 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化

11、损耗和欧姆损耗的介质 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为 (+)cj 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对于磁性介质，复磁导率数为对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零，其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。的数，表示磁介质的磁化损耗。 cj 工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有 导电媒质的导电性导电媒质的导电性能具有相对性，在不同能具有相对性，在不同频率情况下，导

12、电媒质频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。具有不同的导电性能。tantan，电介质电介质tan，导电媒质导电媒质磁介质磁介质1 弱导电媒质和良绝缘体弱导电媒质和良绝缘体1 一般导电媒质一般导电媒质1 良导体良导体 导电媒质导电媒质理想介质理想介质 在时谐时情况下，将在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。222t jt 瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量222200kkEEHH()k 22222200ttEEHH()cck 22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它

13、们满足的方程都可以在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。表示成复数形式。t BAAE洛仑兹条件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量j BAEAj At A222222tt AAJ2222kk AAJ 时谐场中时谐场中二次式的表示方法二次式的表示方法00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rErH rHr 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。关

14、系，这种关系式称为二次式。则能流密度为则能流密度为 200cos( )tSEHEHr如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有()0( )ejrE rE( )0( )ejrH rH( )( )002( )0000Re( ee)ReeeRe ecos 22 ( )jtjtj tj tjttrrrSEHEHEHEHr( )( )00200ReeReecos( )jtjttrrSEHEHr先取实部，再代入先取实部，再代入 使用二次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代

15、入二次式即可场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即场量是复数式时，应先取实部再代入，即“” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子瞬时电磁场能流密度瞬时电磁场能流密度计算方法：计算方法： 直接利用瞬时波印亭矢量在一个时间周期内求得；直接利用瞬时波印亭矢量在一个时间周期内求得； 利用复场矢量求得（方便、简化）。利用复场矢量求得（方便、简化）。),(),(t)(r,StrHtrE/200),(2),(1)(dttrSdttrSTrSTav )()(Re21)()(Re21)()()()(41)()(

16、)()(41)()()()(41)()()()(41)()(21)()(21)(Re)(Re),(*2*22*2*2*rHrEerHrErHrErHrEerHrEerHrErHrErHrEerHrEerHrEerHerHerEerEerHerEtrStjtjtjtjtjtjtjtjtjtjtj)()(Re21)()(Re21)()(Re212)(*/20*2rHrEdtrHrEerHrErStjav 在时谐电磁场中，常常要在时谐电磁场中，常常要关心关心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量0011d()dTTavtEHtTT

17、SS平均电场能量密度平均电场能量密度00111dd2TTeavewwtE D tTT平均磁场能量密度平均磁场能量密度00111dd2TTmavmwwtH B tTT 在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中，二次式的时间平均值的时间平均值可以直接可以直接由复矢量计由复矢量计 算，有算，有1Re() ,2avEHS1Re()4mavwH B1Re() ,4eavwE D则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 2000000111()dcos ( )d2TTavttrtTTSEHEHEH如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 ( )0( )0( )e( )ejjrr

18、E rEH rH001Re( e) Re(e)2j tj tavavSEHEH*1Re()2avSEH( )( )000011Reee22jjrrEHEH时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关00( , )cos( ),( , )cos( )ttttE rErH rHr 例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出都用实数形式给出 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场。 ( , ) tS r( )avSr在在 中，中， 和

19、和 都是实数形式且是时间都是实数形式且是时间的函数，所以的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度在某一个也是时间的函数，反映的是能流密度在某一个瞬时的取值；而瞬时的取值；而 中的中的 和和 都都是复矢量，与时间无关，所以是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无关，反映的是能也与时间无关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。流密度在一个时间周期内的平均取值。( , )( , )( , )tttS rE rH r( , ) tH r( , ) tE r( , ) tS r1( )Re( )( )2avSrE rHr( )E r( )H r( )avSr01( )( , )dTavttT

20、SrS r 利用利用 ，可由，可由 计算计算 ，但不能直接，但不能直接由由 计算计算 ，也就是说，也就是说( , ) tS r( )avSr( )avSr( , ) tS r( , )Re( )ej tavtS rSr( , ) tS r( )avSr 例例1 0( )ejkzyzEEe 解解：（1）由得）由得0j EH000000011( )( )()(e)1(e)ejkzzyjkzjkzxxzzEjjzkEEjz HEeeee（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为00( , )Re( )ecos()j txkEz tztkz HHe0( , )Re( )ecos()jtyz tz

21、EtkzEEe （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为0002200001Ree(e) 21Re()22zjkzjkzavyxzkEEkEkE Seeee2002222000001dd2cos ()d22TavzzttTkEktkztE SSSee或直接积分，得或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为2200cos ()zkEtkze000cos() cos()yxkEEtkztkz SEHee 例例2 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为00( , )cos(),( , )cos()xyz tEtkzz tHtkzEeHe解解:(1)22002222000011()()221cos ()cos ()