20202021高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修1经典实用

1、§2 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去设：a：洛孝主动归还所拾银两b：洛孝无赖银之情c：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子d：洛孝所拾银子不是失主所丢问题1：县官得到结论b的依据是什么？它是b的什么条件？提示：a，充分条件问题2：县官由c得出什么结论？它是c的什么条件？提示：d，必要条件充分条件和必要条件如果“若p，则q”形

2、式的命题为真命题，即pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.充要条件已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会q：前年是2012年问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件充要条件(1)如果既有pq，又有qp，通常记作pq，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题(

3、4)若pq，但q/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件(5)若p/ q，且q/ p，则p是q的既不充分也不必要条件充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件 充分条件、必要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b；(2)p：yx>4，q：x>1，y>3；(3)p：a>b，q：2a>2b；(4)p：abc是直角三角形，q：abc为等腰三角形思路点拨可

4、先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系精解详析(1)若a，b，c成等比数列，则b2ac，b±，则p/ q；若b，当a0，b0时，a，b，c不成等比数列，即q/ p，故p是q的既不充分也不必要条件(2)yx>4不能得出x>1，y>3，即p/ q，而x>1，y>3可得xy>4，即qp，故p是q的必要不充分条件(3)当a>b时，有2a>2b，即pq，当2a>2b时，可得a>b，即qp，故p是q的充要条件(4)法一：若abc是直角三角形不能得出abc为等腰三角形，即p/ q；若abc为等腰三

5、角形也不能得出abc为直角三角形，即q/ p，故p是q的既不充分也不必要条件法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件一点通充分必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断(3)集合法：设ax|p(x)，bx|q(x)，若x具有性质p，则xa；若x具有性质q，则xb.若ab，则p是q的充分不必要条件；若ba，则p是q的必要不充分条件；若ab，则p是q的充要条件；若ab且ba，则p是q的既不充分又不必要条件1设集合ax|0，集合bx|x2|1，那么“ma”是“mb”的()a充分不必要条件b必

6、要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件解析：集合ax|0x3，集合bx|1x3，则由“ma”得不到“mb”，反之由“mb”也得不到“ma”，故选d.答案：d2对任意实数a，b，c给出下列命题：“ab”是“acbc”的充要条件；“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“a>b”是“a2>b2”的充分条件；“a<5”是“a<3”的必要条件其中，真命题的序号是_解析：由ab可得acbc.但acbc时不一定有ab，故为假命题；由“a5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a5为无理数”，为真命题；由“a>b”不能得出a2>b2，如a1，b2，

7、为假命题；“由a<5”不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，为真命题答案：3指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由(1)p：|x|y|，q：xy；(2)在abc中，p：sin a，q：a.解：(1)因为|x|y|xy或xy，但xy|x|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件(2)因为0a时，sin a(0,1，且a(0，时，sin a单调递增，a，)时，sin a单调递减，所以sin aa，但a/ sin a.所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.充要条件的证明和求解例2已知数列an的前n项和snpnq

8、(p0且p1)，求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.思路点拨本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q1推证数列an为等比数列和由数列an满足snpnq(p0且p1)为等比数列推证q1.精解详析(充分性)当q1时，a1s1p1；当n2时，ansnsn1pn1(p1)，且n1时也成立于是p(p0且p1)，即an为等比数列(必要性)当n1时，a1s1pq；当n2时，ansnsn1pn1(p1)因为p0且p1，所以当n2时，p，可知等比数列an的公比为p.故p，即p1pq，求得q1.综上可知，q1是数列an为等比数列的充要条件一点通充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性为此

9、必须要搞清条件，在“a是b的充要条件”中，ab是充分性，ba是必要性；在“a的充要条件是b”中，ab是必要性，ba是充分性4不等式x2ax1>0的解集为r的充要条件是_解析：若x2ax1>0的解集为r，则a24<0，即2<a<2.又当a(2,2)时，<0，可得x2ax1>0的解集为r，故不等式x2ax1>0的解集为r的充要条件是2<a<2.答案：2<a<25等差数列an的首项为a，公差为d，其前n项和为sn，则数列sn为递增数列的充要条件是_解析：由sn1sn(nn)(n1)adnad(nn)dna0(nn)d0且da0.

10、因此数列sn为递增数列的充要条件是d0且da0.答案：d0且da06求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明：先证必要性：方程ax2bxc0有一个根为1，x1满足方程ax2bxc0.a×12b×1c0，即abc0.必要性成立再证充分性：abc0，cab.代入方程ax2bxc0中可得：ax2bxab0，即(x1)(axba)0.故方程ax2bxc0有一个根为1.故关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.充分条件、必要条件的应用例3已知p：关于x的不等式x，q：x(x3)0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围思路点拨求

11、出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解精解详析记ax|x，bx|x(x3)0x|0x3，若p是q的充分不必要条件，则ab.注意到bx|0x3，分两种情况讨论：(1)若a，即，解得m0，此时ab，符合题意；(2)若a，即，解得m0，要使ab，应有综上可得，实数m的取值范围是(，3)一点通将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p，q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围7已知条件p：x2x60，条件q：mx10(m0)，且q是p的充分不必要条件，求m的值解：解x2x60得x2或x3，令a2，3，b，q是p的充

12、分不必要条件，b a.当2时，m；当3时，m.所以m或m.8已知mx|(xa)2<1，nx|x25x24<0，若xm是xn的充分条件，求a的取值范围解：由(xa)2<1得x22ax(a1)(a1)<0，a1<x<a1，mx|a1<x<a1又由x25x24<0得3<x<8，nx|3<x<8xm是xn的充分条件，mn，解得2a7.故a的取值范围是2,71充分必要条件与四种命题之间的对应关系；(1)若p是q的充分条件，则原命题“若p，则q”及它的逆否命题都是真命题；(2)若p是q的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；(3)

13、若p是q的充要条件，则四种命题均为真命题2涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系 1“1x2”是“x2”成立的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析：当1x2时，必有x2；而x2时，如x0，推不出1x2，所以“1x2”是“x2”的充分不必要条件答案：a2函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是()am2 bm2cm1 dm1解析：函数f(x)x2mx1的图像关于x1对称1m2.答案：a3已知命题p：“a，b，c成等差数列”，命题q：“2”，则命题p是命题q

14、的()a必要不充分条件 b充分不必要条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：若2，则ac2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得ac2b，但不一定得出2，如a1，b0，c1.所以命题p是命题q的必要不充分条件，故选a.答案：a4“a3”是“函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：当a3时，f(1)f(2)(a2)(2a2)0，即函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点；但当函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点；不一定是a3，如当a3时，函数f(x)ax23x2在区间1,2上存在零

15、点所以“a3”是“函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点”的充分不必要条件，故选a.答案：a5直线l：xym0与圆c：(x1)2y22有公共点的充要条件是_解析：直线l与圆c有公共点|m1|21m3.答案：m1,36在下列各项中选择一项填空：充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件(1)记集合a1，p,2，b2,3，则“p3”是“abb”的_；(2)“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间上为增函数”的_解析：(1)当p3时，a1,2,3，此时abb；若abb，则必有p3.因此“p3”是“abb”的充要条件(2)当a1时，f(x)|2xa|2x1|在上是增函数；但由f(x)|

16、2xa|在区间，)上是增函数不能得到a1，如当a0时，函数f(x)|2xa|2x|在区间上是增函数因此“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间，)上为增函数”的充分不必要条件答案：(1)(2)7指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p：abc中，b2a2c2，q：abc为钝角三角形；(2)p：abc有两个角相等，q：abc是正三角形；(3)若a，br，p：a2b20，q：ab0；(4)p：abc中，a30°，q：sin a.解：(1)abc中，b2a2c2，cos b0，b为钝角，即abc为钝角三角形，反之若abc为钝角三角形，b可能为锐角，这时b2a2c2.pq，q/ p，故p是q的充分不必要条件(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，p/ q，qp，故p是q的必要不充分条件(3)若a2b20，则ab0，故pq；若ab0，则a2b20，即qp，所以p是q的充要条件(4)转化为abc中sin a是a30