专题四、动力学中的临界问题

1、专题四、动力学中的临界问题在动力学问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法：1极限法：在题目中如果出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，达到尽快求解的目的。例1如图11所示，质量为的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为，对物体施加一个与水平方向成角的力F，试求：（1）物体在水平面上运动时力F的最小值；（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。F图11解析：要使物体能够运动，水平方向的力必须要大于最大静摩擦力（近似等于此时的滑动摩擦力），当力F有极小值时，

2、物体恰好在水平面上做匀速直线运动，对物体的受力如图12所示，由图示得： 解得： FFyGN当力F有最大值时，物体将脱离水平面，此时地面对物体的支持力恰好为零，根据受力分析得： FX 解得： 物体在水平面上运动所获得的最大加速度图12： 则物体在水平面上运动时F的范围应满足：F例2如图甲，质量为m=1Kg的物块放在倾角为的斜面上，斜面体质量为M=2Kg，斜面与物块间的动摩擦因数=0.2，地面光滑，=370，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，力F应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2）解析：现采用极限法把F推向两个极端来分析：当F较大时（足够大），

3、物块将相对斜面上滑；当F较小时（趋于零），物块将沿斜面加速下滑；因此F不能太小，也不能太大，F的取值是一个范围（1）设物块处于相对斜面向下滑的临界状态时，推力为F1，此时物块受力如图乙，取加速度a的方向为x轴正方向。对m：x方向：NSin-NCos=ma1 y方向：NCos+NSin-mg=0对整体：F1=（M+m）a1把已知条件代入，解得：a1=4.78m/s2，F1=14.34N（2）设物块处于相对斜面向上滑的临界状态时，推力为F2，此时物块受力如图丙，对m：x方向：NSin+NCos=ma2 y方向：NCos-NSin-mg=0对整体：F2=（M+m）a2把已知条件代入，解得：a2=11

4、.2m/s2，F2=33.6N则力F的范围：14.34NF33.6NAB60°图21F例3如图21所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运动时的水平力F的范围。解析：当水平推力F很小时，A与B一起作匀加速运动，当F较大时，B对A的弹力竖直向上的分力等于A的重力时，地面对A的支持力为零，此后，物体A将会相对B滑动。显而易见，本题的临界条件就是水平力F为某一值时，恰好使A沿AB面向上滑动，即物体A对地面的压力恰好为零，受力分析如图22。60°FGN图22对整体： 隔离A：

5、 联立上式解得： 水平力F的范围是：0F例4 如图1所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A，槽的半径为R，且OA与水平线成角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为m，木块的质量为M，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。图1解析：当木块加速度a=0时，小球受重力和支持力，支持力的作用点在最低处。当木块加速度逐渐增大，支持力的作用点移到A点时，小球将滚出圆弧槽，此状态为临界状态，小球受力如图2所示，由牛顿第二定律有，得，当木块向右的加速度至少为时小球能滚出圆弧槽。图2点拨：当圆弧槽静止时，小球受到支

6、持力的作用点在最低处，当圆弧槽的加速度逐渐增大时，支持力的作用点逐渐向A点靠近，当支持力的作用点在A处时，圆弧槽的加速度最大，圆弧槽加速度再增大，小球会从圆弧槽内滚出来。确定临界点，是求解此题的关键。2假设法：有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界状态，也可能不会出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。例5一斜面放在水平地面上，倾角为= 53°，一个质量为的小球用细绳吊在斜面顶端，如图31所示。斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当

7、斜面以的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。GT图32图31解析：根据题意，先分析物理情景：斜面由静止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会随着a的增大而减小，当a较小时（a0），小球受到三个力（重力、细绳拉力和斜面的支持力）作用，此时细绳平行于斜面；当a足够大时，斜面对小球的支持力将会减少到零，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于角。而题中给出的斜面向右的加速度，到底是属于上述两种情况的哪一种，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定，这是解决此类问题的关键所在。设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为，此时斜面对小球的支持力恰

8、好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图32所示。易知： 小球已离开斜面，斜面的支持力N = 0，同理，由图32的受力分析可知（注意：此时细绳与斜面的夹角小于）,细绳的拉力： T = 2.83牛 方向沿着细绳向上。例6一个物体沿摩擦因数一定的斜面加速下滑，下列图象，哪个比较准确地描述了加速度a与斜面倾角的关系？解析：设摩擦因数为，则a=gSin-gCos做如下几种假设：（1） 当=00时，物体静止在水平面上，a=0（2） 当=arctg时，物体开始匀速下滑，a=0（3） 当>arctg时，物体加速下滑，a>0（4） 当=900时，F=mgCos9

9、00=0，加速度达到极限值，a=g即物体做自由落体运动。综上假设，不难判断出“D”答案是合理的。例7 如图3所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为的斜面体上，斜面质量为，斜面与物块间的动摩擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。（）图3解析：此题有两个临界条件，当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向下。找准临界状态，是求解此题的关键。（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如图4所示，取加速度的

10、方向为x轴正方向。图4对物块分析，在水平方向有竖直方向有对整体有代入数值得（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2对物块分析，在水平方向有竖直方向有，对整体有代入数值得。综上所述可知推力F的取值范围为：3数学方法：将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法，求出临界条件。如二次函数、不等式、三角函数等等。例8如图41所示，质量为M的木块与水平地面的动摩擦因数为，用大小为F的恒力使木块沿地面向右作直线运动，木块M可视为质点，则怎样施力才能使木块产生最大的加速度？最大加速度为多少？F图41解析：设当力F与水平方向成角时，M的加速度最大，图42所示，对M有，F图42GN 整理得： 由上式可知，当取最大值时，最大。令 则： 其中而，与此相对应的角为： 加速度的最大值： 说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度的，因为当达到一定值时，就有可能使物体脱离地面，因此，、必须满足一定的取值，即。图1 例9一个物块由静止开始沿不同长度的光滑斜面滑到水平地面上的定点B，这些斜面的起点都靠在竖直墙上，如图1所示，已知B点距墙角距离为b，