均值、方差、自相关函数的估计

1、均值、方差、自相关函数的估计2.3 均值、方差、自相关函数均值、方差、自相关函数的估计的估计用随机系列x(n)的N个取样点x(0),x(1),x(N-1)来估计x(n)的均值、方差和自相关函数均值、方差、自相关函数的估计例：求随机过程例：求随机过程数学期望，方差及自相关函数。其中，数学期望，方差及自相关函数。其中，w0为常数，是在区间为常数，是在区间 上均匀分布的随机上均匀分布的随机变量。变量。n 0( )sin()X tt0,2 解解:(1)数学期望数学期望 的概率密度函数为1, 0220, felse( )=2200001 ( )sin()( ) ( )sin()02 E x tEtx t

2、 fdtd(2)方差方差22222200011( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sin()022tE x tE x tx tE x tfdtd(3)自相关函数自相关函数221212120 10 100220120 10 2012012001( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin()sin()2111cos()cos(2 )cos()cos()442R t tE x t x tx t x tfdttdttttdtt dtt均值、方差、自相关函数的估计2.3.1 均值的估计均值的估计n将N个样点数据的算术平均值作为均值的估计 ，即利用前面介绍的评价指标，可以对该点估计进

3、行质量评价 m101( )Nxnmx nN（2.3.1）估计的均值：111000111( ) ( )NNNxxxnnnE mEx nE x nmmNNN（2.3.2）此为无偏估计此为无偏估计均值、方差、自相关函数的估计估计的方差：22var() ()xxxmE mE m（2.3.3）将式（2.3.2）代入上式，得22var()xxxmE mm对2xE m有2110011200,112200,111222000,11( )( )1 ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )11 ( ) ( ) ( )NNxnmNNnmm nNNnmm nNNNnnmm nE mEx nx mNNE x n x m

4、NE xnE x n x mNE xnE x n x mNN （2.3.4）均值、方差、自相关函数的估计为便于分析，假定x(n)与x(m)是互不相关的，则2 ( ) ( ) ( ) ( )xE x n x mE x n E x mm22211200,2111NNxxxnmm nxxE mmmNNmmNN 上式代入式（2.3.3），有2222221111var()()xxxxxxxNmmmmmmNNNN当var()0 xNm 时，均值、方差、自相关函数的估计综上，可以得出如下结论：当各样值互不相关互不相关时，对均值的估计是无偏的一致估计事实上各样值之间是 存在相关性的均值、方差、自相关函数的估计

5、2.3.2 方差的估针方差的估针计算方差估计值的一种方法是：12201 ( )Nxxnx nmN此估计均值为此估计均值为：11122222000111 ( ) ( )NNNxxxxxnnnEEx nmE x nmNNN因为估计的均值等于真值，故为无偏估计无偏估计（2.3.6）均值、方差、自相关函数的估计估计的方差为：估计的方差为：2222var()() xxxEE将式（2.6）代入上式，得222 2var() xxxE可以证明，当2var()0 xN 时，所以式（2.3.5）对方差的估计是无偏的一致估计事实上，因为式（2.3.5）的均值也只能来自估计，所以方差的估计往往不是式（2.3.5）而是

6、12201 ( )Nxxnx nmN可以证明，此为渐近无偏可以证明，此为渐近无偏的一致估计的一致估计均值、方差、自相关函数的估计作业要求：用不超过一页作业纸说明2.3.3自相关函数的估计均值、方差、自相关函数的估计2.4 相关函数与功率谱相关函数与功率谱2.4.1 相关函数相关函数 因为平稳随机信号的相关函数是确定性确定性的，所以对平稳随机信号的分析和处理常常在相关域进行。当用线性移不变离散时间系统对随机信号进行处理时，虽然信号是随机的，但用来描述线性系统的单位脉冲响应总是确定性的。所以，接下来首先介绍确定性信号的确定性信号的相关函数相关函数均值、方差、自相关函数的估计1.确定性能量信号的相关

7、函数确定性能量信号的相关函数什么是确定性信号？自变量的自变量的确定函数确定函数数字关系式或图表惟一地确定数字关系式或图表惟一地确定能量信号是指能量有限的信号。对连续和离散时间信号分别满足：2( )Ex tdt 2( )nEx n 如果信号能量无限大，比如确定性的用期信号、阶跃信号以及随机信号，就不能从能量而应从功率的角度去研究它们，这类信号叫功率信号。21lim( )2TTTPx tdtT 21lim( )21NNnNPx nN 均值、方差、自相关函数的估计确定性能量信号的自相关函数自相关函数和互相关函数互相关函数分别定义为：*( )( ) ()( )( ) ()xnxynR mx n x n

8、mRmx n y nm*是共轭，若x(n)、y(n)为实序列*可省略确定性能量信号的相关函数的性质：确定性能量信号的相关函数的性质：1）若x(n)为实信号，则Rx(m)为实偶函数，即*( )( ), ( )()xxxxR mmR mRmR*( )()xxR mmR若x(n)为复信号，则Rx(m)为共轭偶对称均值、方差、自相关函数的估计确定性能量信号的相关函数的性质确定性能量信号的相关函数的性质2）在m=0时，Rx(m)取得最大值，即(0)( )xxRR m且 就是信号的能量，即(0)xR2(0)( )xnERx n3）对于能量信号，当间隔 时，序列项之间就失去 了相关性，即m ( ) 0, (

9、 ) 0 xxyRR 4）互相关函数 不是偶函数，由式（2.4.2），有()xyRm*( )()xyyxRmRm均值、方差、自相关函数的估计确定性能量信号的相关函数的性质确定性能量信号的相关函数的性质5）相关卷积定理对实信号有：对实信号有：( )()( )( )()( )xxyR mxmx mRmxmy m（2.4.5）（2.4.6）证明：证明：( )( ) () =() ( ) ) = () ( ) = ()( )xynllRmx n y nmx lm y lnmlxmly lxmy m(令均值、方差、自相关函数的估计6）相关定理确定性能量信号的相关函数的性质确定性能量信号的相关函数的性质

10、能量信号的相关函数与能量谱是傅立叶变换对。根据1.1.5节介绍的正反傅立叶变换的定义式、可以将该定理表示为：2()( )( )jj mxxmX eF R xR m e（2.4.7）2211( )() ()2jjj mxR mFX eX eed将将m=0代入上式，得代入上式，得21(0)()2jxRX ed信号序列能信号序列能量量能量谱密度能量谱密度均值、方差、自相关函数的估计能量互谱密度能量互谱密度*() ()( )jjj mxymXeY eRm e（2.4.8）均值、方差、自相关函数的估计确定性功率信号的自相关函数自相关函数和互相关函数互相关函数分别定义为：2.确定性能量信号的相关函数确定性

11、能量信号的相关函数1( )lim( ) ()211( )lim( ) ()21NxNnNNxyNnNR mx n x nmNRmx n y nmN周期信号的相关函数依然是周期信号，且与原信号的周期相同周期信号的相关函数依然是周期信号，且与原信号的周期相同均值、方差、自相关函数的估计3.平稳随机信号的相关函数平稳随机信号的相关函数平稳随机信号的自相关函数自相关函数和互相关函数互相关函数分别定义为：*( )( ) ()( )( ) ()xxyR mE x n x nmRmE x n y nm（2.4.10）（2.4.11）平稳随机信号的相关函数的性质：平稳随机信号的相关函数的性质：1）若x(n)为

12、实信号，则Rx(m)为实偶函数，即*( )( ), ( )()xxxxR mmR mRmR*( )()xxR mmR若x(n)为复信号，则Rx(m)为共轭偶对称均值、方差、自相关函数的估计2）在m=0时，Rx(m)取得最大值，即(0)( )xxRR m且 就是序列的平均功率，即(0)xR22(0)( )xxRE xnm将上式代入（2.1.3），可得222(0)(0)xxxxxCRmmm由式（2.1.1），有2(0)xxC3）一个非周期平稳随机序列 时，序列项之间可认为 不相关，即m 22( ) ( )( )0 xxxxxRCRmm 也就是说，序列项之间可认为不相关时，协方差等于零也就是说，序列

13、项之间可认为不相关时，协方差等于零均值、方差、自相关函数的估计4）互相关函数有*( )()xyyxRmmR5）2(0)(0)( )xyxyRRRm( )xyxyRm m 6）7）维纳维纳辛钦定理辛钦定理平稳随机过程的功率谱密度和相关函数的关系平稳随机过程的功率谱密度和相关函数的关系 均值、方差、自相关函数的估计维纳维纳辛钦定理辛钦定理: : 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度互为傅里叶变换，即： 1()( )( )1( )()()2jj mxxxmjjj mxxxS eF R mR m eR mFS eS eed（2.4.16）（2.4.17）令m=0，可得1(0)()2jxxRS ed功率

14、谱功率谱均值、方差、自相关函数的估计2.4.2 随机信号的功率谱随机信号的功率谱平稳随机信号的功率谱具有如下性质：1）不论x(n)是实序列还是复序列，()jxS e都是 的实函数2）如果x(n)是实序列，()jxS e具有偶对称性*()()()jjjxxxS eS eeS3）()jxS e对所有的 都是非负的，且是 的周期函数并且周期为2均值、方差、自相关函数的估计2.5 白噪声过程和谐波过程白噪声过程和谐波过程n白色噪音（白噪声）白色噪音（白噪声）n(1). 白噪声过程：n是一种最简单的随机过程，是一种均值均值为零，谱密度为非零常数为零，谱密度为非零常数的平稳随机过程。它的自相关函数为 )(

15、)(2xxR当0)(xxR时,只要012tt则X(t1)和X(t1)相互独立相互独立.均值、方差、自相关函数的估计谱密度为谱密度为 这表明白噪声过程的功率在-到的全频段内均匀分布，类似于光学中的白色光，因而称为白噪声。2)(xxS等于它的方差等于它的方差 理想白噪声的总功率是无限的。理想白噪声的总功率是无限的。实际上只要随机信号在所考虑的频率范围内是常值，就可近似认为是白噪声。不完全满足这三个条件者，则称为有色噪声。不完全满足这三个条件者，则称为有色噪声.( )xxS2均值、方差、自相关函数的估计2). 白噪声序列白噪声序列w(k)白噪声序列是白噪声过程的一种离散形式,它的自相关函数为0001

16、, 2, 1, 0)(2llllRllww谱密度为常数:2)(wSw均值、方差、自相关函数的估计(3) 白噪声序列的产生：白噪声序列的产生：a）（0，1）均匀分布随机数的产生（Rand函数） b）物理方法 （噪声经采样） c）数学运算，（同余运算）不是真正的连续（0，1）均匀分布的随机数均值、方差、自相关函数的估计(4) 伪随机信号伪随机信号用计算机（或电子线路）人为产生的一种作为输入用的测试信号，这个信号的自相关函数与白噪声相同，但它有重复周期。伪随机信号的自相关函数在l= 0, T, 2T, 取值 2其它各点为零。由于伪随机信号的周期性，它的相关函数可以表示成有限时间（一个周期）内的时间的

17、平均值。（非时间）。TxxdttXtXTR0)()(1)(伪随机信号产生的最简方法：将一个随机数，取长度为T的一段，然后在其它时间段里重复。均值、方差、自相关函数的估计2.5.2 谐波过程n谐波过程谐波过程:是随机初相正弦序列分为分为:实正弦序列实正弦序列复正弦序列复正弦序列均值、方差、自相关函数的估计引言n 在工业调速传动领域中，与传统的机械调速相比，用变频器调速有诸多优点，故其应用非常广泛，但由于变频器逆变电路的开关特性，对其供电电源形成了一个典型的非线性负载，变频器在现场通常与其它设备同时运行，例如计算机和传感器，这些设备常常安装得很近，这样可能会造成相互影响。因此，以变频器为代表的电力

18、电子装置是公用电网中最主要的谐波源之一，其对电力系统中电能质量有着重要的影响。 均值、方差、自相关函数的估计谐波产生的过程 n谐波产生的根本原因根本原因是由于非线性负载非线性负载所致。当电流流经负载时，与所加的电压不呈线性关系，就形成非正弦电流，从而产生谐波 n谐波频率谐波频率是基波频率的整倍数，根据法国数学家傅立叶（M.Fourier）分析原理证明，任何重复的波形都可以分解为含有基波频率和一系列为基波倍数的谐波的正弦波分量。谐波是正弦波，每个谐波都具有不谐波是正弦波，每个谐波都具有不同的频率、幅度与相角。同的频率、幅度与相角。谐波可以区分为偶次与偶次与奇次性奇次性。在平衡的三相系统中，由于对

19、称关系，偶次谐波已经被消除了，只有奇次谐波存在，奇次谐波引起的危害比偶次谐波更多更大。 均值、方差、自相关函数的估计谐波危害 n对于电力系统来说，电力谐波的危害主要表现有以下几方面： (1)增加输、供和用电设备的额外附加损耗，使设备的温度增加输、供和用电设备的额外附加损耗，使设备的温度过热，降低设备的利用率和经济效益：过热，降低设备的利用率和经济效益： 电力谐波对输电线路的影响电力谐波对输电线路的影响： 谐波电流使输电线路的电能损耗增加。当注入电网的谐波频率位于在网络谐振点附近的谐振区内时，对输电线路和电力电缆线路会造成绝缘击穿。 电力谐波对变压器的影响电力谐波对变压器的影响： 谐波电压的存在

20、增加了变压器的磁滞损耗、涡流损耗及绝缘的电场强度，谐波电流的存在增加了铜损。对带有非对称性负荷的变压器而言，会大大增加励磁电流的谐波分量。 电力谐波对电力电容器的影响电力谐波对电力电容器的影响： 含有电力谐波的电压加在电容器两端时，由于电容器对电力谐波阻抗很小，谐波电流叠加在电容器的基波上，使电容器电流变大，温度升高，寿命缩短，引起电容器过负荷甚至爆炸，同时谐波还可能与电容器一起在电网中造成电力谐波谐振，使故障加剧。 均值、方差、自相关函数的估计(2)影响继电保护和自动装置的工作可靠性影响继电保护和自动装置的工作可靠性 n特别对于电磁式继电器来说，电力谐波常会引起继电保护及自动装置误动或拒动，

21、使其动作失去选择性，可靠性降低，容易造成系统事故，严重威胁电力系统的安全运行。 (3)对通讯系统工作产生干扰对通讯系统工作产生干扰： 电力线路上流过的幅值较大的奇次低频谐波电流通过磁场耦合时，会在邻近电力线的通信线路中产生干扰电压，干扰通信系统的工作，影响通信线路通话的清晰度，甚至在极端的情况下，还会威胁着通信设备和人员的安全。 (4)对用电设备的影响对用电设备的影响： 电力谐波会使电视机、计算机的图形畸变，画面亮度发生波动变化，并使机内的元件温度出现过热，使计算机及数据处理系统出现错误，严重甚至损害机器。 此外，电力谐波还会对测量和计量仪器的指示不准确及整流装置等产生不良影响，它已经成为当前

22、电力系统中影响电能质量的大公害。 均值、方差、自相关函数的估计谐波的治理措施 n治理谐波问题，抑制辐射干扰和供电系统干扰，可采取屏蔽屏蔽、隔离隔离、接地接地及滤波滤波等技术手段。n使用无源滤波器或有源滤波器使用无源滤波器或有源滤波器；n使用无源滤波器其主要是改变在特殊频率下电源的阻抗，适用于稳定、不改变的系统。而使用有源滤波器主要是用于补偿非线性负载。LC滤波器是传统的无源谐波抑制装置，它由滤波电容器、电抗器和电阻器适当组合而成，与谐波源并联，除具有滤波作用外，还有无功补偿的作用。 均值、方差、自相关函数的估计 n增加变压器的容量，减少回路的阻抗及切断传输线增加变压器的容量，减少回路的阻抗及切断传输线路法；路法；由于非线性负载引起的畸变电流在电缆的阻抗上产生一个畸变电压降，而合成的畸变电压波形加到与此同一线路上所接的其它负载，引起谐波电流在其上流过，因此，减少谐波危害的措施也可从加大电缆截面积，减少回路的阻抗方式来实现。目前，国内较多采用提高变压器容量，增大电缆截面积，特别是加大中性线电缆