上海高中数学公式大全

1、高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系xAxCU A , xCU AxA.2. 德摩根公式CU(AB)CU ACUB;CU(AB)CUACUB.3. 包含关系ABAABBABCUBCUAACUBCUABR4. 容斥原理card ( AB)cardA cardB card ( AB)card ( ABC ) cardAcardB cardC card ( AB)card ( A B)card ( BC )card (CA) card ( A B C ) .5 集合 a1, a2 , , an 的子集个数共有2n个；真子集有2n 1 个；非空子集有 2n 1 个；非空的真子集有 2n 2

2、 个 .6. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式(2) 顶点式(3) 零点式f (x)ax2bx c(a0);f (x)a(xh)2k( a0);f (x)a(xx1 )( xx2 )(a0) .7.解连不等式 Nf (x)M 常有以下转化形式N f ( x) M f (x) M f (x) N 0MN MNf ( x)N| f ( x)|2M02f (x)11f (x) N.M N8. 方程 f ( x) 0 在 ( k1 ,k 2 ) 上有且只有一个实根而不是充分条件. 特别地,方 程 ax 2bx cf ( k1 ) f ( k2 ) 0 , 或 f (k1 )0 且 k1bk12

3、a2, 与 f (k1 ) f (k2 )0 不等价 , 前者是后者的一个必要0(a0) 有 且 只 有 一 个 实 根 在 ( k1 , k2 ) 内 , 等 价 于k2 , 或 f (k 2 )0 且 k1k2bk 2 .22a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数 f (x) ax2bx c(a 0) 在闭区间p,q 上的最值只能在xb处及区间的两端点处2a取得，具体如下：(1) 当 a>0 时，若 xbp, q ，则 f ( x)minf (b), f ( x)maxmaxf ( p), f (q)；b2a2ap,q ， f (x)maxmax f ( p), f (q)， f

4、(x)minmin f ( p), f (q) .x2abb(2) 当 a<0p,q ，则 f ( x)mi nminf (p ), fp, q ，则时，若x(q )，若 x2a2af ( x)maxmax f (p ), f (q )， f (x)minminf ( p), f (q) .10. 一元二次方程的实根分布依据：若f (m) f (n)0，则方程f ( x)0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根.设fxxpx q ，则( )2（1）方程 f (x)0 在区间 (m,) 内有根的充要条件为f (m)0p24q0或pm；2f (m)0f (n)0f ( m)0（ 2）方程

5、f ( x)0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为f (m) f (n)0 或p24q0或0paf (n)mn2f (n)0；或0af (m)（3）方程 f (x)0在区间 (, n) 内有根的充要条件为f (m)0p24q0或pm.211. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间 (,) 的子区间 L （形如 ,，,，,不同）上含参数的二次不等式 f ( x,t ) 0 ( t 为参数 ) 恒成立的充要条件是 f ( x, t)min0(xL) .(2)在给定区间 (,) 的子区间上含参数的二次不等式f (x,t ) 0( t 为参数 ) 恒成立的充要条件是 f (

6、 x,t )man0(xL ) .a0a0(3)f ( x)ax4bx2c 0 恒成立的充要条件是b.0 或4acc0b2012. 真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13. 常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有（ n1 ）个小于不小于至多有 n 个至少有（ n1）个对所有 x ，存在某x ，成立不成立p 或 qp 且q对任何 x ，存在某 x ，不成立成立p 且 qp 或q14. 四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非15.

7、充要条件（ 1）充分条件：若（ 2）必要条件：若（ 3）充要条件：若p q ，则 p 是 q 充分条件 .q p ，则 p 是 q 必要条件 .pq ，且 qp ，则 p 是 q 充要条件 .注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16. 函数的单调性(1)设 x1 x2a,b , x1x2 那么(x1x2 ) f (x1) f (x2 )f ( x1 )0x1(x1x2 ) f (x1) f (x2 )f ( x1 )0x1(2)设函数 yf ( x) 在某个区间内可导，f ( x2 )f ( x)在 a,b 上是增函数；0x2f ( x2 )f ( x)在 a, b 上是减

8、函数 .0x2如果 f ( x)0 ，则 f ( x) 为增函数；如果 f (x)0 ，则 f (x)为减函数 .17. 如果函数f ( x) 和 g ( x) 都是减函数 , 则在公共定义域内 , 和函数 f (x)g( x) 也是减函数 ; 如果函数 yf (u) 和 ug( x) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数 yf g( x) 是增函数 .18奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数19. 若函数yf (x) 是偶函数，则f

9、 ( xa)f (xa) ；若函数yf ( xa) 是偶函数，则f (xa) f (xa) .20. 对 于 函 数 yf ( x) ( xR ),f (xa)f (bx) 恒 成 立 , 则 函 数 f ( x) 的 对 称 轴 是 函 数abf ( x a) 与 yf (bx)的图象关于直线 xabx; 两个函数 y2对称 .221. 若 f (x)f (x a) , 则函数 yf ( x) 的图象关于点 ( a ,0) 对称 ;若 f ( x)f ( x a) , 则函数 yf ( x) 为周期为 2a 的周期函数 .222多项式函数 P(x) an xnan 1xn 1a0 的奇偶性多

10、项式函数 P( x) 是奇函数P(x) 的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零 .多项式函数 P( x) 是偶函数P(x) 的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零 .23. 函数 y f (x) 的图象的对称性(1)函数 yf (x) 的图象关于直线xa 对称f (a x)f (ax)f (2a x)f (x) .(2)函数 yf (x) 的图象关于直线xa bf (amx)f (b mx)对称f ( a bmx) f (mx) .224. 两个函数图象的对称性(1) 函数 yf (x) 与函数 yf (x) 的图象关于直线 x0 ( 即 y 轴 )对称 .(2) 函数 yf (mx a)

11、 与函数 yf (b mx) 的图象关于直线xab2m对称 .(3) 函数 yf (x) 和 yf 1 ( x) 的图象关于直线y=x 对称 .25. 若将函数 yf ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数yf (x a) b 的图象；若将曲线f ( x, y)0 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到曲线f ( xa, yb)0的图象 .26互为反函数的两个函数的关系f (a)bf1(b)a .27. 若函数 yf ( kxb) 存在反函数 , 则其反函数为y1 f1 (x)b,并不是yf1(),kkx b而函数yf1(kxb是1 f(x)by的反函数 .)k28. 几个常

12、见的函数方程(1)正比例函数f ( x)cx , f ( xy)f (x)f ( y), f (1)c .(2)指数函数()x.,fxaf ( xy)f ( x) f ( y), f (1) a0(3)对数函数f()logax ,f (xy )f ( x)f ( y), f ( a)1(a0, a 1).x(4)幂函数 f (x)x,f (xy)f ( x) f ( y), f ' (1).(5)余弦函数 f ( x)cos x , 正弦函数 g(x)sin x ， f (xy)f (x) f ( y)g(x)g(y) ，f (0)1,lim g( x)1 .x 0x29. 几个函数方

13、程的周期 ( 约定 a>0)（1） f (x)f (xa) ，则 f (x) 的周期 T=a；（2） f ( x)f ( x a) 0 ，或 f (x a)1( f(x)0) ，f ( x)或 f (x a)1( f (x)0),f (x)或 1f (x)f 2 ( x)f ( xa),( f ( x)0,1 ) , 则 f ( x) 的周期 T=2a；21(3)f (x)1( f( x)0) ，则 f (x) 的周期 T=3a；f ( x a)(4)f (x1x2 )f (x1) f ( x2 )1( f ( x1 )f (x2 )1,0 | x1 x2 | 2a) ，则 f (x)

14、的周期1且 f (a)f (x1) f (x2 )T=4a；(5)f (x)f (xa)f (x2a) f (x3a) f (x4a)f (x) f (xa) f (x2a) f (x3a) f (x 4a),则f ( x)的周期；T=5a(6)f ( xa)f ( x)f (xa) ，则 f ( x) 的周期 T=6a.30. 分数指数幂m1(1) a n0,m, n N ，且 n1） .（ an amm1(2) a n0,m, n N ，且 n1） .m （ aa n31根式的性质（ 1） ( n a )n a .（2）当 n 为奇数时， n ana ；当 n 为偶数时， nan| a |

15、a, a0a, a.032有理指数幂的运算性质(1)ar asars (a 0,r , s Q) .(2)(ar )sars (a0,r , sQ) .()rr r(0,0,) .a babr Q(3)ab注： 若 a 0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 .33. 指数式与对数式的互化式log a N b abN ( a 0, a1, N0) .34. 对数的换底公式logm N( a 0 , 且 a1 , m0 , 且 m1,N0).log a Nlog m a推论 log a m bnn loga b ( a0 , 且 a1,

16、 m, n0 ,且 m1, n 1, N 0 ).m35对数的四则运算法则若 a 0， a 1， M0， N 0，则(1) loga (MN ) log a M log a N ;(2)log aMlog a Mlog a N ;N(3)loga M nn log a M (nR) .36. 设函数f() log(ax2)(0), 记b24ac . 若f ( x)的定义域为R , 则 a0 ，xmbx c a且0; 若 f (x) 的值域为R , 则 a 0 ，且0. 对于 a0的情形 , 需要单独检验 .37. 对数换底不等式及其推广若 a 0,b0 , x01, 则函数 ylogax (b

17、x), xa(1)当 ab 时 , 在 (0, 1 ) 和 ( 1 ,) 上 ylog ax (bx) 为增函数 .aa(2)当 ab 时 , 在 (0,11,) 上 ylog ax (bx) 为减函数 .，) 和 (aa推论 :设 nm 1， p0， a0 ，且 a1 ，则（1） log()logm n .m pn p（2） log a m log a nlog a2 mn .238.平均增长率的问题x 的总产值 y ，有(1x如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p ，则对于时间p) .y N39. 数列的同项公式与前 n 项的和的关系ans1 ,n1an ).snsn 1, n( 数列

18、an 的前 n 项的和为 sn a1 a2240. 等差数列的通项公式an a1(n 1)d dn a1d (n N * ) ；其前 n 项和公式为n(a1 an )n(n1)snna12d2d n2( a1 1 d )n .2241. 等比数列的通项公式ana1qn 1a1 qn (n N * ) ；q其前 n 项的和公式为a1(1qn )sn1, q 1qna1 ,q1a1anq , q1或 sn1q.na1 , q 142. 等比差数列an : an 1qand , a1b(q 0) 的通项公式为b(n 1)d ,q1anbqn(d b)qn 1d；q 1, q1其前 n 项和公式为nb

19、n(n1)d ,( q1)snd)1qnd.(bn,( q 1)1q q11q43.分期付款 (按揭贷款 )每次还款 xab(1b)n元( 贷款 a 元 , n 次还清 ,每期利率为 b ).(1 b) n144常见三角不等式（1）若 x(0,) ，则 sin xx tan x .2(2)若 x(0,)，则1sin xcos x2 .2(3)|sin x | cos x |1.45. 同角三角函数的基本关系式sin2cos21， tan = sin， tan cot1 .cos46. 正弦、余弦的诱导公式nsin( n(1)2 sin ,(n 为偶数 )n12(1) 2co s,(n 为奇数

20、)(n 为偶数 )n(1)2 co s,co s( n)n12(1) 2sin,(n 为奇数 )47. 和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tan()tantan1.tan tansin()sin()sin2sin 2( 平方正弦公式 );cos()cos()cos2sin2.a sinb cos=a 2b2 sin()( 辅助角所在象限由点 (a,b) 的象限决定 , tanb).a48. 二倍角公式sin 2sincos.cos2cos2sin 22cos 21 1 2sin 2.tan 22 tan.1tan 249. 三倍角公式sin

21、33sin4sin 34sinsin()sin() .33cos34cos 33cos4coscos()cos().33tan 33tantan3tan tan() tan() .1 3tan 23350. 三角函数的周期公式函数 y sin( x) ，x R 及函数 ycos( x) ， xR(A, , 为常数，且 A 0， 0) 的周期 T2tan( x) ，x k, kZ (A, , 为常数， 且 A0， 0) 的周期 T.；函数 y251. 正弦定理abcsin Asin B2R .sin C52. 余弦定理a2b2c22bc cos A ;b2c2a22ca cos B ;c2a2b

22、22ab cosC .53. 面积定理（1） S1 aha1 bhb1 chc （ ha、hb、 hc 分别表示 a、b、 c 边上的高） .222（2） S1 ab sin C1 bc sin A1 ca sin B .222(3) S OAB1(|OA | | OB |)2(OA OB )2 .254. 三角形内角和定理在 ABC中，有A B CC(A B)CAB2( AB) .222C 2255. 简单的三角方程的通解sinxaxk(1)k arcsin(Z,|a| 1).a kco s xax2karccos a(kZ ,| a |1) .tan xaxkarctan a(kZ , a

23、R) .特别地,有sinsink( 1)k(kZ ) .co scos2k(kZ ) .tantank(kZ ) .56. 最简单的三角不等式及其解集sin xa(| a |1)x(2karcsin a,2 karcsin a), kZ .sin xa(| a |1)x(2 karcsin a,2 karcsin a), kZ .cos xa(| a |1)x(2 karccos a,2 karccos a), k Z .cos xa(| a |1)x(2karccos a,2 k2arccosa), kZ .tan xa( aR)x(karctan a,k), kZ .2tan xa( aR

24、)x(k, karctan a), kZ .257. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( ) a;(2) 第一分配律： ( + ) a= a+ a;(3) 第二分配律： ( a+b)= a+b.58. 向量的数量积的运算律：(1) a · b= b ·a （交换律） ;(2)（ a）· b=（ a· b） =a· b= a ·（b） ;(3)（ a+b）·c= a· c +b ·c.59. 平面向量基本定理如果 e1、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这

25、一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得 a= 1e1+ 2 e2不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底60向量平行的坐标表示设 a= ( x1 , y1) , b= ( x2 , y2 ) ，且 b0，则 ab(b0)x 1 y2x2 y10 .53. a 与 b 的数量积 ( 或内积 )a·b=| a| b|cos 61. a· b 的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度 |a |与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积62. 平面向量的坐标运算(1)设 a= ( x , y ) , b= (x, y) ，

26、则 a+b= (xx , yy ) .11221212(2)设 a= ( x , y ) , b= (x, y) ，则 a-b= (xx , yy) .11221212(3)设 A( x1 , y1 )， B( x2 , y2 ),则 AB OBOA(x2x1 , y2 y1 ) .(4)设 a= ( x, y),R ，则 a= ( x, y) .(5)设 a= ( x1 , y1) , b= (x2 , y2 ) ，则 a· b= ( x1 x2 y1 y2 ) .63. 两向量的夹角 公式cosx1x2y1 y2( a= ( x1 , y1) , b= ( x2 , y2 ) )

27、.y12x22x12y2264. 平面两点间的距离公式dA ,B =|AB|ABAB( x2x1 )2( y2y1 )2 (A ( x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ).65. 向量的平行与垂直设 a= ( x1 , y1 ) , b= ( x2 , y2 ) ，且 b 0，则A|bb=ax 1 y2x2 y10 .ab(a0)ax1 x2y1 y2 0 .· b=066. 线段的定比分公式设 P1( x1 , y1 ) ， P2 ( x2 , y2 ) ， P( x, y) 是线段 PP12 的分点 ,是实数，且 PP1PP2 ，则x1x2xOP1OP21y1y2OP

28、1y1OPtOP1(1 t )OP2 （ t1） .167. 三角形的重心坐标公式 ABC 三 个 顶 点 的 坐 标分 别 为 A(x 1,y 1 ) 、 B(x2 ,y 2 ) 、 C(x3 ,y 3 ) , 则 ABC 的 重心 的 坐 标 是G ( x1x2x3 , y1y2 y3 ) .3368. 点的平移公式x'x hx x'hOP'OP PP'.y'y ky y 'k注: 图形 F 上的任意一点P(x ，y) 在平移后图形 F ' 上的对应点为P' (x' , y' ) ，且 PP' 的坐标为

29、 (h,k ) .69. “按向量平移”的几个结论（1）点 P( x, y) 按向量 a=( h, k ) 平移后得到点 P' (x h, yk ) .(2)函 数 yf ( x) 的 图 象 C 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C ',则C'的函数解析式为yf (xh) k .(3)图象 C'按向量a= (h, k ) 平移后得到图象 C , 若 C 的解析式y f ( x) , 则 C ' 的函数解析式为yf (xh) k .(4)曲线 C:f (x, y)0 按向量 a= (h, k) 平移后得到图象 C '

30、, 则 C '的方程为 f ( xh, y k ) 0 .(5)向量 m= (x, y) 按向量 a= (h, k) 平移后得到的向量仍然为m= ( x, y) .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 O 为ABC 所在平面上一点，角A, B, C 所对边长分别为a, b, c ，则（ 1）O为 ABC（ 2）O为 ABC（ 3）O为 ABCOA222的外心OBOC .的重心OAOBOC0.的垂心OA OBOB OCOC OA.（4）O为ABC 的内心aOAbOBcOC0 .（5）O为ABC 的 A 的旁心aOAbOBcOC .71. 常用不等式：（1） a, bRa2b22ab

31、 ( 当且仅当 ab 时取“ =”号) （2） a, bRa bab ( 当且仅当 a b 时取“ =”号) 2（3） a3b3c33abc(a0,b 0,c0).（4）柯西不等式(a2b2 )(c2d 2 )( acbd )2 , a,b, c, dR.（5） ababab .72. 极值定理已知 x, y 都是正数，则有（1）若积 xy 是定值 p ，则当 xy 时和 x y 有最小值 2p ；（2）若和 xy 是定值 s，则当 xy 时积 xy 有最大值 1 s2.y) 2y)24推广 已知 x, y R ，则有 (x(x2xy（1）若积 xy 是定值 , 则当 | xy | 最大时 ,

32、| xy | 最大；当 | x y | 最小时 , | xy |最小 .（2）若和 | xy | 是定值 , 则当 | xy |最大时 ,| xy |最小；当 | x y | 最小时 ,| xy |最大 .73. 一元二次不等式ax2bxc0(或 0) (a0,b24ac0) ，如果 a 与 ax2bx c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与 ax2bxc 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间 .x1x x2( xx1 )( x x2 )0(x1x2 ) ；xx1 ,或 xx2( xx1 )( xx2 )0(x1x2 ) .74. 含有绝对值的不等式当 a> 0 时，有x ax22a x a .ax ax2a2x a 或 xa .75. 无理不等式（ 1）（ 2）（ 3）f (x)0f (x)g( x)g( x)0.f (x)g( x)f (x)0或 f ( x)0f (x)g( x)g( x)0.f (x) g( x) 2g ( x)0f ( x)0f (x)