北京理工大学工科数学分析7-8常系数线性微分方程组ppt课件

1、19 9 常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组n微分方程组微分方程组n常系数微分方程组的解法常系数微分方程组的解法2一一. . 微分方程组微分方程组微分方程组由几个微分方程联立而成的方程组微分方程组由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组称为微分方程组注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数个具有同一自变量的函数3.程组程组阶方程可以化为一阶方阶方程可以化为一阶方一般一般 n0),()( nyyyyxF,1yy 记记,1个新的未知函数个新的未知函数再引进再引进 n)1(11312, nnyyyyyy:阶方程组阶方程组个未

2、知函数的一个未知函数的一为含有为含有于是高阶方程就可以化于是高阶方程就可以化n4 0),(2113221nnnnyyyyxFyyyyyy5 )()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111xfyxayxayxadxdyxfyxayxayxadxdyxfyxayxayxadxdynnnnnnnnnnn一阶线性微分方程组：一阶线性微分方程组：(1)6上上的的已已知知连连续续函函数数。间间都都是是某某区区以以及及个个未未知知函函数数，为为其其中中Inixfnjixanyyyiijn, 2 , 1),(, 2 , 1,),(,21 ，则方程组为，则方程组为若

3、若nixfi, 2 , 1, 0)( 7 nnnnnnnnnnyxayxayxadxdyyxayxayxadxdyyxayxayxadxdy)()()()()()()()()(22112222121212121111称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。8线性微分方程组解的存在唯一性定理线性微分方程组解的存在唯一性定理一。一。满足初始条件，且解唯满足初始条件，且解唯上有一个解上有一个解在区间在区间方程组方程组条件：条件：则对于任意给定的初始则对于任意给定的初始上连续，上连续，都在区间都在区间若若)(,),(),()1(,)(,)(,)(,

4、2 , 1,),(),(221100002020101xyyxyyxyyIIxyxyyxyyxyInjixfxannnniij 9二二. .常系数微分方程组的解法常系数微分方程组的解法 常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组微分方程叫做常系数线性微分方程组 )()()(2211222221212112121111xfyayayadxdyxfyayayadxdyxfyayayadxdynnnnnnnnnnn10常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组解法步骤解法步骤: :第一步第

5、一步 用消元法消去其他未知函数用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个得到只含一个 函数的高阶方程函数的高阶方程 ;第二步第二步 求出此高阶方程的未知函数求出此高阶方程的未知函数 ;第三步第三步 把求出的函数代入原方程组把求出的函数代入原方程组 ,注意注意: 一阶线性方程组的通解中一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数任意常数的个数 = 未知函数个数未知函数个数一般通过求导一般通过求导得其它未知函数得其它未知函数 .如果通过积分求其它未知函数如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数则需要讨论任意常数的关系的关系.11步骤步骤: :从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，从方程组中消

6、去一些未知函数及其各阶导数， 得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分 方程方程解此高阶微分方程解此高阶微分方程, ,求出满足该方程的未知函数求出满足该方程的未知函数. .把已求得的函数带入原方程组把已求得的函数带入原方程组, ,一般说来，不必经一般说来，不必经 过积分就可求出其余的未知函数过积分就可求出其余的未知函数12一般常系数一阶线性齐次微分方程组，可用矩阵形式写出。一般常系数一阶线性齐次微分方程组，可用矩阵形式写出。,21 nxxxXAXX，,是对角阵是对角阵若若 Aiiiixa x 即即，,1,2,.iia tixcein 是上三角阵，是上

7、三角阵，若若 Annxaxaxax12121111 nnxaxax22222 nnnnxax .总可以写出解总可以写出解13则则逆逆线线性性变变换换对对一一般般矩矩阵阵，若若存存在在可可,TYXT ,YTX ATYYT YATTY)(1 .1为为约约当当标标准准型型ATT .的解的解是是AXXeAX .)(212级级数数解解 AXAXIeAX14常系数一阶线性微分方程组一般形式常系数一阶线性微分方程组一般形式：( )( )1112121222dxa xa yf tdtdya xa yf tdt15;23. 1 yxdtdyyxdtdx求求解解微微分分方方程程组组例例解：解：从从(2)(2)中解

8、出中解出),(21ydtdyx )(2122dtdydtyddtdx yydtdydtdydtyd3)(21)(2122 ydtdy2521 0522 ydtyd16irr5, 052, 12 tCtCty5sin5cos)(21 5cos55sin521)(11tCtCtx tCtC5sin215cos2121 tCCtCC5sin)5(215cos)5(211221 17 1)0(, 0)0(2cos23. 2yxyxdtdytyxdtdx求求解解非非齐齐次次线线性性方方程程组组例例解：解：从从(2)(2)中解出中解出),(21ydtdyx )(2122dtdydtyddtdx tyydt

9、dydtdydtydcos2)(23)(2122 ydtdydtyd212122 tcos 18tydtdydtydcos2222 1, 0122, 12 rrr,)(21*ttteCeCyty tBtAysincos* ttBtAcos2cos2sin2: 代入方程得代入方程得tysin* ttCCetytsin)()(21 )(tx)(21ydtdy )2()sin(cos21221tCCCettt . 1, 1:1)0(, 0)0(21 CCyx代代入入解解得得将将19 txydtdxdtdxdtyddtxd305. 32222求求解解微微分分方方程程组组例例解：解：次，得次，得求导求导

10、两边对两边对可对可对为了消去为了消去2)2(),(tty)3(03222233 dtxddtyddtxd3232(3)(1)450(4)d xd xdxdtdtdt 式式得得：.2, 0, 0543,2123irrrrr )sincos()()4(3221tCtCeCtxt 的的通通解解为为：20代入代入(2)(2)式得：式得：txdtdxty 3)(sin)(cos)(3322121tCCtCCetCt 21例例4.4. 解微分方程组解微分方程组 textytx dddd220dddd22 ytxty解解: ,ddtD 记记则方程组可表为则方程组可表为teyDxD )1(20)1(2 yDxD(1)(2)用代数方法用代数方法消元自作消元自作 根据解线性方程组的克莱姆法则根据解线性方程组的克莱姆法则, 有有1122 DDDD y012DeDt 22即即teyDD )1(24其特征方程其特征方程: 0124 rr特征根特征根:2512, 1 r2154,3 ir记记 记记 i (3),teAy 令令代入代入(3)可得可得 A1, 故得故得(3)的通解的通解: tttetCtCeCeCy sincos4321(4)求求 x :(2)D(1)得得teyDx 3teyDx 3)(213tteCeC tetCtC2)cossin(433 (5