2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测18圆锥曲线中的最值范围证明问题大题练含答案详解

1、高考数学二轮复习课时跟踪检测18圆锥曲线中的最值范围证明问题大题练已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1和f2，由m(a，b)，n(a，b)，f2和f1这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形(1)求椭圆的方程；(2)过点f1的直线和椭圆交于a，b两点，求f2ab面积的最大值已知斜率为k的直线l与椭圆c：=1交于a，b两点，线段ab的中点为m(1，m)(m>0)(1)证明：k<；(2)设f为c的右焦点，p为c上一点，且=0.证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差已知椭圆：=1(a>b>0且a，b2均为整数)过点，且右顶点到直线l：x=4的距

2、离为2.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点f作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与椭圆交于点a，b，l2与椭圆交于点c，d.求四边形acbd面积的最小值已知椭圆c的两个焦点为f1(1,0)，f2(1,0)，且经过e.(1)求椭圆c的方程；(2)过点f1的直线l与椭圆c交于a，b两点(点a位于x轴上方)，若=，且2<3，求直线l的斜率k的取值范围设椭圆c：=1(a>b>0)，定义椭圆c的“相关圆”方程为x2y2=.若抛物线y2=4x的焦点与椭圆c的一个焦点重合，且椭圆c短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形(1)求椭圆c的方程和“相关圆”e的方程；(2)过“相关圆”e上

3、任意一点p作“相关圆”e的切线l与椭圆c交于a，b两点，o为坐标原点证明：aob为定值已知椭圆c1：=1(a>b1)的离心率为，其右焦点到直线2axby=0的距离为.(1)求椭圆c1的方程；(2)过点p的直线l交椭圆c1于a，b两点证明：以ab为直径的圆恒过定点已知椭圆=1(a>b>0)的左，右焦点分别为f1，f2，且|f1f2|=6，直线y=kx与椭圆交于a，b两点(1)若af1f2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k=，且a，b，f1，f2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设p(x0，y0)为椭圆上一点，且直线pa的斜率k1(2，1)，试求直线p

4、b的斜率k2的取值范围已知圆c：x2y22x2y1=0和抛物线e：y2=2px(p>0)，圆心c到抛物线焦点f的距离为.(1)求抛物线e的方程；(2)不过原点o的动直线l交抛物线于a，b两点，且满足oaob，设点m为圆c上一动点，求当动点m到直线l的距离最大时的直线l的方程参考答案解：(1)由已知条件，得b=，且×=3，ac=3.又a2c2=3，a=2，c=1，椭圆的方程为=1.(2)显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为x=my1，a(x1，y1)，b(x2，y2)联立方程消去x得，(3m24)y26my9=0.直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交y1y2=，y1

5、y2=.sf2ab=|f1f2|y1y2|=|y1y2|=12=4=4，令t=m211，设f(t)=t，易知t时，函数f(t)单调递减，t时，函数f(t)单调递增，当t=m21=1，即m=0时，f(t)取得最小值，f(t)min=，此时sf2ab取得最大值3.证明：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则=1，=1.两式相减，并由=k得·k=0.由题设知=1，=m，于是k=.由题设得0<m<，故k<.(2)由题意得f(1,0)设p(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)=(0,0)由(1)及题设得x3=3(x1x2)=1，y3=(y1

6、y2)=2m<0.又点p在c上，所以m=，从而p，|=，于是|=2.同理|=2.所以|=4(x1x2)=3.故2|=|，即|，|，|成等差数列设该数列的公差为d，则2|d|=|=|x1x2|=.将m=代入得k=1，所以l的方程为y=x，代入c的方程，并整理得7x214x=0.故x1x2=2，x1x2=，代入解得|d|=.所以该数列的公差为或.解：(1)由题意，得=1，且|4a|=2，若a=2，则b2=3；若a=6，则b2=(舍去)，所以椭圆的方程为=1.(2)由(1)知，点f的坐标为(1,0)当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，可得|ab|=4，|cd|=3或者|ab|=3，|cd|

7、=4，此时四边形acbd的面积s=×4×3=6.当l1，l2的斜率均存在时，设直线l1的斜率为k，则k0，且直线l2的斜率为.直线l1：y=k(x1)，l2：y=(x1)联立得(34k2)x28k2x4k212=0.由直线l1过椭圆内的点，知>0恒成立，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2=，x1x2=.|ab|=|x1x2|=·=.以代替k，得|cd|=.所以四边形acbd的面积s=|ab|·|cd|=，当且仅当k2=1，即k=±1时等号成立由于<6，所以四边形acbd面积的最小值为.解：(1)由解得所以椭圆c的方程为

8、=1.(2)由题意得直线l的方程为y=k(x1)(k>0)，联立方程整理得y2y9=0，=144>0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2=，y1y2=，又=，所以y1=y2，所以y1y2=(y1y2)2，则=，2=，因为2<3，所以2<，即<，且k>0，解得0<k.故直线l的斜率k的取值范围是.解：(1)因为抛物线y2=4x的焦点(1,0)与椭圆c的一个焦点重合，所以c=1.又椭圆c短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1，故椭圆c的方程为y2=1，“相关圆”e的方程为x2y2=.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，不妨设

9、直线ab的方程为x=，a，b，则aob=.当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立得x22(kxm)2=2，即(12k2)x24kmx2m22=0，=16k2m24(12k2)(2m22)=8(2k2m21)>0，即2k2m21>0，因为直线l与“相关圆”e相切，所以=，即3m2=22k2，所以x1x2y1y2=(1k2)x1x2km(x1x2)m2=m2=0，所以，所以aob=.综上，aob=，为定值解：(1)由题意，e=，e2=，a2=2b2.所以a=b，c=b.又=，a>b1，所以b=1，a2=2，故椭圆c1的方程为y2=1.

10、(2)证明：当abx轴时，以ab为直径的圆的方程为x2y2=1.当aby轴时，以ab为直径的圆的方程为x22=，由可得由此可知，若以ab为直径的圆恒过定点，则该定点必为q(0,1)下证q(0,1)符合题意当ab不垂直于坐标轴时，设直线ab方程为y=kx，a(x1，y1)，b(x2，y2)由得(12k2)x2kx=0，由根与系数的关系得，x1x2=，x1x2=，·=(x1，y11)·(x2，y21)=x1x2(y11)(y21)=x1x2=(1k2)x1x2k(x1x2)=(1k2)k·=0，故，即q(0,1)在以ab为直径的圆上综上，以ab为直径的圆恒过定点(0,

11、1)解：(1)由题意得c=3，根据2a2c=16，得a=5.结合a2=b2c2，解得a2=25，b2=16.所以椭圆的方程为=1.(2)由得x2a2b2=0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)所以x1x2=0，x1x2=，由ab，f1f2互相平分且共圆，易知，af2bf2，因为=(x13，y1)，=(x23，y2)，所以·=(x13)(x23)y1y2=x1x29=0.即x1x2=8，所以有=8，结合b29=a2，解得a2=12，所以离心率e=.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为=1，由题可知a(x1，y1)，b(x1，y1)，k1=，k2=，所以k1k2=，又=，即k2=，由2<k1<1可知，<k2<.即直线pb的斜率k2.解：(1)x2y22x2y1=0可化为(x1)2(y1)2=1，则圆心c的坐标为(1,1)f，|cf|= =，解得p=6.抛物线e的方程为y2=12x.(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为x=myt(t0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)由得y212my12t=0，=(12m)248t=48(3m2t)>0，y1y2=12m，y1y2=12t，由