巧用线性规划思想解题

1、巧用线性规划思想解题当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力一、 函数问题转化为线性规划问题例1 如图1，满足的可行域是图中阴影部分（包括边界）若函数在点取得最小值，求的取值范围解：由图1易得满足的约束条件为将目标函数改为斜截式，表示直线在轴上的截距，欲求的最小值，可转化为求的最大值当时，显然直线在点处，取得最大值；当时，依题意，易得综上所述，时，函数在点取得最小值二、 方程问题转化为线性规划问题例2 已知，若方程与方程都有实数根，求的最小值解：由题意，得即画出其可行域为如图2所示阴影部分令，故要求的最小值，即

2、求过可行域内的点，使得在轴上截距最小的点的坐标由图知，点即为所求由解得的最小值为6三、 不等式问题转化为线性规划问题例3 已知，且，求的取值范围解：如图3，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线，把直线向右下方平移过，即直线与的交点时，；再把直线向右下方平移过即直线与的交点时，说明：本题还可运用整体代换法，先用与的一次组合表示，找出它们之间的线性关系，然后利用不等式的性质加以解决四、 多元问题转化为线性规划问题例4 已知的三边长满足，求的取值范围解：由题意，应用令，上述不等式可化为求出的范围即可作出可行域如图4，易得，于是的范围为五几何问题转化为线性（非线性）规划问题（3，6，8）简单的

3、线性规划和实际应用一、选择题1.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是( )a.2 b.5 c.6 d.8解析：由题可知可行域如下:显然,b(3,3)使(x+y)取得最大值6.答案：c2.在平面直角坐标系xoy中,满足不等式组的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的( )解析：若0<x<1,当y>0时,要使|y|x|,则yx;当y<0时,要使|y|x|,则y-x;若-1<x<0,当y>0时,要使|y|x|,则y-x; 当y<0时,要使|y|x|,则yx.答案：c3.若a为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过

4、a中的那部分区域的面积为( )a. b.1 c. d.2解析：如图所示,直线x+y=a扫过的区域为四边形aobc.s四边形aobc=saod-scbd=.答案：c4.设二元一次不等式组所表示的平面区域为m,则使函数y=ax(a>0,a1)的图象过区域m的a的取值范围是( )a.1,3 b.2, c.2,9 d.,9解析：平面区域m如图所示.求得a(2,10),c(3,8),b(1,9).由图可知,欲满足条件必有a>1且图象在过b、c两点的图象之间.当图象过b时,a1=9,a=9.当图象过c时,a3=8,a=2.故a的取值范围为2,9.故选c.答案：c二、填空题5.若变量x,y满足则

5、z=3x+2y的最大值是_.解析：由不等式组画出的可行域如图,结合图形,由于是zmax=3×10+2×20=70.答案：706.已知m=(x,y)|x|+|y|1,则m的面积为_.解析：如图,作出m表示的平面区域,其面积为2.答案：27.若a0,b0,且当时,恒有ax+by1,则以a,b为坐标的点p(a,b)所形成的平面区域的面积是_.解析：ax+by1恒成立,当x=0时,by1恒成立,可得y(b0)恒成立,所以0b1;同理0a1.所以点p(a,b)确定的平面区域是一个正方形,面积为1.答案：1三、解答题8.已知求z=x2+y2的最值,并求出z取得最值时x、y的值.解：z=x2+y2不是线性函数,求它的最值可利用几何意义求解.x2+y2表示区域上的点到原点的距离的平方,显然,它的最值应在区域的边界上取得.作出满足以上不等式组的可行区域(如图),易知在这个区域中,点c到原点o的距离最远,即z的最大值是22+32=13,这时x=2,y=3.又过o点作直线ab:x+=1的垂线,垂足,在点d处z有最小值|od|2=,此时x=,y=.9.若函数的定义域是r,