模块一 数字电路逻辑控制表示

1、 武汉职业技术学院机电学院武汉职业技术学院机电学院 黄黄 京京数字电子技术数字电子技术模块一模块一 数字电路逻辑控制表示数字电路逻辑控制表示v1.1 1.1 什么是数字电路什么是数字电路v1.2 1.2 逻辑代数基础逻辑代数基础v1.3 1.3 逻辑代数的基本定律和规则逻辑代数的基本定律和规则v1.4 1.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简主要要求：主要要求： 了解数字电路的特点和分类。了解数字电路的特点和分类。掌握各种进制及它们之间的相互转换。掌握各种进制及它们之间的相互转换。1.1 1.1 什么是数字电路什么是数字电路 模拟电路是模拟电路是传递、处传递、处理模拟信号的电子电路理模拟信号的电子

2、电路 数字电路是传递、处数字电路是传递、处理数字信号的电子电路理数字信号的电子电路数字信号数字信号时间上和幅度时间上和幅度上都上都不连续不连续变变化的信号化的信号 模拟信号模拟信号时间上和幅度时间上和幅度上都上都连续连续变化变化的信号的信号数字电路中典型信号波形数字电路中典型信号波形1 1、模拟信号与数字信号、模拟信号与数字信号1.1.1 1.1.1 几个基本概念几个基本概念 数字电路中只有两种状态，如真与假、开数字电路中只有两种状态，如真与假、开与关、高与低、有与无等，这两种状态可分别与关、高与低、有与无等，这两种状态可分别用用0 0和和1 1来表示。来表示。双极型数字集成电路双极型数字集成

3、电路单极型数字集成电路单极型数字集成电路根据半导体的导电类型不同分为根据半导体的导电类型不同分为 以双极型晶体以双极型晶体管作为基本器件管作为基本器件 以单极型晶体管以单极型晶体管作为基本器件作为基本器件例如例如 CMOS、NMOS等等例如例如 TTL、ECL2、模拟电路与数字电路、模拟电路与数字电路 现代数字电路一般为集成电路。集成电现代数字电路一般为集成电路。集成电路是将晶体管、电容、电阻等元器件和导线路是将晶体管、电容、电阻等元器件和导线通过半导体制造工艺做在一块硅片上而成为通过半导体制造工艺做在一块硅片上而成为一个不可分割的整体电路。一个不可分割的整体电路。集成电路集成电路分分 类类集

4、集 成成 度度电路规模与范围电路规模与范围小规模集成小规模集成电路电路 SSISSI1 -10 1 -10 门门/ /片或片或10 -100 10 -100 个元个元件件/ /片片逻辑单元电路逻辑单元电路包括：逻辑门电路、集成触发器包括：逻辑门电路、集成触发器中规模集成中规模集成电路电路 MSIMSI10 -100 10 -100 门门/ /片片或或 100 -1000 100 -1000 个元件个元件/ /片片逻辑部件逻辑部件 包括：计数器、包括：计数器、 译码器、编码器、译码器、编码器、数据选择器、寄存器、算术运算器、数据选择器、寄存器、算术运算器、比较器、转换电路等比较器、转换电路等 大

5、规模集成大规模集成电路电路 LSILSI100100 - - 10001000 门门/ /片或片或 10001000 - -100000100000 个元件个元件/ /片片数字逻辑系统数字逻辑系统包括：中央控制器、存储器、各种接包括：中央控制器、存储器、各种接口电路等口电路等超大规模集超大规模集 成电路成电路 VLSIVLSI大于大于 1000 1000 门门/ /片或大于片或大于 10 10 万个元件万个元件/ /片片高集成度的数字逻辑系统高集成度的数字逻辑系统例如：各种型号的单片机，即在一片例如：各种型号的单片机，即在一片 硅片上集成一个完整的微型计算机硅片上集成一个完整的微型计算机根据集

6、成密度不同分为根据集成密度不同分为便于高度集成化便于高度集成化工作可靠性高、抗干扰能力强工作可靠性高、抗干扰能力强数字信息便于保存数字信息便于保存集成电路成本低、通用性强集成电路成本低、通用性强保密性好保密性好数字电路的优点数字电路的优点模拟信号：模拟信号： 在一定电压范围内在一定电压范围内连续变化的信号。连续变化的信号。数字信号：数字信号： 由离散电平由离散电平组成的信号。组成的信号。t15V-15VOt15V-15VO逻 辑 1逻 辑 0高 电 平低 电 平小结小结二进制码二进制码数制数制不同数制之间的相互转换不同数制之间的相互转换1.1.2 1.1.2 数制和二进制码数制和二进制码按进位

7、规则进行计数的体制按进位规则进行计数的体制 1 1、 数制数制 数制中采用数码的个数为该数制的基数：数制中采用数码的个数为该数制的基数： 十进制的基数为十进制的基数为10， 数码：数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、92101 4100 1 110- -1 310- -2权权 权权 权权 权权 ( (24.1324.13) )10 10i 称十进制的权称十进制的权 10 称为基数称为基数 0 9 十个数码称系数十个数码称系数数码与权的乘积，称为加权系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式按权展开式 (246.1

8、34)10 = 2102+ 4101 +6100 +110-1 + 310- -2 + 410- -3二进制的基数为二进制的基数为2， 数码：数码：0、1十六进制的基数为十六进制的基数为16， 数码：数码：09、A、B、C、D、E、F 例如例如 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 11 + 1 = 100 10 1 = 1 2 2、 不同数制之间的相互转换不同数制之间的相互转换 (xxx)2 或或 (xxx)B 例如例如 (1001.01)2 或或 (1001.01)B 数码：数码：0、1 进位规律：逢二进一，借一当二进位规律：逢二进一，借一当二 权权：2i 基数基数：2 系数系数：0、

9、1 按权展开式表示按权展开式表示 (1001.01)2 = 123 + 022 + 021 + 120 + 02- -1 + 12- -2 将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。= 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0.25 (1001.01)2 = (9.25)10 = 9.25 (1001.01)2 = 123 + 022 + 021 + 120 + 02- -1 + 12- -2二进制举例二进制举例 八进制八进制 十六进制十六进制 进制进制数的表示数的表示计数规律计数规律 基数基数 权权 数码数码八进制八进制 ( (Oc

10、tal) ) (xxx)8或或(xxx)O逢八进一逢八进一, ,借一当八借一当八 8 0 7 8i 十六进制十六进制(Hexadecimal) (xxx)16 或或(xxx)H 逢十六进一，借一当十六逢十六进一，借一当十六 16 0 9、A、B、C、D、E、F 16i例如例如 (425.25)8 = 482 + 281 + 580 + 28- -1 + 58- -2 = 256 + 16 + 5 + 0.25 + 0.078125 = (277.328 125)10 例如例如(3C1.C4)16 = 3162 + 12161 + 1160 + 1216- -1 + 416- -2 = 768

11、+ 192 + 1 + 0.75 + 0.015625 = (961.765 625)10 二、不同数制间的关系与转换二、不同数制间的关系与转换 十进制、二进制、八进制、十六进制对照表十进制、二进制、八进制、十六进制对照表不同数制之间有关系吗？不同数制之间有关系吗？770111766011065501015440100433001132200102 11000110000000 十六十六八八二二 十十F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A12101010 9111001981010008 十六十六八八二二 十十（1）十进制转换为十进制转换为

12、R R进制进制 整数和小数分别转换整数和小数分别转换整数部分：除整数部分：除 R R 取余法取余法将给定的十进制整数除以将给定的十进制整数除以R R，余数作为，余数作为R R进制数小数进制数小数点前的最低位。点前的最低位。把前一步的商再除以把前一步的商再除以R R，余数作为次低位。，余数作为次低位。重复步骤重复步骤，记下余数，直至商为，记下余数，直至商为0 0，最后的余数，最后的余数即为即为R R进制的最高位。进制的最高位。小数部分：乘小数部分：乘 R R 取整法取整法将给定的十进制小数乘以将给定的十进制小数乘以R R，整数作为，整数作为R R进制数小数点进制数小数点后的最高位。后的最高位。把

13、前一步的积再乘以把前一步的积再乘以R R，整数作为次高位。，整数作为次高位。重复步骤重复步骤，记下整数，直至最后积为，记下整数，直至最后积为0 0或达到一定或达到一定的精度。的精度。十进制十进制二进制二进制 例例11（47）10（？）（？）24721232111251221210201最高位最高位MSBMSB最低位最低位LSBLSB（47）10（101111）2(26)10 = (11010) 2 一直一直除到除到商为商为 0 0 为为止止 读数顺序读数顺序例例2 2 将十进制数将十进制数 (26)(26)10 10 转换成二进制转换成二进制 商商 0 1 3 6 1326余数余数1 1 0

14、1 02 2例例3 3 将十进制数将十进制数 (26)(26)10 10 转换成八进制数转换成八进制数 商商 0 326余数余数3 28 8(26)10 = (32) 8(0.875)10 = (0.111)2一直乘到积为一直乘到积为 0 0 或达到一定或达到一定的精度的精度 例例4 4 将十进制数将十进制数 (0.875)(0.875)10 10 转换成二进制数转换成二进制数 1.500 1 整数整数1.750 1 2 21.000 1 2读读数数顺顺序序0.875（2）R R进制转换成十进制进制转换成十进制 按权展开求和按权展开求和例例5 5 将二进制数将二进制数 (11010.011)2

15、 转换成十进制数转换成十进制数 (11010.011)2 = 124 + 123 + 022 + 121 + 020 + 02- -1 + 12- -2 + 02-3 =16+8+0+2+0+0.25+0.125=(26.375)10 例例6 6 将八进制数将八进制数 (137.504)(137.504)8 8 转换成十进制数转换成十进制数 (137.504)8 = 182 + 381 + 780 + 58-1 + 08-2 + 48-3 = 64 + 24 + 7 + 0.625+0 + 0.078125= (95.6328 125)10例例7 7 将十六进制数将十六进制数 (12AF.B4

16、)(12AF.B4)16 16 转换成十进制数转换成十进制数 (12AF.B4)16 = 1163 +2162 + 10161 +15160 + 1116- -1 + 416- -2 =16+8+0+2+0+0.25+0.125= (26.375)10 （3 3）基数）基数R R为为2 2K K的各进制之间的转换的各进制之间的转换 每位八进制数用三位每位八进制数用三位二进制数代替，再按原顺二进制数代替，再按原顺序排列。序排列。八进制八进制二进制二进制 二进制二进制八进制八进制 从小数点开始，整数部分从小数点开始，整数部分向左向左 ( (小数部分向右小数部分向右) ) 三位一三位一组组，最后，最

17、后不足三位的加不足三位的加 0 0 ，补足补足三位，再按顺序写出各组三位，再按顺序写出各组对应的八进制数对应的八进制数 。 一位八进制数对一位八进制数对应三位二进制数，因应三位二进制数，因此二进制数三位为一此二进制数三位为一组。组。 一位十六进制数一位十六进制数对应四位二进制数，对应四位二进制数，因此二进制数四位为因此二进制数四位为一组。一组。十六进制十六进制二进制二进制 : : 每位十六进制数用四每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺位二进制数代替，再按原顺序排列。序排列。二进制二进制十六进制十六进制 : 从小数点开始，整数部从小数点开始，整数部分向左分向左( (小数部分向右小数部分向右

18、) ) 四位四位一组一组，最后，最后不足四位的加不足四位的加 0 0 ，补足补足四位，再按顺序写出各四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数组对应的十六进制数 。(10100110.1110101)2 = (246.724)8 补补0（1） (10100110.1110101)2 = ( ? )8 10100110.1110101 000 246724补补010100110 111010例例8 8 将下列二进制数分别将下列二进制数分别 转换成八进制数转换成八进制数或十六进制数或十六进制数 (10010100111.11001)2= (4A7.C8)16 （2） (10010100111.1100

19、1)2 = ( ? )16 10010100111.11100100 4A7C80 补补 010010100111 111001补补 01例例9 9 将下列数将下列数 转换成二进制数转换成二进制数 (537.361)8 = (101 011 111.011 110 001)2 =(101011111.011110001)2(4B5D.97D)16 = (0100 1011 0101 1101.1001 0111 1101）2= (100101101011101.100101111101)2 小结：数制及其转换小结：数制及其转换十进制十进制（289）10基数基数十进制数码：十进制数码：二进制二进

20、制二进制二进制 十进制：十进制：（1011.01）2二进制数码：二进制数码：2102810191000912302212112002-112-2（11.25）100，1各位位权值各位位权值各位数码各位数码八进制八进制例例1010：（1110010.0101）2（？）（？）8111 0 0 1 0 . 0 1 0 1 0016224（1110010.0101）2（162.24）8八进制数码：八进制数码： 0700十六进制十六进制 例例1111：(4A.CF)16= (?)24A.CF0100 10101100 1111十六进制数码：十六进制数码： 0 015 15 （其中（其中10101515用

21、用A AF F表示）表示）(4A.CF)16= (1001010.11001111)23 3、 二进制二进制码码 （1 1）BCDBCD码：用码：用4 4位二进制数表示位二进制数表示1 1位十进制数码（位十进制数码（0-90-9）8421BCD码就只有码就只有09； 而四位自然二进制数，可有而四位自然二进制数，可有0F。 09，两种数的形式是相同的；，两种数的形式是相同的； AF，只有四位自然二进制数才具有。，只有四位自然二进制数才具有。 （2 2）ASCIIASCII码：用码：用7 7位二进制编码，表示位二进制编码，表示2 27 7=128=128个字符。个字符。主要要求：主要要求： 掌握三

22、种基本逻辑函数及运算掌握三种基本逻辑函数及运算掌握逻辑函数及其表示法掌握逻辑函数及其表示法1.21.2逻辑代数基础逻辑代数基础1.2.1 1.2.1 基本逻辑函数及运算基本逻辑函数及运算v 与运算与运算 v 或运算或运算v 非运算非运算v 复合逻辑元算复合逻辑元算 如图所示是一个如图所示是一个与与逻辑实际电路，图逻辑实际电路，图中有两个开关，只有中有两个开关，只有当开关全部闭合时，当开关全部闭合时，灯才亮。灯才亮。 只有当决定某一事件（如灯亮）的条只有当决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）全部具备时，这一事件件（如开关闭合）全部具备时，这一事件才会发生。我们把这种因果关系称之为才会发生。

23、我们把这种因果关系称之为与与逻辑逻辑关系。关系。1 1、 与运算与运算与逻辑与逻辑设设A(B)=1 闭合闭合0 断开断开L=1 灯亮灯亮0 灯灭灯灭真值表真值表输入输入输出输出ABL000100010111L=A B 与与运算表达式运算表达式ABL&与门与门逻辑符号逻辑符号 如图所示是一个如图所示是一个或或逻辑实际电路，图逻辑实际电路，图中有两个开关，只要中有两个开关，只要开关有一个闭合，或开关有一个闭合，或者两个都闭合，灯就者两个都闭合，灯就会亮。会亮。 只要在决定某一事件（如灯亮）的条只要在决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）中，有一个或几个条件件（如开关闭合）中，有一个或几

24、个条件具备时，这一事件就会发生。我们把这种具备时，这一事件就会发生。我们把这种因果关系称之为因果关系称之为或逻辑或逻辑关系。关系。2 2、 或运算或运算或逻辑或逻辑或逻辑真值表或逻辑真值表000101101111ABLL=A+B或或逻辑运算表达式逻辑运算表达式或门或门逻辑符号逻辑符号ABL1 如图所示是一个如图所示是一个非非逻辑实际电路，当逻辑实际电路，当开关闭合时，灯灭，开关闭合时，灯灭，反之，当开关断开时，反之，当开关断开时，灯亮。灯亮。 事件（如灯亮）发生的条件（如开关事件（如灯亮）发生的条件（如开关闭合）具备时，事件（如灯亮）不会发生，闭合）具备时，事件（如灯亮）不会发生，反之，事件发

25、生的条件不具备时，事件发反之，事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称之为生。这种因果关系称之为非逻辑非逻辑关系。关系。3 3、 非运算非运算非逻辑非逻辑真值表真值表输入输入输出输出AL1001L A=非非逻辑表达式逻辑表达式非门非门逻辑符号逻辑符号LA111 1LA B00 000 101 0有有 0 0 出出0 0；全全 1 1 出出 1 1 00 011 1LA B10 111 0有有 1 1 出出1 1；全全 0 0 出出 0 0 AL0110进进 1 1 出出0 0；进进 0 0 出出 1 1 与与逻辑真值逻辑真值表及逻辑规律表及逻辑规律 或或逻辑真值逻辑真值表及逻辑规律表及

26、逻辑规律 非非逻辑真值逻辑真值表及逻辑规律表及逻辑规律与、或、非运算小结与、或、非运算小结1 1、逻辑函数、逻辑函数 一般，人们称决定事物的因素为一般，人们称决定事物的因素为逻辑自变量逻辑自变量，而称事物的结果为而称事物的结果为逻辑因变量逻辑因变量，被概括的以某种，被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑因变量的函数关系形式表达的逻辑自变量和逻辑因变量的函数关系称为称为逻辑函数逻辑函数。1.2.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 逻辑自变量（输入逻辑变量）和逻辑因变量逻辑自变量（输入逻辑变量）和逻辑因变量（输出逻辑变量）统称为（输出逻辑变量）统称为逻辑变量逻辑变量。 逻辑变量用字母表

27、示，其取值只有两个，逻辑变量用字母表示，其取值只有两个，1 1和和0 0。这里。这里1 1和和0 0不表示数量的大小，只表示变量不表示数量的大小，只表示变量两种对立的状态，比如真和假、是和非、有和无、两种对立的状态，比如真和假、是和非、有和无、高和低、开和关等。高和低、开和关等。 如果对应于输入逻辑变量如果对应于输入逻辑变量A A、B B、C C、的每的每一组确定值，输出逻辑变量一组确定值，输出逻辑变量Y Y 都有唯一确定的都有唯一确定的值与之对应，则值与之对应，则Y Y是是A A、B B、C C、的的逻辑函数逻辑函数。记为记为 Y=fY=f（A A、B B、C C、）。）。逻辑变量、逻辑函数

28、逻辑变量、逻辑函数 逻辑函数表达式逻辑函数表达式是实际逻辑问题的抽象表达，是是实际逻辑问题的抽象表达，是由逻辑变量和逻辑运算符号连接起来所构成的式子。由逻辑变量和逻辑运算符号连接起来所构成的式子。 与、或、非与、或、非逻辑的运算符分别为：逻辑的运算符分别为：“”、“+ +”、字母头上加、字母头上加一横一横。 在逻辑表达式中，等式右边的字母是在逻辑表达式中，等式右边的字母是输入逻辑变输入逻辑变量量，等式左边的字母是，等式左边的字母是输出逻辑变量输出逻辑变量。 逻辑函数的表示形式有逻辑函数的表示形式有逻辑函数表达式逻辑函数表达式、真值表真值表、逻辑图逻辑图和和卡诺图卡诺图，它们之间可以互相转换，它

29、们之间可以互相转换 。 与与逻辑表达式逻辑表达式 Y = A B 或或 Y = AB或或逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B 非非逻辑表达式逻辑表达式Y = A 2、逻辑函数的表示方法、逻辑函数的表示方法（1）逻辑函数表达式）逻辑函数表达式 对于输入变量的不同取值（对于输入变量的不同取值（n n个输入变量个输入变量的函数有的函数有2 2n n个取值组合），输出变量均有与其个取值组合），输出变量均有与其相对应的逻辑值。把输入、输出变量所有相互相对应的逻辑值。把输入、输出变量所有相互对应的逻辑值（状态）列在一个表格内，这种对应的逻辑值（状态）列在一个表格内，这种表格称为逻辑函数真值表，简称表格

30、称为逻辑函数真值表，简称真值表真值表。 真值表中，输入变量按二进制数序列顺序真值表中，输入变量按二进制数序列顺序由上而下排列，输出变量是实际逻辑事件含义由上而下排列，输出变量是实际逻辑事件含义（因果关系）的逻辑值。（因果关系）的逻辑值。2、真值表、真值表 数字电路中常采用一些符号图形表示常用数字电路中常采用一些符号图形表示常用的逻辑关系，这些符号图形叫做逻辑关系的的逻辑关系，这些符号图形叫做逻辑关系的逻逻辑符号辑符号。与与、或或、非非三种基本逻辑关系的逻辑三种基本逻辑关系的逻辑符号，如图所示。符号，如图所示。 与门与门 AND gateAND gate 或门或门 OR gate OR gate

31、 非门非门 NOT gateNOT gate 又称又称“反相器反相器” ” 3、逻辑图、逻辑图 人们在研究实际问题时发现，事物的各个因人们在研究实际问题时发现，事物的各个因素之间的逻辑关系往往要比单一的与、或、非复素之间的逻辑关系往往要比单一的与、或、非复杂得多。不过它们都可以用与、或、非的组合来杂得多。不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数实现。含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为称为复合逻辑函数复合逻辑函数。 逻辑运算的逻辑运算的优先级优先级从低到高依次为：小括号、从低到高依次为：小括号、非、或、与。非、或、与。逻辑图逻辑图：逻辑图是逻辑函数的表示

32、形式之一。：逻辑图是逻辑函数的表示形式之一。若已知逻辑函数的逻辑表达式，把逻辑表达式若已知逻辑函数的逻辑表达式，把逻辑表达式中的各逻辑运算用相应门电路的逻辑符号代替，中的各逻辑运算用相应门电路的逻辑符号代替，就可画出和逻辑表达式相对应的逻辑图。就可画出和逻辑表达式相对应的逻辑图。补充：复合逻辑补充：复合逻辑常用复合逻辑运算常用复合逻辑运算 与非与非逻辑逻辑(NAND)(NAND)先与后非先与后非若有若有 0 0出出 1 1，若全，若全 1 1 出出 0 010 001 1YA B10 111 001 1或非逻辑或非逻辑 ( NOR )( NOR )先或后非先或后非若有若有 1 1出出 0 0，

33、若全，若全 0 0 出出 1 110 0YA B00 101 0与或非逻辑与或非逻辑 (AND OR INVERT)(AND OR INVERT)先与后或再先与后或再非非异或逻辑异或逻辑 (Exclusive (Exclusive OR)OR)若相异出若相异出1 1若相同出若相同出0 0同或逻辑同或逻辑 (Exclusive - NOR(Exclusive - NOR，即异或非，即异或非) )若相同出若相同出 1若相异出若相异出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意注意：异或和同或互为反函数，即：异或和同或互为反函数，即常用复合逻辑运算的常用复

34、合逻辑运算的逻辑符号逻辑符号 与非与非逻辑逻辑或非逻辑或非逻辑与或非逻辑与或非逻辑 异或逻辑异或逻辑 同或逻辑同或逻辑复合逻辑函数小结复合逻辑函数小结 名称名称与非门与非门 或非门或非门 与或非门与或非门 异或门异或门同或门同或门逻辑符号逻辑符号逻辑逻辑表达式表达式&AYBAYB1=1AYBY= 1ABAYB&1CDY AB=Y A B= + Y AB CD= +Y AB AB= +A B= BAABY+=A B 逻辑代数逻辑代数是逻辑学家乔治是逻辑学家乔治布尔创立的，布尔创立的，又称为布尔代数。又称为布尔代数。 逻辑代数逻辑代数与普通代数相似之处在于它们都与普通代数相似之处在

35、于它们都是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。的关系。 不同不同的是，逻辑代数描述的是逻辑关系，的是，逻辑代数描述的是逻辑关系，逻辑函数表达式中的逻辑变量的取值和逻辑函逻辑函数表达式中的逻辑变量的取值和逻辑函数值都只有两个值，即数值都只有两个值，即0 0和和1 1。这两个值仅表示。这两个值仅表示两种相反的状态，如开关的闭合与断开；电位两种相反的状态，如开关的闭合与断开；电位的高低；真与假等。因此，逻辑代数有其自身的高低；真与假等。因此，逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则。独立的规律和运算法则。1.3 逻辑代数的基本规律和规则逻辑代数的基本规律

36、和规则1、 公理公理 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A 1.3.1 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律2、 基本定律基本定律 交换律交换律 A + B = B + A A B = B A结合律结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！普通代数没有！ 吸收律吸收律 A + AB = A A + AB = A (1 + B) = ACAABBCDCAABCAAB

37、BCCAAB+=+=+冗余律冗余律扩展：扩展：001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B推广公式：推广公式：摩根定律摩根定律 ( (又称反演律又称反演律) ) 1.1. 代入规则代入规则 从而摩根定理得到扩展从而摩根定理得到扩展 将逻辑等式两边的某一变量均将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。成立。ABAB=+摩根定理的两变量形式为摩根定理的两变量形式为 B均用均用BC代替代替ABC A B C= + +1.3.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则变换时注意：变换

38、时注意：保持变换前的运算优先顺序不变，必要时加保持变换前的运算优先顺序不变，必要时加括号表明运算的先后顺序。括号表明运算的先后顺序。不属于单个变量上的反号应保留不变。不属于单个变量上的反号应保留不变。2.2.反演规则反演规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y Y，将，将“”换成换成“+”+”，“+”+”换成换成“”，“0”0”换成换成“1”1”，“1”1”换成换成“0”0”，原变量换成反变量，反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。YCDCBABAZ+=11() () ()ZA BA B CCD=+DEBCAZ=2EDC

39、BAZ+=2【例例1.2.11.2.1】 求下列函数的反函数求下列函数的反函数3. 对偶规则对偶规则 对任一个逻辑函数式对任一个逻辑函数式 Y Y，将，将“”换成换成“+”+”，“+”+”换成换成“”，“0”0”换成换成“1”1”，“1”1”换成换成“0”0”，则得，则得到原逻辑函数式的对偶式到原逻辑函数式的对偶式 Y Y 。 对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。 ()ZA BC=+()ZABC=+YABC=+()YA BC=+(0)HABA C=+()(1)HAB AC=+PABC=+PABC=【例例】 求下列函数的对偶函数求下列函

40、数的对偶函数（1）公理公理 1=0;0=1A 0若，A 1,若A 0=则则则则A 1=000111=+=+；1=1+0=0+1 0=10=01;1=1+1 0=00;逻辑代数小结逻辑代数小结（2 2）基本定律）基本定律定律名称定律名称逻辑代数表达式逻辑代数表达式交换律交换律结合律结合律分配律分配律0 0、 1 1律律互补律互补律重叠律重叠律反演律（德反演律（德. .摩根定律）摩根定律）还原律还原律吸收律吸收律还原律还原律冗余律冗余律AB=BAA+B=B+AA(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+CA(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1 A=A0 A=00+A=A1+

41、A=1AA=AA+A=AA+AB=AA+A=1AB=A + BA A=A+AB=A+BA(A+B)=AA(A+B)=ABAB+AB=A(A+B)(A+B)=AAB+AC+BC=AB+AC0=BA BA=+（3 3） 3 3个规则个规则 代入规则：代入规则： 在任何一个逻辑等式中，如果将等式在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的所有同一变量都以一个相两边出现的所有同一变量都以一个相同的逻辑函数代入，则等式仍然成立。同的逻辑函数代入，则等式仍然成立。例：例：= +AB A BA B C= + +BCBCBCAABC+= 对偶规则对偶规则“对偶式对偶式” ” 对于一个逻辑表达式对于一个逻辑表达式

42、Z,Z,将将Z中中：“” “”“” “”“1” “0”“0” “1”得到一个新的逻辑表达式得到一个新的逻辑表达式ZZ， 则则Z Z与与ZZ互为互为“对偶式对偶式”。“对偶规则对偶规则”：当某等式成立时，其等式两边的对偶式也成立。当某等式成立时，其等式两边的对偶式也成立。例：例：1()FA BC=+2,FABAC=+12FF=1()FABC=+2()()FAB AC=+12FF=则：则： 反演规则：反演规则：对于一个逻辑表达式对于一个逻辑表达式Z Z，将将Z Z中：中：“” “”“” “”“1” “0”“0” “1”“原变量原变量” ” “ “反变量反变量”“反变量反变量” ” “ “原变量原变

43、量”得到一个新的逻辑表达式得到一个新的逻辑表达式Z例：例：Z=AB CD+ABC+则：则：Z=BA+DC +C+) (BA+主要要求：主要要求： 1.41.4逻辑函数的化简逻辑函数的化简了解逻辑函数的了解逻辑函数的卡诺图化简法卡诺图化简法。理解理解最简与最简与 - - 或式或式的标准。的标准。 了解逻辑函数的了解逻辑函数的公式化简法公式化简法。 逻辑式有多种形式，采用何种形式视逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。需要而定。各种形式间可以相互变换。 1、逻辑函数的变换、逻辑函数的变换 【例如例如】 与或表达式与或表达式 或与表达式或与表达式 与非与非 - - 与非表

44、达式与非表达式 或非或非 - - 或非表达式或非表达式 与或非表达式与或非表达式 YAB AC=+()()A B A C=+AB AC=A BAC=+A B A C= + + +逻逻辑辑函函数数相相等等设有两个逻辑函数，设有两个逻辑函数，Y Y1 1= = f f（A A、B B、C C、），），Y Y2 2= =g g（A A、B B、C C、），它们的变量），它们的变量都是都是A A、B B、C C、，如果对应于，如果对应于A A、B B、C C、的的任何一组变量取值，任何一组变量取值，Y Y1 1和和Y Y2 2的值都相同，则称的值都相同，则称Y Y1 1和和Y Y2 2是相等的，记为是

45、相等的，记为Y Y1 1= =Y Y2 2。 显然，若两个逻辑函数相等，那么它们显然，若两个逻辑函数相等，那么它们的真值表一定相同；若两个函数的真值表完的真值表一定相同；若两个函数的真值表完全相同，那么这两个函数一定相等。这个概全相同，那么这两个函数一定相等。这个概念为逻辑函数的化简提供了基础。念为逻辑函数的化简提供了基础。最简最简与或与或表达式的表达式的标准标准:逻辑函数化简的逻辑函数化简的意义意义：逻辑表达式越简单，：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，实现它的电路越简单，电路电路工作越工作越稳定可靠稳定可靠。乘积乘积项最少项最少、并且每个乘积、并且每个乘积项中的变量项中的变量也也最少最

46、少CABACBCABADCBCBECACABAEBAY+=+=+=最简与或表达式最简与或表达式用与门个数最少用与门个数最少与门的输入端数最少与门的输入端数最少 运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。行化简。 并项法并项法 运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两项合并为一项，并消去一个变量。 ABAAB=+YABCABCBC=+BCBC=+()B CCB=+=1.4.1 1.4.1 公式化简法公式化简法吸收法吸收法 利用利用A A+ +ABAB = =A A ，消去多余项。，消去多余项。()YAB ABCD E FAB=+=YABACBC

47、=+()ABAB C=+ABABC=+ABC=+利用利用 ，消去多余项。，消去多余项。 AABAB+=+配项法配项法 YABACBC=+()ABACBC AA=+ABABCACABC=+ABAC=+利用利用 ，为某一项配上所缺的，为某一项配上所缺的变量，以便用其他方法进行化简变量，以便用其他方法进行化简 。)( BBAA+=利用利用 A+A=AA+A=A，为某项配上其所能合并的项，为某项配上其所能合并的项 。 YABCABCABCABC=+() () ()ABC ABCABC ABCABC ABC=+AB AC BC=+消去冗余项法消去冗余项法 利用利用 ，将冗余项，将冗余项BCBC消去。消去

48、。ABAC BCABAC+=+YAB BCAC=+ABBC=+A+ A =1利用公式利用公式，将两项合并成一项，例如：，将两项合并成一项，例如：(2) (2) 吸收法吸收法利用公式利用公式A+AB=A和和ABACBCABAC+=+将多余项吸收，例如，将多余项吸收，例如，ABBCACDABBCACACDABBCACABBC+=+=+=+（1 1）并项法并项法ABCABCAB CCABA BCBCA BCB CA BC+=+=+=+BC=A公式化简法小结公式化简法小结利用公式利用公式+= +A AB A B，消去多余因子，例如，消去多余因子，例如，()ABACBCABC AB+=+ABABCABC

49、=+=+（4 4）配项法配项法利用公式利用公式()AA BB=+使一项变两项，然后在与其他项合并化简，例如，使一项变两项，然后在与其他项合并化简，例如，()ABACBCABACBC AA+=+ABACABCACBABAC=+=+实际化简时，一般应综合上述几种方法，灵活应用进行化简。实际化简时，一般应综合上述几种方法，灵活应用进行化简。（3 3）消去法消去法1.4.2 1.4.2 卡诺图化简法卡诺图化简法ABC一、最小项和最小项表达式一、最小项和最小项表达式三变量函数的所有最小项真值表三变量函数的所有最小项真值表变量变量全部最小项全部最小项A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0

50、 01 0 11 1 01 1 10m1m2m3m4m5m6m7mABCABCABCABCABC1000000001000000001000000001000000001000000001000000001100000000ABCABC逻辑函数的最小项逻辑函数的最小项 如果一个函数的某个乘积项包含了函数的如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个为该函数的一个标准乘积项标准乘积项，又叫，又叫最小项最小项。根据最小项的定义，一个变

51、量根据最小项的定义，一个变量A A 可以组成可以组成2 2个最小项个最小项 : : ；两个变量；两个变量A A、B B 可组成可组成4 4个个最小项：最小项： ；三个变量；三个变量A A、B B、C C 可组成可组成8 8个最小项个最小项: : 一般地，一般地，n n个变量个变量可组成可组成2 2n n个最小项个最小项。AA , ABBABABA, , , CBACBA , ABCCABCBACBABCACBA, , , , , 为了叙述和书写方便，通常用符号来表示最为了叙述和书写方便，通常用符号来表示最小项。其中下标小项。其中下标i i是这样确定的：把最小项中的是这样确定的：把最小项中的原变

52、量记为原变量记为1 1，反变量记为，反变量记为0 0，当变量顺序确定，当变量顺序确定的后，可以按顺序排列成一个二进制数，与这的后，可以按顺序排列成一个二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标项的下标i i。如：。如： 23,mABC mABC=67,mABC mABC=按照这个原则，三变量的按照这个原则，三变量的8 8个最小项可分别表示为：个最小项可分别表示为：541015 , 4100ABCmmAB C, , 10CBAmCBAm=, , 54CBAmCBAm= 如果一个逻辑函数的某两个最小项只如果一个逻辑函数的某两个最小项只有一

53、个变量不同，其余变量均相同，则称有一个变量不同，其余变量均相同，则称这样的两个最小项为这样的两个最小项为相邻最小项相邻最小项。如：。如：两个相邻最小项可以合并成一项并消去一个变量如：两个相邻最小项可以合并成一项并消去一个变量如： , CDCDABCABCABAB和和()ABCABCAA BCBC+=+=()ABCDABCDABC DDABC+=+=逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 每个逻辑函数都可以化成最小每个逻辑函数都可以化成最小项之和的形式，这种表达形式称为项之和的形式，这种表达形式称为函数的最小项表达式。逻辑函数的函数的最小项表达式。逻辑函数的真值表和最小项表达式都是唯一的，

54、真值表和最小项表达式都是唯一的，由真值表可以很容易地写出函数的由真值表可以很容易地写出函数的最小项表达式。最小项表达式。 Y Y 的真值表如表所示。逻辑函数的真值的真值表如表所示。逻辑函数的真值表和最小项表达式都是唯一的，且是一一对表和最小项表达式都是唯一的，且是一一对应的，所以由真值表也可以很容易地写出函应的，所以由真值表也可以很容易地写出函数的最小项表达式。数的最小项表达式。写出逻辑函数写出逻辑函数 的最小项表达式。的最小项表达式。 ( , ,)Y A B CABBC=+( , ,)()()Y A B CABBCAB CCBC AAABCABCABCA BCA BCABCABCABC=+=

55、+=+=+1235(1,2,3,5)Ymmmmm=+=用最小项编号来代表最小项，用最小项编号来代表最小项，Y Y 的最小项表达式可以写为：的最小项表达式可以写为：ABCY最小最小项项0000m00011m10101m20111m31000m41011m51100m61110m7 写出函数写出函数( , ,)Z A B CABAC=+的最小项表达式。的最小项表达式。解解: :( , , )Z A B CABAC=+1,3,6,7AB CCAC BBABCABCABCA BCm=+=+=二、卡诺图二、卡诺图 将逻辑函数真值表中的最小项排列将逻辑函数真值表中的最小项排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向

56、和纵成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按方向的逻辑变量的取值按格雷码格雷码的顺序的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。排列，这样构成的图形就是卡诺图。 以格雷码排列以以格雷码排列以保证相邻性保证相邻性二变量卡诺图二变量卡诺图AB0101ABABABAB三变量卡诺图三变量卡诺图ABC0100 0110110m1m2m3m4m5m6m7m四变量卡诺图四变量卡诺图ABCD00011110000111108m9m10m11m12m13m14m15m0m1m2m3m4m5m6m7m特点：特点：变量取值次序：变量取值次序：循环码循环码位置上反映：位置上反映：逻辑相邻性逻辑相邻性卡诺图的

57、特点是：任意两个相邻的最小项在图中几何位置和对称卡诺图的特点是：任意两个相邻的最小项在图中几何位置和对称位置上都是相邻的，即卡诺图中最左列的最小项与最右列的相应位置上都是相邻的，即卡诺图中最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的，最上面一行的最小项与最下面一行的相应最最小项也是相邻的，最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的。小项也是相邻的。如何写出卡诺图方格对应的最小项？如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小项如何找相应小方格？已知最小项如何找相应小方格？ 例如例如 原变量取原变量取 1 1，反变量取，反变量取 0 0。DCBA1001 ？ABCD0001111000 0

58、1 11 10 ABCD DCBA 逻辑函数在卡诺图上的表示逻辑函数在卡诺图上的表示1.1.如果已知某逻辑函数的真值表或者最小项表达式，如果已知某逻辑函数的真值表或者最小项表达式，那么只要在卡诺图上将该逻辑函数对应的最小项相对那么只要在卡诺图上将该逻辑函数对应的最小项相对应的方格内填入应的方格内填入1 1，其余的方格内填入，其余的方格内填入0 0，即得到该函，即得到该函数的卡诺图。数的卡诺图。 用卡诺图表示下表所示的逻辑函数。用卡诺图表示下表所示的逻辑函数。 A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1

59、1 1在卡诺图中对应在卡诺图中对应于于ABC ABC 取值分别取值分别为为000000、011011、100100和和110110的方格的方格内填入内填入1 1，其余，其余填入填入0 0，即得到，即得到如图所示的卡诺如图所示的卡诺图。图。 m0m3m4m6用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数：Y（A，B，C，D）=m（1，3，4，6，7，11，14，15） 在与最小项在与最小项m1、m3、m4、m6、m7、m11、m14、m15相对应的方相对应的方格内填入格内填入1 1，其，其余填入余填入0 0，即得，即得该函数的卡诺图该函数的卡诺图 2.2.如果已知逻辑函数的一般逻辑表达式，可先将该函

60、数如果已知逻辑函数的一般逻辑表达式，可先将该函数变换为变换为与或与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后找出函数的每一个乘积项所包含的最小项（该乘积项就后找出函数的每一个乘积项所包含的最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子），再在与这些最小项对应的方格是这些最小项的公因子），再在与这些最小项对应的方格内填入内填入1 1，其余填入，其余填入0 0，即得到该函数的卡诺图。，即得到该函数的卡诺图。 用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数： ( ,)()()Y A B C DACBD=+) ( BDDBDBDBCACA+=5410 mmmmDCBADCBADCBADCBA+