2数学基础知识与典型例题复习-第二章函数

1、数学基础知识与典型例题复习第二章函数映射映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：AB，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。例1.若，,则到的映射有 个，到的映射有 个；若，, 则到的一一映射有 个。例2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是( )（A）2 （B）3（C）4 （D）5函数1.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x

2、)|xA为值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3. 函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。 例3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。例4. 求函数的定义域.

3、例5. 若函数的定义域为-1,1，求函数的定义域。函数4.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法（反解法）；换元法（代数换元法）；不等式法；单调函数法.注:求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域为R;二次函数 当时值域是,当时值域是；反比例函数的值域为； 指数函数的值域为；对数函数的值域为R；函数的值域为-1，1；函数,的值域为R；例6.已知 (x¹

4、0), 求.例7. 求函数的值域.例8. 下列函数中值域为的是( ) (A) (B) (C) (D) 单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.例9.讨论函数的单调性。单调性单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：定义法（作差比较和作商比较）；图象法；单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；复合函数单调性判断法则;导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的

5、运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。例10. 函数在定义域上的单调性为( )（A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数;（C）在上是减函数，在上是减函数;（D）增函数例11.已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f g (x)在 R上也是增函数。奇偶性1.偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.满足，或，若时，.2.奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.满足，或，若时，

6、.注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)0）例12.判断下列函数的奇偶性：,反函数1.反函数定义：只有满足，函数才有反函数. 例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为. 2.求反函数的步骤:将看成关于的方程,解出，若有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域（即的值域）。3.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称.注：一般地，的反函数. 是先的反函数，在左移三个单位.是先左移三个单位，在的反函数.例13.求函数 （-1 x < 0）的反函数例14.已知，函数y=g(x)图

7、象与的图象关于直线y= x对称，求g(11)的值。反函数4.单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. 一般地，如果函数有反函数，且，那么. 这就是说点（）在函数图象上，那么点（）在函数的图象上.注:1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函

8、数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则 f-1f(x)=x,(xÎA)ff-1(x)=x,(xÎC)例15. 若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点( )(A) (B)(C) (D)例16. 设，则_.例17. 函数与互为反函数的充要条件是_.例18. 若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=_，=_指数函数与对数函数1.指数函数：（），定义域R，值域为（）.当，指数函数：在定义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.例19.函数(，且)的图象必经过点( )(A)(0

9、，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)例20. 指数函数与对数函数2.对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.对数运算：例如：中x0而中xR）.（）与互为反函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.例21.设 且, 求证:;比较的大小.例22.已知 ， ,试比较的大小。例23.求函数的单调减区间，并用单调定义给予证明。例24. 求下列函数的定义域、值域：; 图象变换y = f（x）y =f（x）y =f（x）y=f(x)y=f(|x|),把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称y=f(x)y=

10、|f(x)|把轴右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称。（注意：它是一个偶函数）伸缩变换：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)具体参照三角函数的图象变换。注:一个重要结论：若f(ax)f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；例25.讨论函数的图象与的图象的关系。一次函数与二次函数1.一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；2.一元二次函数：一般式:；对称轴方程是；顶点为；两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；一元二次函数的单调性： 当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；二次函数求最值

11、问题：首先要采用配方法，化为的形式，()、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；()若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 一次函数与二次函数二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：根的情况等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件a·f(k)<0另外:二次方程f(x)=0

12、的一根小于p，另一根大于q(p<q)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或（检验）或（检验）。若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。特别指出,分段函数也是重要的函数模型。一次函数与二次函数例26. 当0x1时，函数y=ax+a1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ）(A)a< (B)a>1 (C)a<或a>1 (D)<a<1例27.已知函数在上递增，则的取值范围是(

13、 )（A） （B）（C） （D）例28. 已知二次函数的图像开口向上，且，则实数取值范围是( )(A) (B) (C) (D) 例29.设函数，则方程的解为 .数学基础知识与典型例题(第二章函数)答案例1. , ,6; 例2. C例3.,对于实际问题，在求出函数解析式后，此时的定义域要根据实际意义来确定。例4. 解：解析式有意义的充要条件是：函数的定义域为 x|例5. 解：要使函数有意义, 必须:的定义域是.例6.解一: 令, 则 , 解二：令 则 例7. 解：设 则 t0x=1-t2代入得 y=f (t )=2×(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4t0y4所

14、求值域为例8. B例9. 解：定义域 x|-1x1,在-1,1上任取x1,x2且x1<x2则,-= ,另外，恒有 若-1x1<x20 则 x1+x2<0 则-,< 若x1<x21 则 x1+x2>0 则-,> 在-1，0上f(x)为增函数，在0，1上为减函数。例10. C例11. 证：任取 且 x1 < x2 g (x) 在R上是增函数,g (x1) <g (x2),又f (x) 在R上是增函数,f g (x1) < f g (x2)而且 x1 < x2 , f g (x) 在R上是增函数同理可以推广：若 f (x)、g (x)

15、 均是R上的减函数，则 f g (x) 是R上的增函数若 f (x).g (x) 是R上的一增、一减函数，则 f g (x) 是R上的减函数例12解：定义域：,关于原点非对称区间此函数为非奇非偶函数.解：定义域：定义域为 x =±1,f (±1) = 0, 此函数为即奇且偶函数.解：显然定义域关于原点对称,当 x>0时, -x<0 有f (-x) = x2-x = -(x-x2);当 x<0时, -x>0 有f (-x) = -x-x2 = -(x2+x)此函数为奇函数.例13.解： -1x < 0,0 < x2 1 ,01 - x2 &

16、lt; 1, 0 < 1 ,0 < y 1由：解得： ( -1x < 0 )(-1 x < 0)的反函数是：( 0 < x 1 )例14.解:利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。的反函数为即 g(11)=f(11)-1=评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f-1(b).例15. B例16. 1 例17. m=2,n=例18. =，=解：由已知在反函数的图象上，则必在原函数的图象上所以原函数经过点和则，所以，解得例19.D例20.解：原式 例21.

17、证明：设, ,取对数得:, 又,例22. 解：当或 时 当时 当或 时 综上所述：时；时;例23. 解：定义域 ,单调减区间是.设 则 ,=,又, 又底数,函数在上是减函数.例24解:要使函数有意义，则须：即：,从而 ,定义域为-1,1，值域为要使函数有意义，则须：由,在此区间内 , 从而 即：值域为,定义域为-1,5，值域为例25.解:可由的图象向左平移两个单位得的图象，再向上平移三个单位得 的图象。例26.D例27. D例28. D例29. x=0，2或2、当你承认“自己有缺点”时，你就“疯狂地改正它”吧！“我的缺点越多，我成为伟人的可能性就越大！赶紧开始数一数你的缺点吧！” &

18、#160;  是什么诞生了一个伟大的人物？我认为是“自卑”诞生了一个伟大的人物！一个平常人在“战胜自卑”的过程中，获得了“炼狱”般的熬炼，从而炼出了自己非凡的“火眼金晴”。    姚明，被国际传媒称为“中国巨人时代的代言人”，他“战胜自卑”的过程，值得中国人自豪，值得中国人反省怎样才能让自己变成巨人？怎样才能让自己成为国家的骄傲？    姚明自幼体弱多病，得过肾炎，左耳失聪，反应迟钝，两脚是不适合跑跳的“刀削脚（平脚）”,这些都是打篮球的致命弱点和缺陷。   

19、60;但他父亲问姚明：“告诉我，你喜欢篮球吗？”    “喜欢啊，我喜欢球场的感觉，喜欢球迷的呼喊”    他父亲说：“够了，儿子，只要喜欢，你就安心练球吧，你一定会比别人有出息的!”    姚明从此开始了常人难以想像的艰苦训练，虚心地从别人的嘲笑中总结经验，扬长避短，先入选中国篮球明星队，22岁入选了全球最有影响力的NBA明星联队。    要知道一代篮球巨星是怎样炼成的，我跟大家分享两个最令我佩服的情景：  

20、60; 第一个：他以队友为超越的目标，从最弱变成了最强姚明刚进NBA时,他被称为最瘦弱的“杆”，因为他只能推45磅的哑铃，而他的队友可以推100磅，5年后，姚明推哑铃的重量超过了120磅。由最弱变成了最强，只因他5年来都在别人训练结束后，多加练几个小时的力量训练，并且从不间断。    第二个：他反复审视自己的错误，疯狂地调整缺点每一次比赛和训练，姚明的教练都会录像，把他所有的失误镜头都剪下来，录到一张光盘里。姚明每次都会仔细反复看，记自己犯下的每一个细小错误，然后一次又一次在训练中调整，直到把正确的动作转变成自己身体的一部分，转化成自己的本能，于是，姚明取得了令人不可思议的进步。    一个人的缺陷，有时就是上苍让你成功的信息和暗示。    一个人的弱点，可以成为你消沉胆怯的原因，也可以成为你一生中最大的激励因素。弱点的背后隐藏着，而且是“深深地”隐藏着巨大的潜力，一旦被改正，你的弱点就成为震撼世界的优点！