数值分析第一章误差2015

1、1数数 值值 分分 析析林甲富林甲富2教材教材丁丽娟丁丽娟, 程杞元程杞元,数值计算方法数值计算方法, 高等教育高等教育出版社出版社, 2011年年.3第一章第一章 数值计算中的误差数值计算中的误差1.2 误差的基本概念误差的基本概念 1.3 数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播1.4 数值计算中应注意的问题数值计算中应注意的问题 1.1 数值计算的内容与特点数值计算的内容与特点 4 数值分析是做什么用的？数值分析是做什么用的？数值数值分析分析输入复杂问题或运算输入复杂问题或运算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 计算机计算机近似解近似解1.1 数值计算的内容与特点

2、数值计算的内容与特点 5 研究对象研究对象 那些在理论上有解而又无法手工计算的那些在理论上有解而又无法手工计算的数学问题数学问题 例例 解解300阶的线性方程组阶的线性方程组 求求6阶矩阵的全部特征值阶矩阵的全部特征值6主要内容主要内容 数值代数数值代数近似求解线性方程组近似求解线性方程组 (直接解法直接解法, 迭代解法迭代解法)矩阵特征值的计算矩阵特征值的计算 数值逼近：数值逼近： 插值法插值法, 函数逼近函数逼近 数值微分与数值积分数值微分与数值积分 微分方程近似求解微分方程近似求解: 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 非线性方程求解非线性方程求解 71.2 误差的基本概念误差的基本概

3、念 误差按来源可分为：误差按来源可分为： 模型误差模型误差 观测误差观测误差 截断误差截断误差 舍入误差舍入误差 误差：精确解与近似解之间的差误差：精确解与近似解之间的差8 模型误差模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到数学模型通常是由实际问题抽象得到的的, 一般带有误差一般带有误差, 这种误差称为这种误差称为模型误差模型误差. 观测误差观测误差 数学模型中包含的一些参数通常是通数学模型中包含的一些参数通常是通过观测和实验得到的过观测和实验得到的, 难免带有误差难免带有误差, 这种误差称为这种误差称为观测误差观测误差. 截断误差截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常求解数学模型所用的数值

4、方法通常是一种近似方法是一种近似方法, 这种因方法产生的误差称为这种因方法产生的误差称为截截断误差断误差或或方法误差方法误差.9 543251413121)1ln(xxxxxx实际计算时只能截取有限项代数和计算实际计算时只能截取有限项代数和计算, 如取前如取前5项有项有:5141312112ln 这里产生误差这里产生误差 (记作记作R5 )截断误差截断误差 8171615R例如例如, 利用利用 ln(x+1) 的的Taylor公式计算公式计算 ln2,10 舍入误差舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行由于计算机只能对有限位数进行, e原则保留有限位原则保留有限位, 这时产生的误差称为这时产生

5、的误差称为舍入误差舍入误差。, 231等都要按舍入等都要按舍入运算运算, 在运算中像在运算中像在数值分析中在数值分析中, 均假定数学模型是准确的均假定数学模型是准确的, 因而不因而不考虑模型误差和观测误差考虑模型误差和观测误差, 只讨论只讨论截断误差截断误差和和舍入舍入误差误差对计算结果的影响对计算结果的影响.11 设设x* 是准确值是准确值x 的一个近似值的一个近似值, 记记e=x x*称称 e为近似值为近似值 x* 的的绝对误差绝对误差, 简称误差简称误差.绝对误差一般很难准确计算绝对误差一般很难准确计算, 但可以估计上界但可以估计上界. 绝对误差绝对误差则称则称 为近似值为近似值 x*

6、的的绝对误差限绝对误差限, 简称误差限简称误差限. 若若 满足满足 |e1.2.1 绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差12例例 用毫米刻度的米尺测量一长度用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度如读出的长度是是 x*=765 mm, 由于误差限是由于误差限是 0.5 mm, 故准确值故准确值.mm5 .765,mm5 .764 x 精确值精确值x , 近似值近似值 x* 和误差限和误差限 之间满足：之间满足：通常记为通常记为 *xxx *xx 13 绝对误差有时并不能完全地反映近似值的好坏绝对误差有时并不能完全地反映近似值的好坏, 如测量如测量 100 m 和和 10 m 两个长度两个

7、长度, 若它们的绝对误若它们的绝对误差都是差都是 1 cm, 显然前者的测量结果比后者的准确显然前者的测量结果比后者的准确. 因此因此, 决定一个量的近似值的精确度决定一个量的近似值的精确度, 除了要除了要看看绝对误差绝对误差外外, 还必须考虑还必须考虑该量本身的大小该量本身的大小.14称称 er 为近似值为近似值 x* 的的相对误差相对误差. 记记,*xxxxeer 由于由于 x 未知未知, 实际使用时总是将实际使用时总是将 x* 的相对误差取为的相对误差取为*xxxxeer .|rre 相对误差相对误差 称为近似值称为近似值x*的的相对误差限相对误差限. |*| xr 15例例 设设 x*

8、=1.24是由精确值是由精确值 x 经过四舍五入得到的经过四舍五入得到的近似值近似值, 求求x*的绝对误差限和相对误差限的绝对误差限和相对误差限.由已知可得由已知可得:所以所以 =0.005,245. 1235. 1 x%.4 . 024. 1005. 0 r 解解 一般地一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似凡是由准确值经过四舍五入得到的近似值值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.16有有 位有效数字，精确到小数点后第位有效数字，精确到小数点后第 位位* 若近似值若近似值 x*满足满足 则称则称 x*准准确到小数点后第确到小数点后第n位位.

9、 并把从第一个非零数字到这并把从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为一位的所有数字均称为有效数字有效数字.,1021|*|nxx 1415.3*.;8979321415926535.3 例例：问：问： 有几位有效数字？有几位有效数字？* 31050* .|解：解：431.2.2 有效数字有效数字17数数x*总可以写成如下形式总可以写成如下形式.10. 0*21mnaaax x* 作为作为x的近似值的近似值, 具有具有n位有效数字当且仅当位有效数字当且仅当nmxx 1021*其中其中m是整数是整数, ai是是0到到9中的一个数字中的一个数字,. 01 a由此可见由此可见, 近似值的有效数字越多

10、近似值的有效数字越多, 其绝对误差越小其绝对误差越小. 有效数字的另一等价定义有效数字的另一等价定义18故取故取 n=6, 即取即取 6 位有效数字位有效数字. 此时此时 x*=1.41421.解解则近似值则近似值x*可写为可写为由于由于 ,414. 12 ,10. 0*121 naaax. 011 a51101021*2 nx令令例例 为了使为了使 的近似值的绝对误差不大于的近似值的绝对误差不大于105, 问应取几位有效数字问应取几位有效数字?2 x19 相对误差限与有效数字之间的关系相对误差限与有效数字之间的关系.111211021.021010.01050 nnmnnmra.aaa.a.

11、x* 有效数字有效数字 相对误差限相对误差限已知已知 x* = 0.a1a2an10m有有 n 位位有效数字有效数字, 则其则其相对误差限相对误差限为为20nmmnmnr.aaa.aaxxx 105010)1()1(21010.0)1(210|*|*|11112111 相对误差限相对误差限 有效数字有效数字1110)1(21 nra已知已知 x* 的的相对误差限相对误差限可写为可写为则则可见可见 x* 至少有至少有 n 位有效数字位有效数字.21 基本运算中基本运算中( )的误差估计的误差估计,105 . 0|414. 12|3 ,105 . 0|236. 25|3 问问?|414. 1236

12、. 225| ?236. 2414. 152 1.3 数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播如如22例例 计算计算 A=f (x1, x2). 如果如果x1, x2的近似值为的近似值为 x1*, x2*, 则则A的近似值为的近似值为 A*=f (x1*, x2*), 用多元函数微分近用多元函数微分近似公式可以得到似公式可以得到*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)*,(),(*)(2221112122221111212121xexxxfxexxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfAAAe 绝对误差绝对误差 e 运算可近似看成微分运算运算可近似看成微分运算.2

13、3由此可以得到基本运算中由此可以得到基本运算中( )的误差估计的误差估计,),()()(2121xexexxe 和差的误差限不超过各数的误差限之和和差的误差限不超过各数的误差限之和.| )(| )(| )(|2121xexexxe 24)()()()()(212121211221xexexxxexxxxexxxerrr ),()()(211221xexxexxxe | )(| )(| )(|2121xexexxerrr 乘法相对误差限不超过各数相对误差限之和乘法相对误差限不超过各数相对误差限之和.25,)()(22211221xxexxexxxe ).()()()(211222211221xe

14、xexxxxexxexxxerrr 乘除相对误差限不超过各数相对误差限之和乘除相对误差限不超过各数相对误差限之和. | )(| )(|2121xexexxerrr 26例例 设设 y=xn, 求求 y 的相对误差与的相对误差与 x 的相对误差之间的相对误差之间的关系的关系.解解)()()(1xenxxeyenn )()()()()(1xnexxenxxenxyyeyernnr 所以所以xn 的相对误差是的相对误差是 x 的相对误差的的相对误差的n倍倍.x2的相对误差是的相对误差是 x 的相对误差的的相对误差的 2 倍倍,x的相对误差是的相对误差是 x 的相对误差的的相对误差的 1/2 倍倍.2

15、7 算法的数值稳定性算法的数值稳定性 一种数值算法一种数值算法, 如果其计算舍入误差积累是可控如果其计算舍入误差积累是可控制的制的, 则称其为数值稳定的则称其为数值稳定的, 反之称为数值不稳定的反之称为数值不稳定的.28 101dxexIxnn利用分部积分法可得计算利用分部积分法可得计算In的递推公式的递推公式, 2 , 11, 1 nnIInn例例 计算积分计算积分算法算法1： 1010dxeIx, 2 , 11, 1 nnIInn6321. 0632120558. 011 e由此递推计算由此递推计算 I1, I2, , I9.解解291 , 2 , 8 , 9, )1(11 nInInn

16、10109919110110dxxIdxexe取近似值取近似值,0684. 0)10110(2119 eI由此计算由此计算 I8, I7, , I0.并将计算公式改写为并将计算公式改写为算法算法2：此时此时10121|1*99 eII.0316. 0 30InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法算法10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.21600.72807.5520算法算法20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值真值0.63210.36790.26

17、420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.091631 对任何对任何 n都应有都应有In0, 但算法但算法1的计算结果显示的计算结果显示I8 (n+1)n!当当n=25时时, 在每秒百亿次乘除运算计算机上求解时间为在每秒百亿次乘除运算计算机上求解时间为 首先首先, 若算法计算量太大若算法计算量太大, 实际计算无法完成实际计算无法完成(亿年亿年)13 40 其次其次, 即使是可行算法即使是可行算法, 则计算量越大积累的误差则计算量越大积累的误差也越大也越大. 因此因此, 算法的计算量越小越好算法的计算量越小越好.0111.)(axaxaxaxpnnnnn 若直接逐项计算若直接逐项计算, 大约需要乘法运算次数为大约需要乘法运算次数为2)1(12.)1( nnnn例例 计算计算n次多项式：次多项式：41一般地，对于一般地，对于n次多项式将它改写为次多项式将它