数学物理方法 复数(第一讲)

1、 数学物理方法是关于如何应用数学基础知识解决实际物理和工程问题的课程，它在电动力学(如：电磁场分布、波动问题)、量子力学（如：薛定谔方程、散射问题）、弹性力学、流体力学、电子信息工程与技术（如：信号分析）等有着广泛的应用。主要内容：复变函数论、数学物理方程及其求解方法、 特殊函数。教学形式：课堂讲解/讨论、同学自学、研究型课题学习方法学习方法：预习是学好该课程的关键，复习是学好该课程预习是学好该课程的关键，复习是学好该课程 的保障，思考和自学是融会贯通的基本要求。的保障，思考和自学是融会贯通的基本要求。 课程简介课程简介高等数学中未解决但后续课程必须掌握的问题：1.复杂的积分2.变系数常微分方

2、程（由常见物理问题得出的）的求解一种新的方法-积分变换法的基础教材教材: 刘连寿 等 数学物理方法(第三版) 高等教育出版社(2011年）参考书参考书:汪德新 数学物理方法(第三版) 科学出版社 (2006)吴崇试 数学物理方法 北京大学出版社 K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering (second edition) Cambridge (2002)G. B. Arfken, H. J. Weber, Mathematical methods for Phy

3、sicists (Chap 612, 15-16) (Sixth edition) (Elsevier) (2005) 辅导答疑时间辅导答疑时间: 星期一星期五下午 地点地点: 9号楼1237室 email:第第1 1章章 复变函数论基础复变函数论基础思考思考：复变函数和实变函数的区别和联系思考思考：复变函数和实变函数的区别和联系。实数实变量实变函数复数复变量复变函数实变函数：实变量的函数。例：x,y 实变量；f (x,y) 实变函数复变函数：复变量的函数，实变函数的推广当 时，没有实根。02cbxax042acb1.1 1.1 复数复数 (复数的定义、几何表示、运算规则复数的定义、几何表示、

4、运算规则) 2. 基本概念： （实部） （虚部） 纯虚数，共轭复数 、复数相等RexzImyz*()zzz、 或数的扩展：正数负数实数在实数范围内：方程 扩大数域，引进复数一、复数的定义和运算1.定义：复数形如 z = x +i y 的数(x,y为实数，i 2 = 1 i：虚数单位)定义：x 轴实轴，y 轴虚轴从原点(0,0)出发指向点 P (x,y)矢量 复矢量。op 二 复数的表示方法1. 1. 复平面复平面(1) 直角坐标表示：在坐标平面xoy上，用点(x, y) 表示复数 z = x+i y，平面上的点(x, y)与复数z = x+i y 一一对应。全体复数布满整个平面复平面 (或 z

5、 平面)。 cossinxy(cossin )zi02(0,1,)kk Argarg2(0, 1,)zzkk cossiniei(cossin)izie(2)极坐标表示：复平面上的点用极坐标 表示 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：辐角主值： 利用欧拉公式：),( ：z的模， ：z的辐角)arg(0arg2 )zz辐角： 有2.复球面 复数不仅可以用平面上的点表示，还可用球面上的点表示。方法：过复平面的坐标原点作一球面与复平面相切，过o作复平面的垂线交球面于N点(北极点)，作射线NP交球面于P , 交复平面于P点，可知P与P对应，所以以o为圆心的圆L上的点与复球面纬线L上的

6、点相对应，圆L内部的点与L 下方的点对应。圆L的半径 ,L 趋向球顶缩成一点N复平面的无限远处对应于球面上的一点N ，这样，复平面的无限远处看成一个“点”无限远点。几何意义：z1、z2 为矢量。z = z1+z2 遵守平行四边形法则平行四边形法则 由于实数是复数的特例，故在规定规定其运算方法时，既应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术运算的一般规律(如交换律，结合律等)。1211221212(zzzx iyxiyx xi y + y+)+(+)=( +)+() 加法2. 减法三、复数的运算规则这样12121212zzzzzzzz(两

7、边之和不小于第三边)(一边不小于两边之差)1211221212(zzzx iyxiyx xi yy+)-( +)=( - )+()12() (zzzxiyxiyx xy yi x yx y11221 2121221)=()+ ()1212()121212iiizzeee 3.乘法 (模相乘,辐角相加)1222222222222222222222) () ()zxiyxiyxiyx xy yx yx yzizxiyxiyxiyxyxy11111111(1122()111222iiizeeze(cossin)cossinnininnninze(模相除，辐角相减)5.乘方: N个z相乘，即棣摩弗公式: 4.除法 (分母有理化)6.开方: 令 ，且设 ， 。已知 ，求：由0nzw0zwniwe000iez 00、 、000022nnknknn(k：整数)即 w 的模 与z0 的模一一对应，而w的辐角与z0 的辐角不是一一对应。仅有n个不同的值满足 ，即) 1, 1 , 0()2(000nkezwnkninn有0zwn111222zxiyzxiy+、+则：以下的交换律、结