初中函数知识点总结(2)

1、一次函数知识点总结1.一次函数及性质一般地，形如y=kx b(k,b 是常数， k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数 .当 b=0 时， y=kx b 即 y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k 不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0， b）和（ - b ， 0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 它k可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 . （当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）（ 1）解析式 ： y=kx+b(k 、b 是常数，

2、k 0)（ 2）必过点 ：（ 0，b）和（ - b ， 0）k（ 3）走向：k 0 b 0k 0 b 0直线经过第一、二、三象限直线经过第一、二、四象限k 0 b 0k 0 b 0直线经过第一、三、四象限直线经过第二、三、四象限（ 4）增减性 ： k>0 ， y 随 x 的增大而增大；k<0， y 随 x 增大而减小 .（ 5）倾斜度 ： |k| 越大，图象越接近于y 轴； |k| 越小，图象越接近于x 轴.（ 6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位 .b>0b<0

3、b=0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k>0图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k<0图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小反比例函数知识点1.定义：一般地，形如yk （ k 为常数， k o）的函数称为反比例函数。 y k 还可以写xx成 y kx 12. 反比例函数解析式的特征：等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。 分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为 1.比例系数 k0自变量 x 的取值为一切非零实数。函数 y 的取值是一切非零实数。3. 反比

4、例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线， yk （ k 为常数， k0 ）中自变量 x0 ，函数值 y0 ，x所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支， 延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y x 或 yx ）。反比例函数 yk （ k 0 ）中比例系数 k 的几何意义是：过双曲线 yk （ k0 ）上任xx意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。4反比例函数性质如下表：k 的取值图像所在象限函数的增减

5、性ko一、三象限在每个象限内， y 值随 x的增大而减小ko二、四象限在每个象限内， y 值随 x的增大而增大二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念： 一般地，形如y ax2bx c a ，b ，c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这（里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 y ax2 bx c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y

6、ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小； x0 时， y 有最小值 0 a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大； x0 时， y 有最大值 0 2. y ax2 c 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ，cy 轴x0时， y 随 x 的增大而增大； x 0时， y 随x 的增大而减小； x 0时， y 有最小值 c a0向下0 ，cy 轴x0时， y 随 x 的增

7、大而减小； x 0时， y 随x 的增大而增大； x 0时， y 有最大值 c 3. ya x2的性质：h左加右减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，0X=hxh 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y 随x 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 0 a0向下h ，0X=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， y 随x 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 0 2k 的性质：4. y a x ha 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0h ，kxh 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y

8、 有最小值 k a0h ，kxh 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h2h ，kk ，确定其顶点坐标； 保持抛物线 yax2 的形状不变，将其顶点平移到h，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移

9、 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移m 个单位， yax2bxc 变成yax2bx cm （或 yax2bx cm ） yax2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， yax 2bxc 变成ya( xm) 2b( xm)c

10、（或 ya( xm) 2b( x m)c ）四、二次函数 ya2k 与 y2bxc 的比较x hax从解析式上看，ya xh22bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前k 与 y axb24acb2b ，k4ac b2者，即 ya x，其中 h2a4a2a4a五、二次函数 y2bxc 图象的画法ax五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bx c 化为顶点式 y a(x2h) k ， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为： 顶点、与 y 轴的交点0 ，c、以及 0 ，c关于对称轴对称的点2h，c、与 x 轴的交点x1 ，0

11、， x2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .六、二次函数 y ax2bxc 的性质1. 当 a 0时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为b ，4ac b22a2 a4a当 xb时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 随 x 的增大而增大；当xb 时， y 有最小2a2a2a值 4acb24a2. 当 a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb ，顶点坐标为b ，4acb2当 xb时，2a2a4a2ay 随 x 的增大而增大；当xb时， y 随 x 的增大而减小；当 xb时， y

12、 有最大值 4acb22a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2bx c （ a ， b， c 为常数，a0 ）；ax2.顶点式： ya(xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；3.两根式： ya( xx1)( xx2 ) （ a0 ， x1 ， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b24ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数

13、 yax2bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 当 a0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚

14、好与上述相反，即当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴xb 在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 ，概括的说就是2a“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 c0时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c0时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，

15、即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式

16、或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y2b xcyax2bxca x；关于 x 轴对称后，得到的解析式是ya x2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是ya xh2k ；h2. 关于 y 轴对称y2b xcyax2bxca x；关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya x2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是ya xh2k ；h3. 关于原点对称y2b x关c于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；a xya x2关k于原点对称后，得到的解析式是yaxh2hk ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y2b xc2b2a xyaxbxc；关于顶点对称后，得到的解析式是

17、2aya x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是yaxh2hk 5. 关于点 m，n 对称2k 关于点2y a x hm，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2bx c

18、0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数： 当b 24ac0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1 ，0，B x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bx c0 a 0 的两根这两点间的距离ABx2 x1b24ac .a 当0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1'当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 2. 抛物线 y2c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；axbx3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b