施光燕线性代数讲义

1、 第一讲 行列式 一、行列式的概念引子；数量的分类：连续量（高等数学） 随机量（概率与数理统计） 离散量（线性代数） 元素二阶行列式 行 列元素的表示： 上例=3 =5 =-1 =2 三阶行列式 =4 =5 四阶行列式行列式表示的是其元素之间一种特定的运算。行列式一个元素的余子式（去掉元素所在行和列的元素剩余元素所组成的部分） 三阶行列式 = 同理=代数余子式 二、行列式的计算 行列式=按任何一行（列）展开 按任何一行（列）展开=1 按第一行展开按第三列展开行和列的选择原则： 元素简单（有尽量多的0元素）正负代数余子式分布 例1计算四阶行列式解；按第三行展开 =3=-3三、行列式的性质 1、行

2、、列交换，其值不变。 2、两行交换，其值变号。 3、若某一行有公因子，则可提出。= 4、对行的倍加运算，其值不变。 什么是倍加运算？把一行的若干倍加到另一行上面去 例1计算行列式 解；=对角线两侧有一边全是0为三角行列式对角线上部为0下三角行列式例2 计算行列式解：两行成比例，行列式为0例3计算行列式解； 第二讲 矩阵1、 矩阵的概念长方形数表 横的称行，竖的称列，排列每个位置上的数称为元素。， 矩阵记号也可把方括弧也成圆括弧（）比较；矩阵可以是长方形行数列数可等可不等，行列式必须是正方形的行数列数一定相等。 记号（）与矩阵也可表示为a 或 2、 矩阵的运算 1、相等 ，若则称。 2、相加 当

3、时，a，b才能相加。今后对于每一种矩阵运算时考虑的三个问题1、矩阵在什么条件下可以做这样的运算？；2、运算的结果是什么？3、如何来做这样的运算？1、相加的前提：相同规模 2、相加的结果：规模相同的矩阵 3、如何相加：例；交换律 零阵记为 3、 数乘 ，数 1、 条件；任何条件下 2、结果；相同规模的矩阵 3、如何运算；注意；行列式与矩阵的区别对于行列式例；由此推出相减=0？一个表格=一个数？ 4、 乘法 销售记录 甲乙星期一56星期二74星期三68单价单利甲41乙102 销售总额总利星期一5*4+6*105*1+6*2星期二7*4+4*107*1+4*2星期三6*4+8*106*1+8*2 a

4、b=c ，。1、 相乘的前提：前列等于后行 当时，才能作乘法2、 运算结果：矩阵 3、如何运算： 例1：能否作运算ab，ba？若能，则具体进行计算。解：a称为行阵 b称为列阵 3=3，能作乘法ab ab 又因1=1，所以也能作乘法ba 例2：计算解：例3：下面哪些运算能进行？ 解：不能，能，能，不能单位阵 也能用e表示单位阵5、 转置（或） 例1： 一般地有 对称阵 若a=则称a为对称阵例 ，a为对称阵 第三讲 逆矩阵1、 逆矩阵的概念 定义：对于n阶方阵a，若存在n阶方阵b使ab=ba=i，则称a是可逆的，称b为a的逆阵，记为。例1：设，证明a可逆，且 证明：又 得证主对角线，称为对角阵 例

5、2：设n阶方阵a满足证明可逆，且证：， 所以结论成立。例3：若n阶方阵a，b均可逆，证ab也可逆，且证：=i 同理例4：设a为n阶方阵，若a可逆，则是唯一的。证：反证法 设b，c均为a的逆阵 于是ab=ba=ac=ca=i ab=acb= 2、 矩阵的行列式（方阵的行列式） a 例1：计算 解： 所以例2：，计算 解： 所以若a是n阶行列式，数 例3：设a为4阶方阵，求。解：若a，b均为n阶方阵1、 2、 3、3、 可逆矩阵的判定若a可逆，即存在使，于是，且。定理：a可逆的充要条件为例1：判别下列矩阵是否可逆？ 例2：设a=， 解： 故入选矩阵运算和数的运算比较，有以下两点不同，其余的均相同。

6、不同处；1、ab=ba ？ 2、ab=0 a=0或b=0？例3：设计算解： 第四讲 初等行变换1、 初等行变换 初等行变换 1、两行变换： 2、某行乘非零常数； 3、某行乘一常数加到另一行。例 利用初等行变换求逆矩阵已知a，求。 例1；，求。解； 把第一列变好第二列变好。例2；，求。解； 验算2、 矩阵的秩下面定义秩的概念 定义；矩阵a中非零子式的最高阶数称为a的秩，记为 例如上例，注意以下几点1、，2、用秩刻画矩阵的可逆性；n阶方阵可逆例1；求矩阵的秩。解； 由上例可知用秩的概念求矩阵的秩较为复杂。例2； （阶梯阵）求。解； 而所有四阶子式均为0. 结论；阶梯阵的秩等于非零行的行数。利用初等

7、行变换求秩 初等行变换是不改变秩的变换。a阶梯阵 即可得出阶梯阵中非零行的行数。例3；，求 解； 例4；求解； 第五讲 向量1、 n维向量有序的若干数称为向量。如；称为四维向量向量实际也即是一个列矩阵。向量之间的相等、加法和数乘也即为矩阵的相等、加法和数乘。2、 向量组的线性相关性 称为的线性组合。称称可用线性表出。 例如；即表明向量能用线性表出。 例如；而就不能用线性表出。、对于一组向量其中有没有向量可以用其余向量线性表出？等价于；是否存在一组不全为0的数使？下面说明上述等价情况；若设则就有；反之，若则定义；关于向量组若存在一组不全为0的数使则称向量组是线性相关的，否则就称为线性无关的。结论

8、；线性相关等价于中至少有一个向量可以用其余向量线性表出。 线性无关等价于若必有例1；判别向量组的线性相关性。解；由定义即考虑使成立，能否有不全为0的而上式即为线性方程组。 因此，考虑向量组的线性相关性等价于考虑相应的线性方程组有否非零解。这个问题留到解线性方程组解决。例2；判别向量组的线性相关性。解； 3、 极大线性无关组 考虑向量组希望以其中最少的部分去掌握全体，这最少的部分应满足；1、这部分是线性无关的， 2、这组中每个向量都能用这部分线性表出。例1； 是线性无关的，因其对应方程组为 ， 即为极大无关组。但也构成极大无关组。它们两个是线性无关的，因其相应的方程组为 而极大线性无关组不一定是唯一的，但极大无关组中向量个数是一定的。向量组的秩=极大无关组中向量的个数 若阶梯阵非零行的行数小于向量个数向量组线性相关若阶梯阵非零行的行数等于向量个数向量组线性无关阶梯阵中每一行第一个非零元素所对应的向量构成极大无关组。故，向量组的秩=矩阵的秩例2；判别线性相关性，并求极大无关组和秩。解；线性相关即为极大无关组。例3；判别线性相关性，求极大无关组和秩。解；线性无关，极大无关组即为向量自身，秩为3. 第六讲 线性方