不等关系与一元二次不等式不等式及其应用

1、学习必备欢迎下载亭湖高级中学 2015 高二数学期中复习讲义（一）不等关系与一元二次不等式基础训练：1.设 a<b<0，则下列不等式中成立的是_.( 填序号 )1 1 a>b a b>a11 |a|> b a> b2.已知不等式 ax2 bx1 0 的解集是 1，1 ，则不等式 x2 bxa<0 的解集是 _.233.若不存在整数 x 满足不等式 (kx k2 4)(x 4)<0 ，则实数 k 的取值范围是 _.x2 1，x 0，则满足不等于f(1 x2)>f(2x) 的 x 的取值范围是4.设函数 f(x) x<01，_.21125

2、. 已知不等式 ax bx1 0 的解集是 ，则不等式 x bx a 023的解集是 _6. 若方程 x2 (2 a)x (5 a) 0 的两个根都大于2，则实数 a 的取值范围是 _.例题讲解：例 1 (1) 设 a>b>1， c<0，给出下列三个结论：c ccc >； a<b ； log b( a c)>log a(b c).a b其中所有正确结论的序号是_.(2) 设 a， b 为正实数 .现有下列命题：若 a2 b2 1，则 a b<1；若 1 1 1，则 a b<1；若 | a b| 1，则 |a b|<1； b a若 |a3 b

3、3| 1，则 |a b|<1.其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号)(1)若 a ln 2 ， b ln 3 ， cln 5，则 a、 b、 c 的大小关系为 _.23511<0，则下列不等式：11；1122中，正(2)若 <<|a| b>0； a>b； ln a>ln baba babab确的不等式的序号是_.例 2 求下列不等式的解集：(1) x2 8x 3>0 ； (2)ax2 (a 1)x 1<0.学习必备欢迎下载(1)若不等式ax2 bx 2>0 的解为 1<x<1，则不等式2x2 bx a<0 的解集

4、是23_.(2) 不等式 x 1 0 的解集为 _. 2x 1例 3 设函数 f(x) mx2 mx 1.(1) 若对于一切实数 x， f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；(2) 若对于 x 1,3 ， f(x)< m5 恒成立，求 m 的取值范围 .当 x (1,2)时，不等式 x2 mx 4<0 恒成立， 则 m 的取值范围是 _.例 4(1) 已知函数 f(x) x2 ax b(a， bR )的值域为 0， )，若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为 (m， m6)，则实数 c 的值为 _.(2) 已知 a 1,1，不等式 x2 (a 4)x 4 2a

5、>0 恒成立，则 x 的取值范围为 _.作业：1.下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是_.(填序号 ) a>b 1 a>b 12233 a >b a>b2.若关于 x 的不等式 ax26x a2<0的解集是 (1， m)，则 m _.学习必备欢迎下载3.若不等式x2 2ax a>0 对一切实数x R 恒成立，则关于t 的不等式at2 2t3<1 的解集为 _.4.设 f(x)是定义在 R 上的以 3为周期的奇函数，若2a 3，则实数 a 的取值范f(1)>1 ， f(2) a 1围是 _.23， )， f(x2恒成立，

6、则实数5.设函数 f(x) x 1，对任意xm) 4m ·f(x) f(x1) 4f(m)2m 的取值范围是 _.236.设 x， y 为实数，满足 3 xy2 8,4x 9，则 x4的最大值是 _.yy7.求使不等式 x2 (a 6)x 9 3a>0， |a| 1 恒成立的 x 的取值范围 .x2 2x3 0，a 的取值范围是 _.8.若不等式组 x的解集不是空集，则实数2 4x 1a 0219.若不等式 ax5x 2>0 的解集是 x| <x<2.2(1) 求实数 a 的值；(2) 求不等式 ax2 5x a2 1>0 的解集 .2222的大小；10

7、.(1) 设 x<y<0，试比较 (x y )( x y)与 (x y ) ·(x y)(2) 已知 a， b， x，y (0， )且1>1， x>y，求证：x >y.abx a y b学习必备欢迎下载11.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台 )，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2 万元，并且每生产100 台的生产成本为 1 万 元 ( 总 成 本 固 定 成 本 生 产 成 本 ) ， 销 售 收 入 R(x) 满 足 R(x) 0.4x2 4.2x 0.80 x 5，10.2x>5假定该产品

8、销售平衡，那么根据上述统计规律：(1) 要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2) 工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？亭湖高级中学 2015 高二数学期中复习讲义（二）基本不等式及其应用基础训练1.若 a， bR ，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是_.(填序号 ) a2 b2>2ab a b 2ab学习必备欢迎下载 1 1> 2 b a 2 a b ab a b2 设 x， y R， a>1， b>1 ，若 ax by 3， a b 23，则 11的最大值为 _.xy222ax by 20 (a， b R)对称，则 ab

9、的取值范围是3 圆 x y 2x 4y 10 关于直线_.1 |a|取得最小值 .4.设 a b2， b>0 ，则当 a _时， 2|a| b5.当 a>0 且 a 1 时，函数f(x) loga(x 1) 1 的图像恒过点P，若点 P 在直线 mxy n 0 上，则 4m 2n 的最小值为 _例题讲解例 1 (1) 已知 x>0， y>0，且 2x y 1，则 1x 1y的最小值为 _；2x(2) 当 x>0 时，则 f(x)的最大值为 _.x2 1xy(1)已知正实数x，y 满足 xy 1，则 ( y) ·( x) 的最小值为 _.yx(2) 已知

10、x， y R，且满足 x y 1，则 xy 的最大值为 _. 3 4例 2(1) 已知 f(x)32x (k 1)3x 2，当 x R 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是_.(2) 已知函数 f(x)x2 ax 11*， f(x) 3恒成立，则a 的取值范(a R )，若对于任意x Nx 1围是 _.若不等式x2 ax 1 0 对于一切x(0 ，12)成立，则a 的最小值是 _.学习必备欢迎下载例 3(1) 若正数 x， y 满足 x 3y5xy，则 3x 4y 的最小值是 _.3(2) 函数 y 1 2x x(x<0) 的最小值为 _.例 4 某单位决定投资3 200元建一仓库

11、 (长方体状 )，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40 元，两侧墙砌砖，每米长造价45 元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？跟踪训练 4 (1) 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800 元 .若每批生产x件，则平均仓储时间为x天，且每件产品每天的仓储费用为1 元 .为使平均到每件产品的生8产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品_件 .(2) 某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价 q%；方案乙：每次都提价p q2%，若 p&g

12、t;q>0 ，则提价多的方案是_.作业1.已知 a>0 ，b>0，若不等式m 3 1 0 恒成立，则 m 的最大值为 _.3aba b2.某公司一年需购买某种货物200 吨，平均分成若干次进行购买， 每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用数值 (单位：万元 )恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_.3.已知 m、n、s、tR ，m n 2，m n9，其中 m、n 是常数，且 s t 的最小值是4，满s t9足条件的点 (m， n)是圆 (x 2)2 (y 2)2 4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为_.学习必备欢迎

13、下载4.设正实数 x， y， z 满足 x2 3xy 4y2 z 0，则当 xy取得最大值时，2 1 2的最大值为zx y z_.1 1的最小值是 _.5.若 a>0， b>0，且 ln(a b) 0，则 ab21126.设 x， y R，且 xy 0，则 (x22y)(x4y )的最小值为 _.7.已知 log2a log 2b 1，则 3a 9b 的最小值为 _.8.某公司一年需购买某种货物200 吨，平均分成若干次进行购买， 每次购买的运费为 2 万元，一年的总存储费用数值 (单位：万元 )恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨

14、数是_.9.(1) 若正实数 x、 y 满足 2xy6 xy，求 xy 的最小值 .x2 7x10(x> 1)的最小值 .(2) 求函数 yx110.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定 (平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400 元 /米，中间两道隔墙建造单价为248 元 /米，池底建造单价为80 元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价 .学习必备欢迎下载

15、11.某食品厂定期购买面粉 .已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为1800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3 元，购买面粉每次需支付运费900元 .(1) 求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2) 若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9 折优惠 (即原价的90%) ，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.不等关系与一元二次不等式基础训练：1.设 a<b<0，则下列不等式中成立的是_.( 填序号 )1111 > >aaba b |a|> b a> b答案解析由题设得a<a b&

16、lt;0 ，所以有1<1成立，ab a 只有 不成立 .学习必备欢迎下载2.已知不等式 ax2 bx10 的解集是1， 1，则不等式 x2 bxa<0 的解集是 _.23答案(2,3)11211解析由题意知2，3是方程 ax bx1 0的根，所以由根与系数的关系得2 3 b， 1×1 1.解得 a 6，b 5，不等式 x2bx a<0 即为 x2 5x 6<0，解集a23a为 (2,3).3.若不存在整数x 满足不等式 (kx k2 4)(x 4)<0 ，则实数 k 的取值范围是 _.答案1,4解析可判断 k 0 或 k<0 均不符合题意，故k&g

17、t;0.于是原不等式即为k(xk24k2 4k)( x4)<0 ? (xk)(x 4)<0 ，k2 4依题意应有 35 且 k>0， 1 k4.k2x 04.设函数x 1，f(1 x2)>f(2x) 的 x 的取值范围是f(x) ，则满足不等于1，x<0_.答案( 1， 2 1)解析x 0 时， f(x)x21，易知其在 0， )上单调递增， 又 f(0) 1，x<0 时，f(x) 1，2x<1 x2所以 f( x) 1.由不等式 f(1 x2)>f(2x)可得，f 1 x2>12x<1 x2， 1 2<x< 1 21&l

18、t; x<1，1 x2>0即 1<x<1 2.所以 x 的取值范围是 ( 1， 2 1).21123. 已知不等式 ax bx1 0 的解集是 ，3 ，则不等式 x bx a 02的解集是 _112解析由题意知2，3是方程 ax bx10 的根，所以由根与系数的关系得11b1112 bxa0 即 ，× . 解得 a 6，b5，不等式 x23a23a为x2x ，解集为(2,3)560答案(2,3)7. 若方程 x2 (2 a)x (5 a) 0 的两个根都大于2，则实数 a 的取值范围是_.学习必备欢迎下载【解析】 问题转化为求满足使一元二次函数 f （x） x

19、2（ 2 a） x（ 5 a）与 x 轴的交点都在点（ 2，0）的右侧的 a 的取值范围，结合图象有(2a)2 4(5a)0,2a5 a 4.22,222(2a) (5a)0答案（ 5， 4例题讲解：例 1 (1) 设 a>b>1， c<0，给出下列三个结论：c ccc >； a<b ； log b( a c)>log a(b c).a b其中所有正确结论的序号是_.(2) 设 a， b 为正实数 .现有下列命题：若 a2 b2 1，则 a b<1；若 1 1 1，则 a b<1；若 | a b| 1，则 |a b|<1； b a若 |a3

20、 b3| 1，则 |a b|<1.其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号)答案(1)(2)解析(1)根据不等式的性质构造函数求解.1 1 a>b>1 ， a<b.c c又 c<0 ， a>b，故 正确 .构造函数y xc. c<0， yxc 在 (0， )上是减函数 .又 a>b>1， ac<bc，故 正确 . a>b>1 ， c>0 ， a c>b c>1. a>b>1 ， logb(a c)>log a(a c)>log a(b c)，即 logb (a c)>log

21、a(b c)，故 正确 .(2) 中， a2 b2 (a b)(a b) 1，a， b 为正实数，若 a b 1，则必有 a b>1，不合题意，故 正确 . 中， 1b 1a aabb1，只需 a b ab 即可 .如取 a 2， b 2满足上式，但a b4>1，故 错.33 中， a， b 为正实数，所以且 |a b| |( a b)( aab>|ab| 1，b)| |ab|>1，故 错 .学习必备欢迎下载3322 中， |a b | |(a b)(a ab b )|2 2 |a b|(a ab b ) 1.若 |a b| 1，不妨取 a>b>1，则必有

22、a2 abb2>1，不合题意，故正确 .(1)若 a ln 2 ， b ln 3 ， cln 5，则 a、 b、 c 的大小关系为 _.23511<0，则下列不等式：11；1122中，正(2)若 <<|a| b>0； a>b； ln a>ln ba ba babab确的不等式的序号是 _.答案(1)c<a<b (2) 解析(1)易知 a， b， c 都是正数， b 2ln 3 log89>1 ，a3ln 2a5ln 2所以 b>a； log 2532>1 ，所以 a>c.即 c<a<b.1 1(2) 由

23、a<b<0，可知 b<a<0.1 1 中，因为 a b<0， ab>0 ，所以 a b<0， ab>0.11故有a b<ab，即 正确； 中，因为 b<a<0 ，所以 b> a>0.故 b>|a|，即 |a| b<0，故 错误；1111，故 正确；中，因为 b<a<0 ，又 <b<0，所以 a>baab中，因为 b<a<0 ，根据 y x2 在( ， 0)上为减函数，可得b2>a2>0，而 y ln x 在定义域 (0， ) 上为增函数，所以 ln b

24、2>ln a2，故 错误 .由以上分析，知 正确 .例 2求下列不等式的解集：(1) x2 8x 3>0 ； (2)ax2 (a 1)x 1<0.解(1)因为 82 4× ( 1)× ( 3) 52>0，所以方程 x2 8x 3 0 有两个不相等的实根x 413， x 4 13.122又二次函数y x 8x 3 的图象开口向下，(2) 若 a 0，原不等式等价于 x 1<0，解得 x>1.若 a<0 ，原不等式等价于11或 x>1.(x )(x 1)>0，解得 x<aa学习必备欢迎下载1若 a>0 ，原不等式

25、等价于(x a)(x 1)<0. 当 a 1 时，1 1，( x1)(x 1)<0 无解；aa 当 a>1 时，1<111<x<1；a，解 ( x )( x 1)<0得aa1 当 0<a<1 时， a>1，11解 (x )(x 1)<0 得 1<x< .aa综上所述：当a<0 时，解集为 x|x<1或 x>1 ；a当 a 0 时，解集为 x|x>1 ；当 0< a<1 时，解集为 x|1<x<1 ；当 a 1 时，解集为 ?；当a2 bx 2>0的解为11，则不等

26、式2 bx a<0的解集是(1)若不等式 ax<x<2x23_.(2) 不等式 x 1 0 的解集为 _. 2x 1答案(1)( 2,3) (2)( 1， 12解析(1)由题意，知1和1是一元二次方程ax2bx 2 0 的两根且 a<0，23 1 1 b23aa 12所以，解得. 1×1 2b 223a则不等式2x2 bx a<0 即 2x2 2x 12<0，其解集为 x| 2<x<3.x 12x 1 0(2) 原不等式等价于(*)2x 1 01由 (*) 解得 2<x 1.例 3设函数 f(x) mx2 mx 1.(1) 若对于

27、一切实数 x， f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；(2) 若对于 x 1,3 ， f(x)< m5 恒成立，求 m 的取值范围 .解 (1)要使 mx2 mx1<0 恒成立，若 m0，显然 1<0 ；m<0，? 4<m<0.若 m0，则 m2 4m<0所以 4<m 0.学习必备欢迎下载(2) 要使 f(x)< m 5在 x 1,3 上恒成立，即123m x2 4m 6<0在 x1,3 上恒成立 .有以下两种方法：令 g(x)m123方法一x24m 6， x 1,3.当 m>0 时， g(x)在 1,3 上是增函数，

28、所以 g(x)max g(3)? 7m 6<0 ，所以 m<6，则 0<m<6；当 m 0 时， 6<0 恒成立；77当 m<0 时， g(x)在 1,3 上是减函数，所以 g(x)max g(1)? m6<0 ，所以 m<6，所以 m<0.综上所述： m 的取值范围是 m|m<6.7方法二2123，因为 x x 1 x2>04又因为 m(x2 x 1) 6<0，所以 m< 26.x x 1因为函数 y 266在 1,3 上的最小值为6，所以只需 m<6即可 .x x 11 2377x 24所以， m 的取值范

29、围是6m|m<7 .当 x (1,2)时，不等式 x2 mx 4<0 恒成立， 则 m 的取值范围是 _.答案(， 5当 x (1,2)时，不等式x2 mx 4<0恒成立 ? m< x2 44解析方法一xx x在x (1,2)上恒成立，设(x) x4， (x) x4 ( 5， 4)，xx故 m 5.方法二设 f(x) x2 mx 4，因为当 x (1,2)时，不等式x2 mx 4<0 恒成立，所以f 1 0，5m 0，即解得 m 5.f 2 0，8 2m 0，例 4(1) 已知函数 f(x) x2 ax b(a， bR )的值域为 0， )，若关于 x 的不等式

30、f(x)<c 的解集为 (m， m6)，则实数 c 的值为 _.(2) 已知 a 1,1，不等式 x2 (a 4)x 4 2a>0 恒成立，则 x 的取值范围为 _.学习必备欢迎下载解析(1)由题意知f( x) x2 axb2 x a 2 b a .24 f(x)的值域为 0， )， b a22 0，即 b a44 .a 2 f(x) x2 .a 2又 f(x)<c. x 2<c，即 a c<x<a c.22a c m，2a c m 6.2 ，得 2c 6， c9.(2) 把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f( a) (x 2)a( x2 4x 4

31、)，则由 f(a)>0 对于任意的a 1,1 恒成立，易知只需f( 1) x25x 6>0，且 f(1) x23x 2>0 即可，联立方程解得 x<1 或 x>3.答案(1)9 (2) x|x<1 或 x>3作业：1.下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是_.(填序号 ) a>b 1 a>b 1 a2>b2 a3>b3答案解析由 a>b 1，得 a>b 1>b，即 a>b，而由 a>b 不能得出 a>b 1，因此，使 a>b 成立的充分而不必要的条件是a>b 1

32、.222.若关于 x 的不等式 ax6x a <0 的解集是 (1， m)，则 m _.答案2解析根据不等式与方程之间的关系知1 为方程 ax2 6x a2 0 的一个根，即 a2a 6 0，解得 a 2 或 a 3，当 a 2 时，不等式 ax26x a2<0 的解集是 (1,2)，符合要求；当 a 3 时，不等式 ax2 6x a2<0 的解集是 ( ， 3) (1， )，不符合要求，舍去 .故 m 2.3.若不等式x2 2ax a>0 对一切实数x R 恒成立，则关于t 的不等式at2 2t3<1 的解集为 _.答案(， 3) (1， )学习必备欢迎下载解析

33、不等式 x2 2axa>0 对一切实数 xR 恒成立，则 ( 2a)2 4a<0 ，即 a2 a<0，解得 0<a<1，所以不等式 at2 2t 3<1 转化为 t2 2t 3>0，解得 t< 3 或 t>1.4.设 f(x)是定义在 R 上的以3 为周期的奇函数，若2a 3，则实数 a 的取值范f(1)>1 ， f(2) a 1围是 _.答案( 1，2)3解析 f(x 3) f(x)， f(2) f( 1 3) f( 1) f(1)< 1. 2a 33a 2a 1< 1?a 1<0? (3a 2)(a 1)<

34、0，2 1<a<3.5.设函数 f(x) x2 1，对任意 x3， )， f( x) 4m2·f(x) f(x1) 4f(m)恒成立，则实数2mm 的取值范围是 _.答案 m|m3或 m 3222解析依据题意得x2 1 4m2(x21) (x 1)2 1 4(m2 1).m在 x 3， )上恒成立，2即1232 13， )上恒成立 .2 4m 2在 x mxx2当 x 3时函数 y 322 1 取得最小值5，2xx3所以 m12 4m2 53，即 (3m2 1)(4m2 3) 0，3 3解得 m 2 或 m 2 .2x2x36.设 x， y 为实数，满足 3 xy 8,4

35、y9，则 4的最大值是 _.y答案27x2x4解析由4 y 9，得16 y2 81.又 3 xy2 8， 1 1321， 2 x4 27.8 xy3y学习必备欢迎下载x3又 x 3， y 1 满足条件，这时y4 27.x3 y4的最大值是27.7.求使不等式x2 (a 6)x 9 3a>0， |a| 1 恒成立的x 的取值范围 .解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式 (x 3)a x2 6x 9>0.令 f( a) (x 3)ax26x 9.因为 f( a)>0 在 |a| 1 时恒成立，所以(1) 若 x3，则 f(a) 0，不符合题意，应舍去 .f 1 >0，

36、(2) 若 x3，则由一次函数的单调性，可得f 1 >0x2 2x3 0，a 的取值范围是 _.8.若不等式组的解集不是空集，则实数x2 4x 1a 0答案 4， )解析设 f(x) x2 4x (1a)，根据已知可转化为存在x0 1,3 使 f(x0) 0.易知函数 f( x)在区间 1,3 上为增函数，故只需f( 1) 4 a0 即可，解得 a 4.25x 2>0的解集是19.若不等式 ax x| <x<2.2(1) 求实数 a 的值；(2) 求不等式 ax2 5x a2 1>0 的解集 .解 (1)由题意知 a<0，且方程 ax2 5x2 0 的两个根

37、为 12，2，代入解得 a 2.(2) 由 (1)知不等式为 2x2 5x 3>0 ，即 2x2 5x 3<0，解得 3<x<12，221即不等式ax 5x a 1>0 的解集为 (3， ).10.(1) 设 x<y<0，试比较 (x2 y2)( x y)与 (x2 y2) ·(x y)的大小；(2)已知 a， b， x，y (0， )且1>1， x>y，求证：x > y .abx a y b(1)解 方法一(x2 y2)(x y) (x2 y2 )(x y) (x y) x2 y2 (x y)2 2xy(x y)， x<y<0， xy>0， x y<0 ， 2xy(x y