概率论与数理统计第三版课后习题答案

1、习题一1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2) 解：；(3) 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4)(5) 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6) 解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ；(7) 解：；(8) 解：；1.2 (1) ；(2) (3)(4) (5) (6)(7) (8)1.3 设样本空间, 事件=, 具体写出下列各事件：(1)；(2) =； (3) =; (4) = 1.6 解：由于故，而由加法公式，有：1.7 解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率

2、为：(2)由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8 解：(1) 由于，故显然当时p(ab) 取到最大值。 最大值是0.6.(2) 由于。显然当时p(ab) 取到最小值，最小值是0.4.1.9 解：因为 p(ab) = 0，故 p(abc) = 0.至少有一个发生的概率为：1.10 解(1)通过作图，可以知道，(2) 1.11 解：用表示事件“杯中球的最大个数为个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2

3、种，故(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。对事件：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故。1.12解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是。(1) 1.13 解：从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。(2) 若要三个数中最大的一个是5，

4、先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。1.14 解：分别用表示事件：(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。1.15 解：由于，故 1.16解：（1） （2）注意：因为，所以。1.17 解：用表示事件“第次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的是次品”（）。(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：。(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为（3） 事件“第三次取到次品”的概率为：此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正

5、品，一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：；而事件“第二次才取到次品”的概率为：。区别是显然的。1.18。解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则，根据全概率公式，有：1.19解：设表示事件“所用小麦种子为等种子”，表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。则，根据全概率公式，有：1.20 解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：根据贝叶斯公式，所求概率为：1.21 解：用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：因此根据贝叶斯

6、公式，所求概率为：1.22 解：设，则(1)根据全概率公式，该批产品的合格率为0.94.(2)根据贝叶斯公式，同理可以求得，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。1.23解：记=目标被击中，则1.24 解：记=四次独立试验，事件a 至少发生一次，=四次独立试验，事件a 一次也不发生。而，因此。所以三次独立试验中, 事件a 发生一次的概率为：。二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：（10）加法公式p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)当p(ab)0时，p(a+b)=p(a)+p(b)（11）减法公式p(

7、a-b)=p(a)-p(ab)当ba时，p(a-b)=p(a)-p(b)当a=时，p()=1- p(b)（12）条件概率定义 设a、b是两个事件，且p(a)>0，则称为事件a发生条件下，事件b发生的条件概率，记为。（16）贝叶斯公式，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。第二章 随机变量2.1 x23456789101112p1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据，得，即。 故 2.3解：用x表示甲在两次投篮中所投中的次数，xb(2,0.7)用y表示乙在两次投篮中所投中的次数, yb(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同px=y

8、= px=0,y=0+ px=1,y=1 +px=2,y=2=(2)甲比乙投中的次数多px>y= px=1,y=0+ px=2,y=0 +px=2,y=1=2.4解:（1）p1x3= px=1+ px=2+ px=3=(2) p0.5<x<2.5=px=1+ px=2= (3) 2.5解：（1）px=2,4,6,=（2）px3=1px<3=1px=1- px=2=2.6解：设表示第i次取出的是次品，x的所有可能取值为0，1，2=2.6解：(1)设x表示4次独立试验中a发生的次数，则xb(4,0.4)(2)设y表示5次独立试验中a发生的次数，则yb(5,0.4)2.7 （

9、1）xp()=p(0.5×3)= p(1.5) =（2）xp()=p(0.5×4)= p(2)2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为x，则。依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即，也即因为n=180较大，p=0.01较小，所以x近似服从参数为的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为 设5个元件使用1500小时失效的元件数为y，则。所求的概率为2.10（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：（2）假设该

10、地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：2.11解:要使方程有实根则使解得k的取值范围为,又随机变量ku(-2,4)则有实根的概率为2.12解：xp()= p()(1)（2）（3）2.13解：设每人每次打电话的时间为x，xe(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为又设282人中打电话超过10分钟的人数为y，则。因为n=282较大，p较小，所以y近似服从参数为的泊松分布。所求的概率为2.14解：(1)(2)2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，xn(170,62)厘米2.19解：x的可能取值为1,2,3因为； ；所以x的分布律为x123p0.60.30.1x的分

11、布函数为 2.20(1)y040.20.70.1(2)y-110.70.32.21（1）当时，当时，当时，x-112p0.30.50.2（2）y120.80.22.22（1）设fy(y)，分别为随机变量y的分布函数和概率密度函数，则对求关于y的导数，得 （2）设fy(y)，分别为随机变量y的分布函数和概率密度函数，则当时，当时，有对求关于y的导数，得 （3）设fy(y)，分别为随机变量y的分布函数和概率密度函数，则当时，当时，对求关于y的导数，得 2.23 （1）,对求关于y的导数，得到 （2），,对求关于y的导数，得到 （3）， 对求关于y的导数，得到 第三章 随机向量3.1 p1<x

12、2,3<y5=f(2,5)+f(1,3)-f(1,5)f(2,3)= 3.2yx1220=3=03.4（1）a= （2）（3） 3.5解：（1）（2）3.6解：3.7参见课本后面p227的答案3.8 3.9解：x的边缘概率密度函数为：当时，当时，y的边缘概率密度函数为： 当时， 当时，3.10 （1）参见课本后面p227的答案（2） 3.11参见课本后面p228的答案 3.12参见课本后面p228的答案3.13（1） 对于时，所以 对于时，所以 3.14x y025x的边缘分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25y的边缘分布0.20.430.371由表格可

13、知 px=1;y=2=0.25px=1py=2=0.3225故所以x与y不独立3.15x y123x的边缘分布12ab+a+by的边缘分布a+b+1由独立的条件则可以列出方程 解得 3.16 解（1）在3.8中 当， 时，当或时，当或时，所以，x与y之间相互独立。 （2）在3.9中， 当，时， ，所以x与y之间不相互独立。3.17解：故x 与y相互独立 3.18参见课本后面p228的答案第四章 数字特征4.1 解： 甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好。4.2 解：x的所有可能取值为：3，4，5 . 4.3参见课本230页参考答案

14、4.4解：4.6参考课本230页参考答案4.7解：设途中遇到红灯次数为x，则 4.8解 500+1000 1500 4.9参见课本后面230页参考答案 4.10参见课本后面231页参考答案4.11 解:设均值为,方差为,则xn(,)根据题意有:,解得t=2即=12所以成绩在60到84的概率为4.124.13解：4.14解：设球的直径为x,则： 4.15参看课本后面231页答案4.16解: 4.17解x与y相互独立，4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案4.21设x表示10颗骰子出现的点数之和，表示第颗骰子出现的点数，则，且是独立同分布的，又所以4.22参看课本后面232页

15、答案4.234.244.25 4.26因为xn(0,4),yu(0,4)所以有var(x)=4 var(y)= 故：var(x+y)=var(x)+var(y)=4+=var(2x-3y)=4var(x)+9var(y)=4.27参看课本后面232页答案4.28后面4题不作详解第五章 极限理5.3解：用表示每包大米的重量，则, 5.4解：因为 服从区间0,10上的均匀分布， 5.5解：方法1：用表示每个部件的情况，则，,方法2：用x表示100个部件中正常工作的部件数，则第六章样本与统计6.16.3.1证明:由=+b可得，对等式两边求和再除以n有 由于 所以由 可得=6.3.2因为 所以有6.2

16、 证明： 6.3（1）（2）由于所以有两边同时除以（n-1）可得 即 6.4 同例6.3.3可知得 查表可知=1.96 又 根据题意可知n=436.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆，标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：(2)根据题意有6.6 解：（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为，它们是来自均值为=4小时，标准差为=0.8小时的总体的样本。根据题意有：（注：当时，的值趋近于1，相反当时，其值趋近于0）（2）根据题意有：6.7证明：因为t ，则，随机变量的密度函数为 显然，则为偶函数，则6.8 解：记，则xn(,),n=25故6.9 解：记这100人的年均收入为，它们是来自均值为万元，标准差为万元的总体的样本，n=100则根据题意有：（1）(2) （3）6.10 解：根据题意可知此样本是来自