最新人教版八年级数学上册13.3.1等腰三角形的性质

1、人教版八年级数学人教版八年级数学 上册上册13.3 等腰三角形等腰三角形 （第（第1课时课时） 学习目标：学习目标：1探索并证明等腰三角形的两个性质 2能利用性质证明两个角相等或两条线段相等3结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴 对称在研究几何问题中的作用 学习重点：学习重点： 探索并证明等腰三角形性质 活动（一）：活动（一）：细心观察细心观察活动（一）：活动（一）：细心观察细心观察活动（一）：活动（一）：细心观察细心观察活动（一）：活动（一）：细心观察细心观察共同特点共同特点活动（一）：活动（一）：细心观察细心观察abc等腰三角形等腰三角形: :有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形

2、, , 叫做等腰三角形叫做等腰三角形. .相等的两条边叫做相等的两条边叫做腰腰, ,另一条边叫做另一条边叫做底边底边, ,底边与腰的夹角叫做底边与腰的夹角叫做底角底角. .两腰所夹的角叫做两腰所夹的角叫做顶角顶角, ,腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角回顾回顾 1 1、等腰三角形一腰为、等腰三角形一腰为3cm,3cm,底为底为4cm,4cm,则它则它的周长是的周长是 ； 2 2、等腰三角形的一边长为、等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边长另一边长为为4cm,4cm,则它的周长是则它的周长是 ； 3 3、等腰三角形的一边长为、等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边长另一边长为为8cm,8

3、cm,则它的周长是则它的周长是 。 10 cm10 cm 或 11 cm19 cm 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形abc沿折痕对折，沿折痕对折，找出其中重合的线段和角找出其中重合的线段和角. 等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是等腰三角形是轴对称图形，轴对称图形，。 温故知新温故知新如图如图, ,把一张长方形的纸按图中虚线对折把一张长方形的纸按图中虚线对折, , 并剪去绿色部分并剪去绿色部分, , 再把它展再把它展开开, ,得到的得到的abcabc有什么特点有什么特点? ?abcab=ac等腰三角形等腰三角形活动（二）：活动（二）：动手操作动手操作 上面剪出的

4、等腰三角形是轴对称图形吗？上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？abcd把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形abcabc沿折痕对折，沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：找出其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的角ab=acab=acbd=cdbd=cdad=adad=adb=b=c cadb=adb=adcadcbad=bad=cadcad活动（三）：活动（三）：细心观察细心观察 大胆猜想大胆猜想已知：abc中，ab=ac求证：b=c分析：分析：1.如何证明两个角相等？如何证明两个角相等？ 活动（四）：活动（四）：猜想与论证猜想与论证等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角

5、相等。2.2.如何构造两个全等的三角形？如何构造两个全等的三角形？已知：已知： 如图，在如图，在abcabc中，中，ab=ac.ab=ac.求证：求证： b= b= c.c.abc等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。d证明：证明： 作底边的中线作底边的中线adad，则，则bd=cdbd=cdab=ac ( ab=ac ( 已知已知 ) )bd=cd ( bd=cd ( 已作已作 ) )ad=ad (ad=ad (公共边公共边) ) bad bad cad (sss).cad (sss). b= c (b= c (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ).在在badb

6、ad和和cadcad中中方法一：方法一：作底边上的中线作底边上的中线已知：已知： 如图，在如图，在abcabc中，中，ab=ac.ab=ac.求证：求证： b= b= c.c.abc等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。d证明：证明： 作顶角的平分线作顶角的平分线adad，则，则1=1=2 2ab=ac ( ab=ac ( 已知已知 ) )1=1=2 ( 2 ( 已作已作 ) )ad=ad (ad=ad (公共边公共边) ) bad bad cad (sas).cad (sas). b= c (b= c (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ).方法二：方法二：作顶

7、角的平分线作顶角的平分线在在badbad和和cadcad中中12已知：已知： 如图，在如图，在abcabc中，中，ab=ac.ab=ac.求证：求证： b= b= c.c.abc等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。d证明：证明： 作底边的高线作底边的高线adad，则，则bda=bda=cda=90cda=90ab=ac ( ab=ac ( 已知已知 ) )ad=ad (ad=ad (公共边公共边) ) rtrtbad rtbad rtcad (hl).cad (hl). b= c (b= c (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ).方法三：方法三：作底边的高线作

8、底边的高线在在rtrtbadbad和和rtrtcadcad中中用符号语言表示为：用符号语言表示为：在在abcabc中，中， ac=abac=ab（ 已知）已知） b=c b=c （等边对等角）等边对等角）等腰三角形的性质等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等（简称（简称“等边对等角等边对等角”）abcd 归纳总结归纳总结 刚才的证明除了能得到bc 你还能发现什么?重合的线段重合的角 abac bdcd adad b c.bad cad adb adc=90=90等腰三角形的底边上的高、底边上的等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互为重合中线、顶角的平

9、分线互为重合.猜想猜想（1）如图，）如图，adbc，abac.求证：求证：bdcd，12.abcd1 2（2）如图，）如图，bdcd，abac.求证：求证：adbc，12.（3）如图，）如图，12，abac.求证：求证：adbc，bdcd. 大胆猜想大胆猜想（1）如图，）如图，adbc，abac. 求证：求证：bdcd，12.abcd1 2证明：在rtabd和rtacd中abacadadrtabd rtacd（hl）bdcd，12（2）如图，）如图，bdcd，abac. 求证：求证：adbc，12.abcd1 2证明：在abd和acd中abacbdcdadadabd acd（sss）adbad

10、c，12又adbadc180adbadc90即adbc（3）如图，）如图，12，abac. 求证：求证： adbc，bdcd.abcd1 2证明：在abd和acd中abac12adadabd acd（sas）adbadc，bdcd又adbadc180adbadc90即adbc(简写成三线合一)abcd性质性质2 2 等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角平分线平分线与与底边底边上的上的中线中线，底边底边上的高上的高互相重合互相重合 性质性质3 3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是线（底边上的中线、底边上的高）所在的直

11、线就是等腰三角形的对称轴。等腰三角形的对称轴。 归纳总结归纳总结1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线， 又是底又是底 边上的高。边上的高。应用格式：应用格式：abac 12（已知）（已知）bddc adbc（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。高，又是顶角平分线。应用格式：应用格式：abac bddc （已知）（已知）adbc 12 （等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）3、等腰三角形的底边上的高，既是底、等腰三角形的底边上的高，

12、既是底边上的中线，又是顶角平分线。边上的中线，又是顶角平分线。应用格式：应用格式：abac adbc （已知）（已知）bddc 12 （等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）性质性质2可分解成下面三个方面来理解：可分解成下面三个方面来理解： 归纳总结归纳总结画出任意一个等画出任意一个等腰三角形的底角腰三角形的底角平分线、这个底平分线、这个底角所对的腰上的角所对的腰上的中线和高，看看中线和高，看看它们是否重合？它们是否重合？abcdefabcd 1 1. . 根据等腰三角形性质根据等腰三角形性质2 2填空填空, ,在在abcabc中，中， ab=ac ab=ac， (1) adbc(1) a

13、dbc，_ = _ = _，_= _. _= _. (2) ad(2) ad是中线，是中线，_ _ ，_ =_._ =_.(3) ad(3) ad是角平分线，是角平分线，_ _ _ _ ，_ =_._ =_.abcdbadcadcadbdcdadbcbdbadbcadcd 知一线得二线知一线得二线 “三线合一三线合一”可以帮助我可以帮助我们解决线段的垂直、相等们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。以及角的相等问题。2 2、等腰三角形一个底角为、等腰三角形一个底角为7070, ,它的顶角为它的顶角为_._.3 3、等腰三角形一个角为、等腰三角形一个角为7070, ,它的另外两个角为它的另外两个

14、角为 _. _.4 4、等腰三角形一个角为、等腰三角形一个角为110110, ,它的另外两个角为它的另外两个角为_._. 顶角度数顶角度数+2+2底角度数底角度数=180=180 0 0顶角度数顶角度数180180 0 0底角度数底角度数9090结论结论: : 在等腰三角形中在等腰三角形中, ,40 35 ，35 70,40 或或 55,55 例例1、如图，在、如图，在abc中中 ，ab=ac，点，点d在在ac上，且上，且bd=bc=ad，求，求abc各角的度数。各角的度数。1、图中有哪几个等腰三角形、图中有哪几个等腰三角形？abcdx2x2x2xabc abd bdc2 2、有哪些相等的角？

15、、有哪些相等的角？abc=abc=acb=acb=bdc bdc a=a=abdabd3 3、这两组相等的角之间还有什、这两组相等的角之间还有什么关系？么关系？bdc=2bdc=2 a a abc+acb+ a=180 应用新知应用新知 已知：如图，房屋的顶角已知：如图，房屋的顶角bac=100 , 过屋顶过屋顶a的立柱的立柱ad bc , 屋椽屋椽ab=ac. 求顶架上求顶架上b、c、bad、cad的度数的度数.abdcbad=cad=50bad=cad（等腰三角形顶角的平分线与底（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）边上的高互相重合）.又又adbc，b=c= 180bac=40(三

16、角形内角和定理三角形内角和定理)解：在解：在abc中中ab=ac，b=c（等边对等角）（等边对等角）又bac=100 (1)(1)猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图将等腰三角形相等吗？如图将等腰三角形abc沿对称轴折叠，观察沿对称轴折叠，观察de与与df的关系，并证明你的结论。的关系，并证明你的结论。abcdef(2)(2)如果如果dede、dfdf分别是分别是ab,acab,ac上的中线或上的中线或adb, adcadb, adc的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类

17、似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段？线段？已知：已知：在在abc中，中，ab=ac.点点d 是是bc的中点，的中点，deab于于e, dfac于于f求证：求证：dedf活动（五）：活动（五）：拓展提高拓展提高1、等腰三角形的顶角一定是锐角。2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝 角都可以。3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角（x）（x）（）（x）（）例例1、如图，在、如图，在abc中中 ，ab=ac，点，点d在在ac上，且上，且bd=bc=ad，

18、求，求abc各角的度数。各角的度数。xx2x2x2x解：解：ab=acab=ac，bd=bc=adbd=bc=ad，abc=abc=c=bdc，a=abd(等等边对等角角)设a=x,则bdc= a+ abd=2x,从而abc= c= bdc=2x,于是在abc中，有a+abc+c=x+2x+2x=180，解得x=36，在abc中， a=36，abc=c=72如图，在abc中，ab=ac，d是bc边上的中点，b=30。求和adc的度数 ab=ac，d是bc边上的中点adc 90。 bac=180。-30。-30。=120 。160 abcd112bac （三线合一）课堂练习：课堂练习：谈谈你的收获