高斯公式与散度课件

1、高 斯公式与散度1一、高一、高 斯斯 公公 式式二、简单的应用二、简单的应用三、物理意义三、物理意义-通量与散度通量与散度四、小结四、小结 第六节第六节 高高 斯公斯公 式与散度式与散度高 斯公式与散度2一、高 斯 公 式定理定理设设 为空间有界闭区域，其边界曲面为空间有界闭区域，其边界曲面 由由 有限块光滑或分片光滑的曲面围成有限块光滑或分片光滑的曲面围成, ,若函数若函数),(zyxp、),(zyxq、),(zyxr在在 上具有一阶上具有一阶 连续偏导数连续偏导数, , 则有公式则有公式 yxrxzqzypvzryqxpddddddd)( (1)(1) 其中其中 表示表示 的边界曲面的的边

2、界曲面的外侧外侧. . 公式公式(1)叫做叫做高斯公式高斯公式.高 斯公式与散度3srqpvzryqxpd)coscoscos(d)( 或或这里这里 cos,cos,cos是是 上点上点),(zyx处的处的法向法向量的方向余弦量的方向余弦. . 高 斯公式与散度4证明证明设设闭闭区区域域 在在面面xoy上上的的投投影影区区域域为为xyd. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三三部部分分组组成成, , ),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 312:( , )( , ), ( , )xyz x yzz x yx yd 1 2 3 xyd高 斯公式与散度5根据三重积分的计算法根据三重积分的

3、计算法yxzzrvzrxydyxzyxzdddd),(),(21 .dd),(,),(,12 xydyxyxzyxryxzyxr根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法,dd),(,dd),(11 xydyxyxzyxryxzyxr ( (1 取下侧取下侧, , 2 取上侧取上侧, , 3 取外侧取外侧) )高 斯公式与散度6,dd),(,dd),(22 xydyxyxzyxryxzyxr ,dd),(,),(,12 xydyxyxzyxryxzyxr yxzyxrdd),(于是于是. 0dd),(3 yxzyxr.dd),(d yxzyxrvzr高 斯公式与散度7,dd),(d zyzyxp

4、vxp同理同理 yxrxzqzypvzryqxpddddddd)(-高斯公式高斯公式合并以上三式得：合并以上三式得：d( , , )d d ,qvq x y zy zy 高 斯公式与散度8gaussgauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)coscoscos()( dsrqpdvzryqxp 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知高 斯公式与散度9例例 计 算计 算 yxyzxzxyzyzxdddddd， 其 中， 其 中 是是122 yx，1 z及三坐标面围成的

5、第一卦限立体曲面及三坐标面围成的第一卦限立体曲面的外侧。的外侧。 高 斯公式与散度10二、简单的应用例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()( 其中为柱面其中为柱面122 yx及平及平面面3, 0 zz所围成的空间闭所围成的空间闭区域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. .xozy113高 斯公式与散度11, 0, 0, zryqzyxp dxdydzzy)(原式原式 dzddz)sin( 301020)dsin(ddzz (利用柱面坐标得利用柱面坐标得)xozy113解解, 0,)(yxrqxzyp .29 高 斯公式与散度12使用使用guass公式时

6、应注意公式时应注意:1.1.rqp,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数; ;2.2.是否满足高斯公式的条件是否满足高斯公式的条件; ;3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. . 4.4.若若不是闭曲面，可采用补上若干块曲面不是闭曲面，可采用补上若干块曲面 后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面 构成外侧或内侧构成外侧或内侧. . 高 斯公式与散度13例例2 2 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 yxzxzyzyxdddddd333的的外外侧侧为为曲曲面面：2222azyx vzyxd)(3222原式原式 arrrs022020ddind3 解解,

7、333zryqxp .5125a ,3,3,3222zryqxpzyx 高 斯公式与散度14例例3 3 .dddddd333yxrzxzryzyrxi,2222222zyxrazyx 的外侧的外侧的表面的表面为球为球设设 计算曲面积分计算曲面积分1,1,1yz 若若 为为x x所所围围成成。高 斯公式与散度15xyzo例例 4 4 计算曲面积分计算曲面积分 szyxd)coscoscos(222 , ,其中其中为为 锥面锥面 222zyx 介于平面介于平面 0 z及及)0( hhz 之间的部分的下侧之间的部分的下侧, , cos,cos,cos 是是在在),(zyx处处 的法向量的方向余弦的法

8、向量的方向余弦. . h 高 斯公式与散度16xydxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyd)(:2221hyxhz 补充补充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用为利用高斯公式高斯公式取取上上侧侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围围成成空空间间区区域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 高 斯公式与散度17 vzvzyxdszyxd2d)(2)coscoscos(1222 xydhyxzdzdxdy22,2.| ),(222hyxyxdxy 其中其中 xyddxdyyxhdszyx)()coscoscos(2222221 .214h

9、 高 斯公式与散度18 112222)coscoscos( dszdszyx 12 dxdyz.4h 故所求积分为故所求积分为 dszyx)coscoscos(222421h 4h .214h xyddxdyh2高 斯公式与散度19例例5 5 计算曲面积分计算曲面积分 yxyzxzyzyyxidd4d)d1(2dd)18(2.2,31,01 的夹角恒大于的夹角恒大于正向正向轴轴其法向量与其法向量与旋转一周而成的曲面旋转一周而成的曲面轴轴绕绕是由曲线是由曲线其中其中yyyxyz 高 斯公式与散度20三、物理意义-通量与散度设设有有向向量量场场 kzyxrjzyxqizyxpzyxf),(),()

10、,(),( 沿场中某一有向曲面的第二类曲面积分为沿场中某一有向曲面的第二类曲面积分为通量通量( (或流量或流量) )的定义的定义: : rdxdyqdzdxpdydzsf d称为向量场称为向量场),(zyxf向正侧穿过曲面向正侧穿过曲面的的通量通量. . 高 斯公式与散度212. 2. 散度的定义散度的定义: :kzyxrjzyxqizyxpzyxf),(),(),(),( 设向量场设向量场高斯公式可写成高斯公式可写成 sfvfdddiv称数量称数量zryqxpffzyxf div,div),divergence(),(即即记为记为处的散度处的散度在点在点为为),(zyxzryqxp 高 斯公

11、式与散度22设设有有向向量量场场),(zyxf, ,在在场场内内作作包包围围点点 m 的的闭闭曲曲面面 , , 包包围围的的区区域域为为 v, ,记记体体积积为为 v. . .d1内内的的平平均均源源强强在在称称为为 fsfv , , .)(div)(divlimd1lim,),(divddiv1d1*处处得得源源头头强强度度在在点点上上述述极极限限称称为为由由上上式式得得其其中中mfmfmfsfvmmfvfvsfvmm 高 斯公式与散度23.,0d,0)(div)2.,0d,0)(div)1处处有有负负源源在在称称有有时时当当处处有有正正源源在在称称有有时时当当mfsfmfmfsfmf 高斯

12、公式的物理意义高斯公式的物理意义:源头强度在立体源头强度在立体 上的三重积分等于单位时间内上的三重积分等于单位时间内流体通过流体通过 的边界流向外侧的总流量的边界流向外侧的总流量. .,)(div为无源场为无源场称称在场内处处为零在场内处处为零如果如果fmf高 斯公式与散度24四、小结 sdfdvfdiv（1）应用的条件）应用的条件（2）物理意义）物理意义2、高斯公式的实质、高斯公式的实质1、高斯公式、高斯公式 rdxdyqdzdxpdydzdvzryqxp)(高 斯公式与散度25思考题思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？高 斯公式与散度26思考题

13、解答思考题解答曲面应是分片光滑的曲面应是分片光滑的闭闭曲面曲面.高 斯公式与散度27一、一、 利用高斯公式计算曲面积分利用高斯公式计算曲面积分: :1 1、dxdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 为球面为球面 2222azyx 外侧；外侧；2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之间的圆柱体之间的圆柱体922 yx的整个表面的外的整个表面的外 侧；侧；3 3、 xzdydz, , 其其中中是上半球面是上半球面 222yxrz 的上侧的上侧 . .练习题练习题高 斯公式与散度28二、证明二、证明: :由封闭曲面所包围的体积为由封闭曲面所

14、包围的体积为 dszyxv)coscoscos(31 , ,式中式中 cos,cos,cos是曲面的外法线的方向余弦是曲面的外法线的方向余弦 . .三、求向量三、求向量kxzjyxizxa22)2( , ,穿过曲面穿过曲面 : :为为立方体立方体ayax 0,0, ,az 0的全表面的全表面, ,流流向外侧的通量向外侧的通量 . .四、求向量场四、求向量场kxzjxyieaxy)cos()cos(2 的散的散度度 . .高 斯公式与散度29五、设五、设),(,),(zyxvzyxu是两个定义在闭区域是两个定义在闭区域 上的上的具有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导数的函数, ,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法线方向的方向导的