12导数和数列综合证明(2)(检测+答案)

1、秽揺稱籍；耒劣式的这乘(報式代换丿“、1 I通常求导后得到一个不等式，形如 + x0利用这种式子构造n个不等式迭乘，如+-e得到n一个结果如-x2x-.-x+-+L12n形如：“心5/S)类型，可以用积式代换证明，即证 s且5/(1)导数和数列综合证明(二)例 S(2015安徽)设n GN*, Xn是曲线y=x2n+2+l在点(1, 2)处的切线与x轴交点的横坐标(I)求数 列xj的通项公式;()记7；=坷2些2证明：恥丄。4/?解:(1) y= (x2n+2+I) = (2n+2) x2n+l,曲线y=x2n+2+l在点(b 2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方 程为y-2= (2n+2)

2、 (x-1)令y=0,解得切线与x轴的交点的横坐标为兀=1 -1n+n+2n-2Iv2(21)2 _171-1=(2)证明：由题设和(1)中的计算结果可知：A/”兀沖当n=l时，7=1,当2时，因为心_1 =(1丫1 21； XXX-X2丿2 3n 4/?1 1 (2)法二：要证7；,即证只需花”_=/ 、27 =X2=丄=丄成立，.4 4/例2：已知/(x)=- = -L综上所述，可得对任意的虑N+,均有Tn.川.4/12Z J/g丰且且T7TTH畀4(/7 -1)4/2一4门 +14/ 4门4?2l_ln(x + l)(牙0)(1)函数/(X)在区间(0, +00)上是增函数还是减函数？证

3、明你3的结论：(2)当x0时，证明:/(%):(3)求证：(1+1-2) (1+2 3)l+n(n+l)，心r 4-1+ ln(x + l) vx0./(x).4；r n4/?17+T解：(1) /z(x) = -3(2)证明：当X0时，/(X)二一成立，即证当X0时，(X+l) In (X+1) +1-2 X 0成立.x + 1令g ( X ) = (X+1) In (x+1) +1-2 X,则g(x) = ln(x + l)-l,当X-1时,g(x)0,当0 vx ve-l时,g (x) vO jx = e-咐，g(x)取得最小值，即g(e-1) = 3-e0 ,当寸,(x + l)ln(

4、x + l) + l 2x0成立,RP： /(x)x + (3)由(2)知：ln(A + 1)- (x0), /.ln(x+l) -1=-1 = 2 -2-,Xx + lX+lX + X+X3令x = n(/t + l)(ne AT.), W!|lnl + n(n + l)j 2- -. /. In (1+1-2) +In (1+2-3) +.+lnl+n (n+1)n(n +1)秒杀殺務；裂项相消放缩与证明(s,rV加或25加)模型-：等差数列的裂项相消放缩亠存一卜 肘心)述嗨 2n-3, /.(1 + 1- 2)(1 + 2 3).1 + n(n + ) e2n3.n + 7i + l1已

5、知函数/(x) = lnx + -l(ne/?) ( I )讨论函数f(x)的单调性(口)求证：加2加3加4加丄(zi2xn/?eN*)2已知函数/(劝=11叮(I)如果当xni时,不等式/(X)恒成立，求实数的取值范围；XX+1(II)求证12-22-32.(/?-1)2n2(n + 1) e (” e NJ3.已知函数fM = anx-ax-3(aeR). (1)若心-1,求函数/(x)的单调区间；(2)若函数y =/(x)的图象在点(2,/(2)处的切线的倾斜角为45。，对于任意的庄1, 2,函数g(x) = x3+x2fx) + -2在区间(人3)上总不是单调函数，求也的取值范風(3)

6、求证：世x丄或x丄殖X丄竺2(曲2皿丘)234 n n模型二：等比数列的裂项相消放缩：设是以山为首项，且公比为g的等比数列，关于乞 一害 台(也+1)(仙+1)1y- -+1/-I (q +1)(4小+1) g-11 +1G+i =a”(a“ + l)，则丄= 一 =-+1色( +1)51+力+】1 1 d”+l+l丿1_ . 151ax+11(2-丄) +(2-丄)+ +2-1-22-33n(n +1)2/7-31 1+-+1-2 2-31n(n +1)2 1屮一1 7J +1 例3.已知函数/（A）= fllA +lx2-（l + fl）4A 0）其中为实数.（1）求函数f（X）的单调区间

7、：（2）若函 数/（A-）0对左义域内的任乳恒成立，求实数的取值范圉：（3）证明：对任意的正整数m, n,不等式!+_!_+_!_巴_ 恒成立.In （/J +1） In（加 +2） ln（m + /i） m（m + n）解：（1）T /（x）=dlnx +丄疋-（l + d）.v（x0）, . /（A）= +X-（1 + 6TXA:0）2x当心0时，若0 xL则f9（x）l,则厂（兀）0,故函 数/G）的增区间是（1, +00）.当0GV1舐 函数/（x）的单调减区间是（e 1）:单调將区间是（0,（1, +8）.当时，则/（x） = U（x0）,故函数/（兀）的单调增区间是（0, +00）

8、;当“1时,X函数/G）的单调递减区间是（1, 0时，/（1）0对定义域内的任意X不是恒成立的.乙当心0时，由（1）得/（X）在区间（0, -Ho）上的极小值，也是最小值为/（1） = -1-67，此时，/（1）0,乙解得必-丄，故实数的取值范围是-X-1 2I 2.（3）由（2）知，当“=一丄时.fx）= nx + -x2-x0,当且仅当*1时，等号成立，这个不等式a222一 =!丄，在上而的不等式中，令x=m+ 加+2, .m+n lnxJC-Xx-1%例4.设函数g(x)=-x3+ax2的图象在x = l处的切线平行于直线2x-y = 0.记g(x)的导函数为/(%).数列满足：5 =-

9、,曲=/()(I )求函数/(A)的解析式；(1【)试判断数列的增减性,并给岀2证明;(III)当时，证明:1! + ! + + !a = ,：. f(x) = x2+x :( II) V % = /(), : ,I+1= ”, + an= a, -a = a,；, ，故an0,所以a”一色0,所以厲是单调递增：(III) *.* % = an(a” + 1),=- - - = _ ，: - = - +1绻(+ 1)1+41+勺+ 1 111 111 11 1 1 1 -=-,-=- ,- =- =-l + j aa2 + a2a2a31 + rz3a3a41 + 42等价于1 iu1时,即对

10、任意的正整数m, n.I、1 +1 14In(加+ “)I11 m+ ” 一m + n )1 1 1- v 5+15则仃誌詁 h不等式1ln(/n + l)+1 1.+ ln(m + 2) In (/ + /?)/(/ + /?)n2（加+八）恒成立.令S”=丄一丄 + 丄一丄 +-=2- 2时，S”=52 2 3冷利卄1 + +a2112 4261-1- = + = 1, 1 0). (i)函数/(x)在区间(,+00)上是增函数还是减函数？证明你x3的结论：(2)当X0时，证明：/(x) ：(3)求证：(1 + 1-2) (1+2 3)l+n(n+l)戶“x + 1解：(1) /)=_+

11、ln(x + l),x0=f(x)0时，/(X)成立，即证当X0时，(X+l) In (X+1) +1-2 X 0成立.A+ 1令g ( X ) = ( X +1 ) In ( X +1 ) +1-2 X 则g(x) = ln(x + l)-l,当x e-l时,g(x) 0 ,当0 vx ve-l时,g(X)v0 /.-e-咐，g(x)取得最小值，即g(e-l) = 3_e0.当(x + l)ln(x + l) + l-2x0成立令x = n(n + l)(ne AT+), Jl!|lnl + /i(n + l)l 2- -/. In (1+1-2) +ln (1+2-3) +.+lnl+n

12、(n+1)n(n +1)3=2一3 + 2一3 ,(1 +1 2)(1 + 2 3)1 + n(n + )严.72 + 14数列心的各项均为正数，为其前项和，对于任意心N：总有成等差数列。(I)求数列心innx的通项公式；(II)设数列仇的前农项和为7；,且仇=_,求证：对任意实数xe(t4总有Tn2,neN4).1- -+ (x0),Xx + 1.ln(x+l)竺亠J = 2-丄2丄X+X + lX + lX2-3丄+丄+ + !1 22-3 n(n +1)=2/t 3(1-)/z + 1区间;(2)求/(x)在区间1-e2,1-e上的最值;(3)比较1 +扛1 +卜(1 +训与e的大小并给(2一占)+(2一3n(n +1)8若函数/（兀）的图象从左到右先增后减，则称函数/（X）为勺型函数，图象的最髙点的横坐标称为“C点”.（1）若函数/（x）=lnx-丄（工-1）为 f 型函数，试求实数加的取值范阿 并求出此时的勺点（2）2m9已知函数宀ng）.当时,求函数旳的单调区间;20已知函数/（x） = , （0=灯（0+二2一2卄2（