六节多元函数极值PPT课件

1、一一 多元函数的极值多元函数的极值1 极值的定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任意点 都有),(yxfz ),(0000zyxP),)(,(0PPyxP),(),(00yxfyxf则称函数 在点P0处取得极大值),(yxfz ),(00yxf如果有),(),(00yxfyxf则称函数 在点P0处取得极小值),(yxfz ),(00yxf 函数的极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。第1页/共21页 例如函数 在点（0，0）处取得极小值，如下左图：222yxzoxyzoxyz 函数 在点（0，0）处取得极大值，如上右图：22yxaz 如何求极值？如果能将有

2、可能使函数取得极值的点找到，这个问题就基本解决了。第2页/共21页2 二元函数极值存在的必要条件 定理1 设函数 在点 处取得极值，且两个偏导数都存在，则在点 有),(yxfz ),(000yxP),(000yxP00yzxz证明：因为 是函数 的极值，),(00yxf),(yxfz 若固定,0yy 则 是 一个一元函数，),(0yxfz 则该函数在 处取得极值，0 xx 又因为 对),(0yxfz 处可导，故0 xx 0),(0000 xxyyxxdxyxdfxz同理可证000yyxxyz第3页/共21页 将二元函数的两个偏导数为零的点称为驻点，则必要条件可叙述为： 可微函数的极值点一定是驻

3、点，但驻点不一定是极值点。3 极值存在的充分条件 定理1 设函数 在点 的某个邻域内具有二阶连续的偏导数，且点 是函数的驻点，即),(yxfz ),(000yxP),(000yxP0),(, 0),(0000yxfyxfyx设CyxfByxfAyxfyyxyxx ),(,),(,),(000000则（1） 当, 02 ACB点 是极值点，),(000yxP且 时，0A点 是极大值点，),(000yxP点 是极小值点。),(000yxP且 时，0A第4页/共21页 （2） 当 时，点 不是极值点。 02 ACB),(000yxP（3）当 时， 是否为极值点。 02 ACB),(000yxP不能确

4、定点总结：求极值的步骤：第一步：确定定义域（若未给出）；第二步：解方程组0),(, 0),(yxfyxfyx求得一切实数解，可得一切驻点。 第三步：对每个驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C。 第四步：定出 的符号，按充分条件的结论做出结论。ACB 2第5页/共21页例1 求函数 的极值。22) 1( yxz解：此函数的定义域为,| ),(RyRxyx解方程组0) 1(202yyzxxz解得驻点（0，1），又CyzByxzAxz2,0,222222所以, 0, 042AACB而故函数在点（0，1）取得极小值，为0。第6页/共21页例2 求函数 的极值。22442yxyxyxz解：此函数的定义域为

5、,| ),(RyRxyx解方程组0224022433yxyyzyxxxz解得驻点P1(-1,-1)， P2(0,0)， P3(-1,-1)，又212, 2, 2122222222yyzyxzxxz列表讨论如下：第7页/共21页 驻点参数P1（-1，-1）P2（0，0）P3（1，1）ABCB2-ACz10101010-2-2-2-2-2-96-960-2 极小值0 不能确定-2 极小值第8页/共21页 例3 求证函数 有无穷多个极大值点而无一个极小值点。yyyexezcos)1 (解：此函数的定义域为,| ),(RyRxyx解方程组0) 1(cos0sin)1 (yxeyzxexzyy得)(1)

6、 1(Zkykxk又)2(cos,sin,cos)1 (22222yxeyzxeyxzxexzyyy所以第9页/共21页为偶数为偶数为奇数为奇数为偶数为偶数为奇数为奇数kkeekkeeAkkkkk1C0B21)1(21)1(21) 1() 1(21) 1)(1 (故当 为奇数时，kzeeACB, 0)()1 (0222无极值。故当 为偶数时，k, 0) 1()2(02 ACB-20 ，函数z有极大值，即当 时， 且A=0,2ykx函数 有极大值。yyyexezcos)1 (由于 取整数，k所以函数有无穷多个极大值点，而无一个极小值点。第10页/共21页二二 多元函数的最值多元函数的最值 函数

7、如果在有界闭区域D上连续，则一定在该区域上可以取得最大值和最小值。二元函数的最值，也可能在区域D内的驻点、不可微点或区域的边界上取得。),(yxfz 求二元函数最值的方法是： 将函数在所讨论的区域内的所有驻点的函数值，不可微点的函数值以及函数在区域边界上的最值相比较，其中的最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值。第11页/共21页 例4 求函数 在闭区域 上的最值。 yxyxz1612222522 yx解：由于函数z在区域D内处处可微，解方程组01620122yyzxxz得驻点（6，-8），函数在该点处的值为在D的边界上，将20,sin5,cos5yx代入函数中得100)8(16612

8、)8(622z第12页/共21页)53sin(arcsin10025)sin54cos53(10025sin80cos6025z由于,20 所以在边界上函数的最大值为125，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上的最大值为125，最小值为-100。 例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的圆锥形中空浮标，如图。在体积V是一定量的情况下，如何选择圆柱和圆锥的尺寸，才能使制作的材料最省？第13页/共21页 解：设圆柱的底面半径为 ，高为H，圆锥的高为 ，由题意得rhhrHrV2232所以hrVH322又2222234222hrrrhrVhrrrHS定义域为. 0, 0hr解方程组02340243

9、422222222hrrhrhShrhrhrVrS第14页/共21页解得驻点335035,5032VrVh代入H H 的表达式得 。hH 从实际考虑，此浮标在体积V一定的条件下，存在最小的表面积。 故制作时应取,50323VhH才能使制作材料最省。,50353Vr总结求实际问题的最值步骤如下：第一步：建立函数关系式，确定定义域；第二步：求出所有驻点；第三步：结合实际意义，判定最大或最小值。第15页/共21页三三 条件极值条件极值先看如下的例子：1 yx在 的条件下，求函数 的极值。xyz 解：从 中解出1 yx,1xy并代入xyz 中得,2xxz 这是一个一元函数，可用一元函数求极值的方法解，

10、不难得到在点 处取得极值为)21,21(.41 这类问题称为条件极值条件极值， 称为约束约束条件条件。1 yx 当把约束条件代入函数（称目标函数）时，条件极值化为无条件极值。第16页/共21页 对于条件极值问题，我们经常采用所谓Lagrange乘数法，步骤如下：第一步第一步：构造辅助函数（Lagrange函数）；第二步：第二步：解方程组),(),(),(yxyxfyxL0),(00yxLfLfLyxyxxx第三步：第三步：判断所有驻点是否为极值点。第17页/共21页 例6 某厂生产甲乙两种产品，计划每天的总产量为42件，如果生产甲产品 件，生产乙产品 件，则总成本函数为xy22128),(yx

11、yxyxC单位为元，求最小成本。解：约束条件为042),(yxyx构造 Lagrange 函数：)42(128),(22yxyxyxyxL解方程组：042024016yxLyxLyxLyx第18页/共21页得驻点（25，17）。 由于驻点是唯一的，所以在此点处函数取得最小值，即应计划每天生产甲产品25件，乙产品17件，才能取得最小的成本，为：C（25，17）=8252-2517+12172 =8043（元）这个方法还可以推广：（1 1）如：目标函数为：),(zyxfu 约束条件为： ，可设Lagrange函数：0),(zyx),(),(),(zyxzyxfzyxL然后解下面方程组讨论。第19页/