教学课件第八章应力与应变分析

1、 8- -1 一点的应力状态一点的应力状态 8- -3 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法 8- -4 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法 8-5 三向应力状态三向应力状态 8- -8 广义胡克定律广义胡克定律 8- -9 复杂应力状态下的应变比能复杂应力状态下的应变比能 8-108-10 强度理论概述强度理论概述 8-11 8-11 四种常用强度理论四种常用强度理论 小小 结结1一点的应力状态一、一点的应力状态受力构件一点处各个不同截面上的应力情况2研究应力状态的目的找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。1)代表一点的应力状

2、态；单元体法1单元体2)每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示；3)平行面上的应力大小相同、方向相反；4)三个相互垂直面上的应力已知。二、研究应力状态的方法围绕构件内一点截取的微小正六面体。具有以下特点：2单元体上的应力分量1)单元体上的应力分量共有 九个，独立分量有六个；2)应力分量的角标规定：xozydzdxdyxyzosysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴；两角标相同时，只用一个角标来表示。例如txy表示x面上平行于y轴的切应力，sx表示x面上平行于x轴的正应力；3)面的方位用其

3、法线方向表示，例如x面表示法线平行 于x轴的面；4)切应力互等定理：yxxyxzzxzyyzt tt tt tt tt tt t ，3截取单元体的方法与原则1)在一点用与三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依 问题和构件形状而定)垂直的平面截取，因其微小， 看成微小正六面体；2)单元体各个面上的应力已知或可求；3)几种受力情况下截取单元体方法：fmemeffmeme横截面、周向面、直径面各一对，从上表面截取ctss横截面、周向面、直径面各一对b一对横截面，两对纵截面asf/astme /wpabcfcabbtbctcscscasasa1主应力、主单元体、主平面的概念三、应力状态的分类(按主应力)1

4、)主平面： 单元体上切应力为零的平面2)主单元体：各面均为主平面的单元体，主单元体上有三对主平面；旋转yxzs2s3s1sxsztxytxztzxtzytyztyxsy3)主应力： 主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，且s1s2s3。xyz(找主平面、主单元体和主应力)2应力状态按主应力分类1)单向应力状态： 只有一个主应力不为零的应力状态；2)平面应力状态： 有二个主应力不为零的应力状态，也称为二向应力状态；3)三向应力状态： 三个主应力均不为零的应力状态，也称为空间应力状态；4)单向应力状态又称为简单应力状态；平面和空间应 力状态又称为复杂应力状态。4)围绕一点至少存在一个主单元体，

5、应力分析的主 要目的就是寻找主单元体和主应力。平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法1平面应力状态的表示方法(一般表现形式)一、平面应力状态分析的解析法平面应力状态一般表现为：单元体上有一对侧面应力为零，而其它四个侧面上应力都平行于应力为零的侧面。sxtxysysysxtyxsytyxtxysxsx2任意a角斜截面以及与之相垂直斜截面上的应力1)公式推导sxtxysysysxtyxabxydasxtxytyxsyx xsatatxysytyxsadaa aa at tcos)cosd(axy a aa at tsin)sind(ayx a aa as ssin)cosd(ax a aa

6、as scos)sind(ay 0 0：fdaa aa at tsin)cosd(axy a aa at tcos)sind(ayx a aa as ssin)sind(ay a aa as scos)cosd(ax sx0 0：f)sin(cos)sinsin(sininc2sincos22xyyxxy2y2xantasxtxysysysxtyxabdasataantacos2sin22sin2cos222xyyxxyyxyx2)a角斜截面应力公式由三角变换得单元体上所绘s、t，数值代表大小，箭头方向代表正负。4)推导公式时，sx、sy、txy、a 角均假设为正，实际计算时应 代入各参量的正

7、负。s ：拉为正，压为负；a ：以x轴正向为起线，逆时针转 至外法线方向者为正，反之为负；t ：使微元产生顺时针转动趋势者为正；反之为负。ax3主应力及其方位1)由主平面定义：0yxxys ss st ta a 22tan0，得：yxxys ss st ta a 22ant0可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。2)得：令0ddasa即主平面上的正应力取得所有方向正应力的极值。3)主应力大小：)(2222s ss st ts ss ss ss ss ss s xyyxyx4)由s 、s 、0按代数值大小排序得出：321s ss ss s 5)判断s、s作用方位(与两个a0如何对

8、应)txys s a0*yxxys ss st ta a 22tg0a)由： 求得一个a0：o0o4545 a a 90*90*0o00o000s sa as sa aa as ss ss sa as sa aa as ss s，：，：yxyxb)txy箭头指向第几象限(一、四)，则s(较大主应力) 在第几象限，即先判断s 大致方位，再判断其与算 得的a0相对应，还是与 a0+90o相对应。6)o90 a aa as ss ss ss ss ss syxtxys s a0*1)得：得：令令0dd a at tyx4极值切应力2)极值切应力：可求出两个相差90o的a1值，对应两个互相垂直的极值切

9、应力方位。xyyxt ts ss sa a22tan1 2222s ss st ts ss st tt t xyyx3)极值切应力方位与主应力方位的关系：102tan12tana aa a 极值切应力平面与主平面成45o例8-1 图示单元体，试求：a=30o斜截面上 的应力；主应力并画出主单元体； 极值切应力。403020单位：mpaasata402030 mpa3 .2060cos)20(60sin24030mpa8 .2960sin)20(60cos2403024030ooooa aa at ts s mpa3 .45mpa3 .35202403024030 22s ss smpa3 .4

10、02 s ss st tt tc o90a aa as ss ss ss s解：1) a=30o斜截面上的应力2)主应力与主单元体3)极值切应力4)讨论并证明：同一单元体任意垂直平面上的正应力之和为常数。14.9os s s s mpa3 .45 0mpa3 .35321 s ss ss ss ss s，主主单单元元体体如如上上o009 .144030202tan a aa atabcd例8-2 分析圆轴扭转时的应力状态。memedcba主单元体如左主单元体如左，t ts ss ss st ts ss s 03213)圆轴扭转时，任意点为纯剪切应力状 态，最大拉、压应力在与轴线成45o 斜截面

11、上，它们数值相等，均等于横 截面上的切应力；4)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面 上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断；5)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与 轴线成45o的螺旋面拉断。pe/wm t tx45o-45os3s1s1s3解：1) 围绕圆轴外表面一点取单元 体abcd：t tt ts ss s 222020 2)求主应力和主单元体o004502tan a at ta aq5主应力迹线1)作法将一点的主拉(压)应力方向延长与相邻横截面相交，再求出交点的主拉(压)应力方向，依次得到一条曲线主拉(压)应力迹线。2)主应力迹线的特征 同一

12、类主应力迹线不能相交； 两类主应力迹线若相交，则必然正交； 所有主应力迹线与轴线相交的夹角均为45o； 所有主应力迹线与梁的上或下边缘垂直相交； 主应力迹线只反映主应力方向，不反映大小。1理论依据平面应力状态分析的图解法应力圆 a at ta as ss st ta at ta as ss ss ss ss sa aa a2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx2222222 xyyxyxt ts ss st ts ss ss sa aa a以s、t为坐标轴，则任意a 斜截面上的应力sa、ta为为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，22202xyyxyxt ts ss ss ss

13、 s 二向应力状态分析二向应力状态分析图解法图解法ost2应力圆的绘制sxsxtxytyxtxytyxsysyxyc2a0 b1 s a1s 2asa ,taeg1 t g2 t d(sy, tyx)bad(sx, txy)nasata1)选定坐标及比例尺；2)取x面的两个应力值，定出d(sx , txy)点，取y面的两个应力值，定出d(sy , tyx)点；3)连dd交s 轴于c点，以c为圆心，dd为直径作圆。3应力圆的应用1)点面对应关系：2)角度对应关系： 应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力； 应力圆上半径转过2a，单元体上的面转过a ；3)转向对应关系： 应力圆上半径的转向与单元

14、体上面的旋向相同；ostc2a(sa ,ta )e d(sy, tyx)bad(sx, txy)xsxsxtxytyxtxytyxsysyynasata4)求外法线与x轴夹角为a 斜 截面上的应力，只要以d为 起点，按a 转动方向同向转 过2a 到e点，e点坐标即为 所求应力值。5)应力圆确定主平面、主应力应力圆上纵轴坐标最大的g1点为t，纵轴坐标最小的g2点为t，作用面确定方法同主应力。由主平面上切应力t=0，确定d转过的角度；d转至s轴正向a1点代表s所在主平面，其转过角度为2a0*，转至s轴负向b1点代表s所在主平面；ostc2a0* b1 s a1s g1 t g2 t d(sy, t

15、yx)bad(sx, txy)sxsxtxytyxtxytyxsysy6)确定极值切应力及其作用面4)作应力圆，并由几何关系算出或由 比例尺量出：0mpa40mpa80321 s ss ss s，mpa3 .17 t t60o解：一、图解法1)由竖直面be上的应力 得到应力圆上的d点：sot17.34080d120odlc2)由ab面上的正应力 作直线s：例8-3 平面应力状态如图所示，试用应力圆和解析法分别求出主应力和斜截面ab上的切应力t。(应力单位：mpa)b5080a5080tt60oe则应力圆上代表ab面应力的点一定在该直线上3)作直线l，使其满足：与s轴正向 逆时针夹角120o，交

16、直线s于d， 交s轴于c，|cd|=|cd|50s解：二、解析法1)建立坐标系2)截取微块abc60ob5080a5080tte由于ac面为主平面，其上切应力为零，则根据切应力互等定理bc面上切应力也为零，只有主应力sy。3)将ab看成斜截面，求解其 上应力xy8060o50tsybac120cos28028050yys ss s mpa40 ys s0mpa40mpa80321 s ss ss s，mpa3 .172cos2sin2 a at ta as ss st txyyxa at ta as ss ss ss ss sa a2sin2cos22xyyxyx 例8-4 图示单元体，试求：

17、a=30o斜截面上 的应力；主应力并画出主单元体； 极值切应力。403020单位：mpaasata解：1) a=30o斜截面上的应力2)主应力并画出主单元体sotd(30,-20)d(-40,20)c60o(29.8,20.3)mpa3 .20mpa8 .29oo3030 t ts s，35.3-45.3mpa3 .450mpa3 .35321 s ss ss s，29.8ooo*019 .142/8 .29 a as s轴夹角：轴夹角：与与x40203014.9os s s s mpa3 .40 t tt t3)极值切应力：40.3-40.3三、几种应力状态的应力圆1单向拉伸和压缩应力状态1

18、)单向拉伸ss2)单向压缩ssostcsdd c see 圆心c：(s/2,0)d(s/2, s/2)d(s/2, -s/2)极值切应力点：主应力：0321 s ss ss ss s，圆心c：(-s/2,0)e(-s/2, s/2)e(-s/2, -s/2)极值切应力点：主应力：s ss ss ss s 3210，2纯剪切应力状态ostttttc圆心c：(0,0)d(0, t)d(0, -t)极值切应力点：主应力：t ts ss st ts s 3210，ddpppp3两向均匀压(拉)应力状态ostssss主应力：s ss ss ss s 3210，cs两向均匀压(拉)应力状态的应力圆为s轴上

19、的一点。因此其任意方向均为主应力方向，任意平面均为主平面ppp任意形状平面，只要边界各点承受大小相同垂直作用于边界的力，则其内部任意一点均为两向均匀压(拉)应力状态，同样对于三维构件(如圆球)，就为三向均匀压(拉)应力状态。1三向面应力状态下的应力圆一、三向应力状态下的应力圆s3s2s1s2s3s1s2s1s3otsc2s3c1c3s1s21)平行s3斜截面上应力由s1、 s2作出应力圆上的点确定；2)平行s1斜截面上应力由s2、 s3作出应力圆上的点确定；3)平行s2斜截面上应力由s1、 s3作出应力圆上的点确定；t23otsc2s3c1c3s1s2t13t122三向应力状态下的最大切应力4

20、)由弹性力学知，任意斜 截面上的应力点落在阴 影区内。22112s ss st t 23223s ss st t 23113s ss st t 23113maxs ss st tt t tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。三、例题sy=140txy=150sx=300a视解法一：1)已知一个主应力：sz=90mpa。mpa150mpa140mpa300 xyyxt ts ss s，2)将单元体沿z方向投影，得到平面应力状态：例8-5 试确定图示应力状态的主应力和最大切应力， 并确定主平面和最大切应力作用面位置。xzy90300150140单位：mpampa503902222 x

21、yyxyxt ts ss ss ss ss ss s81522tan0 yxxys ss st ta ampa50mpa90mpa390321 s ss ss s，o0o012131 a aa a，根据txy方向，s1与x逆时针夹角为31o，s3与x轴夹角121o，均在xoy平面内mpa170231max s ss st t 最大切应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。xzys2y31o31os1xs3a一、广义胡克定律1)主应变：1有关概念2)正应力只引起线应变，切应力只引起切应变；沿主应力方向的应变，分别用e 1e 2e 3表示；2广义胡克定律2)推导方法： 利用

22、叠加原理和第一章里讨论的拉压和剪切胡克定律。1)广义胡克定律：应力与应变的关系，又称本构关系；s1s2s3s1s1is2s2iis3iiis1方向上的应变：s2方向上的应变：s3方向上的应变：eee/1312111sse esse es se es s eee/2322212sse es se esse es s eee/ / / 3332313s se esse esse es s )(1 )(1 )(1 213333313222223211111s ss s s se ee ee ee es ss s s se ee ee ee es ss s s se ee ee ee eeees1is

23、1s2iis2iiis33)主应力与 主应变的 关系：4)一般情况： gggeeezxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx/)(1)(1)(1t t t t t t s ss s s se es ss s s se es ss s s se e，5)用应变表 示应力： zxzxyzyzxyxyzzyxzyzyxyxzyxxgggeeeeee t t t t t te e e ee ee e s se e e ee ee e s se e e ee ee e s s，1)()21)(1(1)()21)(1(1)()21)(1(6)平面应力状态下：sz、 tyz 、 txz 为零。 gee

24、exyxyyxzxyyyxx/)()(1)(1t t s ss s e esss se esss se e xyxyxyyyxxgee t teee e s seee e s s)()1()()1(22二、体积应变与应力分量之间的关系1)长a、宽b、高c的单元体变 形前体积：1体积应变2)在主应力s1、 s2、 s3作 用下，单元体体积变为：abcv )1()1()1(3211e ee ee e cbav)1(321e ee ee e abc3)体积改变率(体积应变)vvvvv 1 abcs3a(1+e1)s1s2b(1+e2)c(1+e3)321e ee ee e 4)体积应变的应力表达式：

25、keezyxm321)(21)(21s ss ss ss s s ss ss s 代入胡克定律33321mzyxs ss ss ss ss ss ss s 平均应力)21(3 ek体积模量三、例题例8-6 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm 的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制 圆柱如图，圆柱受到f=300kn的轴向压力。 假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取 e=200gpa， =0.30。fps3=f/as= psr=ppp解：1)圆柱横截面上的应力mpa153/3 afs s2)圆柱径向应变0002. 0505001.50 re e3)截取单元体如图4)由广义胡克定律000

26、2. 0)153(1)(1 ppeezrr s ss s s se e mpa43. 8 p5)圆柱内任意点主应力为：mpa153mpa43. 8321 s ss ss s，一、总应变比能1)应变能(变形能)：1有关概念伴随弹性体的变形而储存在弹性体的能量，用u表示；2)比能： 单位体积内储存的应变能，用u表示；3)克拉贝依隆原理： niiifu121 该原理只在线弹性条件下成立f i： i ：广义力；与广义力相对应的广义位移；1)取主应力单元体，假定三个 主应力按某一比例由零同时 增加到最终值，则该单元体 所储存的应变能为2总应变比能s 2s 1s 3dxdydze 1e 2e 3)d)(d

27、d(5 . 0)d)(dd(5 . 0)d)(dd(5 . 0332211yxzzyxxyzue es se es se es s 2)比能：)(21332211e es se es se es s vuu3)代入广义胡克定律)(221133221232221s ss ss ss ss ss s s ss ss s eu二、体积改变比能uv与形状改变比能uf1)单元体的变形：1有关概念体积改变和形状改变s 3s 2s 1体积应变只与平均正应力有关，则体积改变比能只与平均正应力有关。体积改变smsmsms3 sms2 sms1 sm形状改变2)体积改变比能： 与体积改变相对应的比能，用uv表示；

28、3)形状改变比能： 与形状改变相对应的比能，用uf表示；4)fvuuu 2uv、 uf公式1)体积改变比能：23212mv)(6212)21(3s ss ss s s s eeu2)形状改变比能：)()()(61213232221fs ss ss ss ss ss s eu一般情况下：)(6)()()(61222222fzxyzxyxzzyyxeut tt tt ts ss ss ss ss ss s 1失效：一、失效方式构件失去它们应有的功能1)强度失效方式：2失效方式取决于材料的种类、加载方式、构件所处的 应力状态和工作环境等主要表现为： 强度失效、刚度失效、失稳与屈曲失效、疲劳失效、蠕变

29、与松弛失效。屈服与断裂2)刚度失效方式： 构件产生过量的弹性变形3)屈曲失效方式： 构件平衡状态的突然转变4)疲劳失效方式： 交变应力作用引起构件的突然断裂1脆性材料二、单向拉伸应力状态下的强度失效1)失效形式： 断裂2)失效判据：由单向拉伸试验建立bs ss s 2塑性材料1)失效形式： 屈服2)失效判据：由单向拉伸试验建立ss ss s 1简单应力状态下强度准则可由试验确定；三、强度准则的提出2一般应力状态下，材料失效方式不仅与材料性质有关， 且与应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关；1)一般脆性材料脆断，塑性材料屈服；2)脆性材料在三向等压应力状态下会产生塑性变形， 塑性材料在三向等

30、拉应力状态下会发生脆性断裂；1)金属材料的失效分为：3复杂应力状态下的强度准则不能由试验确定(不可能 针对每一种应力状态做无数次试验)；4强度准则塑性屈服与脆性断裂；2)强度准则(强度理论)：材料失效原因的假说；3)通过强度准则，利用单向拉伸试验结果建立各种应 力状态下的失效判据和相应的设计准则。一、断裂失效的三种类型构件在载荷作用下，没有明显塑性变形而发生突然破坏的现象。1脆性材料的突然断裂；断裂失效：2有裂纹或缺陷构件的断裂；3渐近性断裂，亦称疲劳断裂；本章只讨论第一情况脆性断裂2强度准则：/1bu1s ss ss ss s n失效判据：b1u1s ss ss ss s 3su由单向拉伸断

31、裂条件确定：bbus ss ss sn 4应用情况： 符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向拉伸和扭转中的脆断；未考虑其余主应力影响且不能用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。最大拉应力s1，与应力状态无关；一、最大拉应力理论（第一强度理论） 无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是最大拉应力s1达到材料在单向拉伸时的极限应力su。最大拉应力准则：1断裂原因：2强度准则：)(/321bu1s ss ss s s se ee e n失效判据：b321u1)(s ss ss s s se ee e 3e u由单向拉伸断裂条件确定：ene/ /bbus ss se e 4应用情况： 符合

32、表面润滑石料的轴向压缩破坏等，不符合大多数脆性材料的脆性破坏。最大伸长线应变e1，与应力状态无关；二、最大伸长线应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态，发生脆性断裂的共同原因是最大伸长线应变e1达到材料在单向拉伸时的极限应变eu。最大伸长线应变准则：1断裂原因：2强度准则：/31sumaxs ss ss st tt t n失效判据：s31umaxs ss ss st tt t 3tu由单向拉伸屈服条件确定：222ss31us ss ss ss st tn 4应用情况：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。最大切应力tmax，与应力状态无关；三、最大切应力理论（第三强度理论） 无论

33、在什么样的应力状态下，材料发生屈服流动的原因是最大切应力tmax达到材料在单向拉伸时的极限切应力tu。最大切应力准则(tresca准则)：1屈服原因：2强度准则：)()()(21213232221sfufs ss ss ss ss ss ss s nuu失效判据：2s213232221fuf2)()()(s ss ss ss ss ss ss s uu最大形状改变比能uf，与应力状态无关；四、最大形状改变比能理论（第四强度理论） 无 论 在 什么样的应力状态下，材料发生屈服的共同原因是形状改变比能uf达到材料在单向拉伸时的极限值ufu。最大形状改变比能准则(mises准则)： 1屈服原因：3u

34、fu由单向拉伸屈服条件确定：2s2s2s213232221fu)(31)(61)()()(61s s s ss s s ss ss ss ss ss s neeeu 4应用情况：比最大切应力准则更符合试验结果。强度准则的统一形式1一般情况下，脆性材料将发生脆性断裂，因而选用最 大拉应力准则和最大伸长线应变准则；而韧性材料一 般发生屈服，故应选tresca和mises准则。2材料的失效形式不仅取决于材料的性质，而且与其所 处的应力状态、温度和加载速度有关，因此对构件进 行全面的分析，以决定其失效形式。 3ct1rm2132322214r313r3212r11r)()()(21)(s ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss s s ss ss ss s强度准则的统一形式：rs ss s i 其中i=1，2，3，4，m 分别表示最大拉应力，最大伸长线应变，最大切应力和最大形状改变比能和莫尔强度准则。s ri相当应力，例题例8-7 某结构危险点的应力状态如图所示，其中s =120mpa，t =60mpa。 材料为钢，许用应力s=170mpa，试校核此结构是否安全。ts22)2(2t ts