线性代数与空间解析几何

1、7.3 7.3 二次型的标准形与惯性定理二次型的标准形与惯性定理1. 1. 二次型的标准形与惯性定理二次型的标准形与惯性定理示示例例1121212112222211 2 ()323,fxzzxxxzyyxyyx xzx 如如下下两两个个不不同同的的可可逆逆线线性性变变换换和和可可将将二二次次型型化化为为不不同同的的标标准准形形22122212 9 4.yzyz 和和一个二次型的标准形中一个二次型的标准形中, 正系数正系数( (负系数负系数) )的个数是确定不变的的个数是确定不变的. .定理的证明巧妙地使用了定理的证明巧妙地使用了齐次线性方程齐次线性方程组有零解的条件组有零解的条件, 有兴趣的同

2、学请看课本有兴趣的同学请看课本.【证证明明】, ,.p由由上上述述定定理理知知 这这里里的的就就是是正正惯惯性性指指数数 也也是是正正特特征征值值的的个个数数首先首先, 存在正交阵存在正交阵 p 使得使得t111diag(,),pprrnp ap ;i 这这里里的的按按正正、负负、零零的的顺顺序序排排列列,.pra由由于于可可逆逆 这这里里的的 就就是是的的秩秩在对角阵在对角阵11diag(,0,0)ppr 的两边乘可逆对角阵的两边乘可逆对角阵111111|diag(,1,1)prpq 得到得到diag(, 0).prpee ,kpqxky此此时时 令令取取可可逆逆变变换换则则有有tt2222

3、11().pprfyk ak yyyyy 【解解】, |.aa首首先先就就是是的的所所有有特特征征值值的的乘乘积积,a 若若为为的的特特征征值值 则则有有2(1) (2)0, 1, 2. ,:a由由惯惯性性定定理理知知道道的的特特征征值值中中有有两两个个正正 一一个个负负1232,1; |22( 1)4.a 2. 2. 实对称阵的合同实对称阵的合同现在现在, 我们换个角度看二次型的标准形及其惯性我们换个角度看二次型的标准形及其惯性.【证证明明】综合全面的结论综合全面的结论, 不难证明不难证明(留作练习留作练习).一一切切二二阶阶实实对对称称阵阵按按合合同同分分【例例】 多多少少类类特特【解解】

4、:二二阶阶实实对对称称阵阵的的一一切切合合同同标标准准形形如如下下0 01 01 01 01 01 0,;0 00 00 00 101016.分分类类3. 3. 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形22),2.(abaabb事事实实上上 用用公公式式可可将将任任何何一一个个二二次次型型化化成成标标准准形形 以以下下我我们们举举例例说说明明这这一一点点123121323 (,)226.xcyf xxxx xx xx x 【例例2 2】 求求可可逆逆变变换换化化二二次次型型为为标标准准形形【解解】 ( (先先造造出出平平方方项项) )用用线线性性变变换换11221233,xzzxzzx

5、z ( (为为什什么么如如此此?)?)22123121 323(,)2248;f xxxzzz zz z12322121 323(,)2248f xxxzzz zz z1z( (集集合合含含的的项项) )22221331(24)28zz zzz z 232211 322323(24)8222zz zzzzzz 22211 32323223362(2)2(44)zz zzzz zzz 222213332()2()6,2zzzzz 将将线线性性变变换换113223332,yzzyzzyz 代代入入上上式式得得到到222123123(,)226.f xxxyyy11221233,xzzxzzxz 113223332.yzzyzzyz :将将上上面面的的两两个个线线性性变变换换复复合合起起来来11223311 0= 11 000 1,xzxzxz 1122331 01= 0