线性代数55相似对角化

1、第五节第五节 实对称矩阵的实对称矩阵的 相似对角化相似对角化定理定理1 1实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. .( (证明略）证明略）5.1 对称矩阵特征值与特征向量的性质对称矩阵特征值与特征向量的性质说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵.,0,0)( , 以取实向量以取实向量从而对应的特征向量可从而对应的特征向量可系系知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实系数方程组是实系数方程组线性方程组线性方程组所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 eaxeaaiii 定理定理1

2、1的意义的意义., 221212121正交正交与与则则若若是对应的特征向量是对应的特征向量的两个特征值的两个特征值是对称矩阵是对称矩阵设设定理定理ppppa 注注: : n阶方阵阶方阵a为实对称阵的充分必要条为实对称阵的充分必要条 件是件是a有有n个彼此正交的实特征向量个彼此正交的实特征向量. ,)( , , 3个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量恰恰有有应应特特征征值值从从而而对对则则重重根根方方程程的的的的特特征征是是阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理rrnearrana . , 41素素的的对对角角矩矩阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元的的是是以以其其中中使使则则必必有有正正交交

3、矩矩阵阵阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理naapppna 5.2 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：( (教材教材p145)p145)将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2. ;, 0的的特特征征向向量量求求出出由由axeai 1.;的的特特征征值值求求a解解 20212022ea 214 0 . 2, 1, 4321 得得);2( 1 ,154,020212022)1(pa教材教材 310

4、130004)2(a例例1 1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.app1 p(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值a 的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步axeai, 0 得得由由对对, 04, 41 xea 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 得得由由对对, 0, 12 xea 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 得得由由对对, 02, 23 xea 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得

5、基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 a第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 p作作.200010004 1 app则则 310130004)2(a 310130004ea ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得得基基础础解解系系由由对对, 02, 21 xea 1101 得得基基础础解解系系由

6、由对对, 04, 432 xea .110,00132 ,32恰好正交恰好正交与与 .,321两两正交两两正交所以所以 得得令令单位化单位化再将再将3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 于是得正交阵于是得正交阵 2102121021010,321 p.400040002 1 app则则练习:教材p147 例2 例例2 2 设矩阵设矩阵101020 ,101a解解 由由101020101ae2(2) ,使使b与与相似相似,并求并求k为何值时为何值时,b为奇异矩阵为奇异矩阵.令矩阵令矩阵b(ke+a)2,其中其中k为实数为实数,为为e单位矩阵单位矩阵,求

7、对角矩阵求对角矩阵记对角矩阵记对角矩阵200020 ,000 可得可得a的特征值为的特征值为122，30. 因为因为a为实对称矩阵为实对称矩阵,故故b也是也是实对称矩阵实对称矩阵存在存在正交阵正交阵p,使得使得p-1ap=.故故b的特征值为的特征值为 k2 ,(k+2)2 由此可得由此可得222t22.ppkkk22222.kkk 显然显然b与与a相似相似,且且k=0或或 k = 2时时,b为奇异矩阵为奇异矩阵. 例例3 3 设设3阶实对称矩阵阶实对称矩阵a的特征值为的特征值为1=0,2=1( (二重二重) )，a的属于的属于1的特征向量为的特征向量为1=(0,1,1)t，求，求a.习习p13

8、3 16题题解解:由于由于3阶实对称必可对角化阶实对称必可对角化,对于二重特征值对于二重特征值21的线性无关的特征向量应有两个的线性无关的特征向量应有两个, 设为设为2,3 , 则则2,3与与1正交正交. . 设与设与1正交的向量为正交的向量为(x1,x2,x3)t,则则xxxxx1t12233(0,1,1)0, 解此方程组得基础解系解此方程组得基础解系23100 ,1 .01 由于由于 与与 正交，所以只需将正交，所以只需将1,2,3单位化单位化. .210 ,0p 01212p1= ,01212p3= .2 3 令矩阵令矩阵p=(p1,p2,p3)=0101102211022,01.1 则

9、则p为正交矩阵，且为正交矩阵，且p-1ap=,所以所以tppppa 1=01011022110220111102210011022=10011022110221.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：三、小结三、小结 (1)(1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量正交化；量正交化；(4)最后单位化最后单位化 .2det, 2的的值值试试求求行行列列式式秩秩为为的的且且满满足足阶阶实实对对称称矩矩阵阵设设aeraaaan 思考题思考题思考题解答思考