高中数学必修4（1.4.2-2正弦函数、余弦函数的性质）

1、11.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第二课时第二课时2问题提出问题提出1.1.周期函数是怎样定义的？周期函数是怎样定义的？ 对于函数对于函数f(x)f(x)，如果存在一个非，如果存在一个非零常数零常数T T，使得当，使得当x x取定义域内的每一取定义域内的每一个值时，都有个值时，都有f(x +T)=f(x),f(x +T)=f(x), 那么函那么函数数f(x)f(x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T就就叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期. .32.2.正、余弦函数的最小正周期是多少？正、余弦函数的最小正周期是多少？函数函数 和和

2、的最小正周期是多少？的最小正周期是多少？si n()yAxwj=+cos()yAxwj=+(0,0)Aw3.3.周期性是正、余弦函数所具有的一个周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究哪些性质呢？我们将对此作进一步探究. .45探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性思考思考1 1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？对称性，你有什么发现？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-

3、1222222222222y=cosxy=cosx6思考思考2 2：上述对称性反映出正、余弦函数上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？验证？正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. .7思考思考3 3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？数？如何将这些单调区间进行整合？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间

4、上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数.222kk222kk 8思考思考4 4：类似地，余弦函数在哪些区间上类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？是增函数？在哪些区间上是减函数？余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数. .22kk22kkxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx9思考思考5 5：正弦函数在每一个开区间正弦函数在每一个开区间（2k2k， 2k2k） (kZ)(kZ)上都是增函上都是增函数，能否认为正弦函数在第

5、一象限是增数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？函数？210探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性 思考思考1 1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？存在，其最大值和最小值分别为多少？思考思考2 2：当自变量当自变量x x分别取何值时，正弦分别取何值时，正弦函数函数y=sinxy=sinx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1 1？正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 时取最大时取最大值值1, 1, 当且仅当当且仅当 时取最小值时

6、取最小值-1 -1 2xk 2xk 11思考思考3 3：当自变量当自变量x x分别取何值时，余弦分别取何值时，余弦函数函数y=cosxy=cosx取得最大值取得最大值1 1和最小值和最小值1 1？余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 时取最大值时取最大值1, 1, 当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1. -1. 2xk(21)xk12思考思考4 4：根据上述结论，正、余弦函数的根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数值域是什么？函数y=Asinxy=Asinx（A0A0）的值域是什么？的值域是什么？思考思考5 5：正弦曲线除了关于原点对称外，正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点

7、和直线对称？是否还关于其它的点和直线对称？ 正弦曲线关于点正弦曲线关于点（kk，0 0）和直线和直线 对称对称. .()2xkkZpp=+-|A|-|A|，|A|A|13思考思考6 6：余弦曲线除了关于余弦曲线除了关于y y轴对称外，轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？是否还关于其它的点和直线对称？余弦曲线关于点余弦曲线关于点 和直线和直线x=kx=k对称对称. .(,0)2kpp+14理论迁移理论迁移 例例1 1 求下列函数的最大值和最小值，并求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量写出取最大值、最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1） y=cosxy=cosx1

8、1，xRxR； （2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xR.xR.15 例例3 3 求函数求函数 ，xx22，22的单调递增区间的单调递增区间. .1sin()23yx 例例2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: :(1) sin()sin();1810与2317(2) cos()cos().5与16小结作业小结作业 1. 1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握掌握. .2.2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数数. .一般地，一般地，y=Asinxy=Asinx是奇函数，是奇函数，y=Acosxy=Acosx（A0A0）是偶函数）是偶函数. .17作业：作业：P40-41P40