立体几何导学案

1、§3.1.1空间向量及其运算学习目标1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 预习案（约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。预习自测 1： 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有 法

2、则 和 法则. 2. 实数与向量的积：实数与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|a| . (2)当0时，a与a. ；当0时，a与a. ；当0时，a .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：abba加法结合律：(ab)ca（bc）数乘分配律：(ab)ab请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。我的疑惑 探究案（约 分钟）学始于疑将预习课中生成的问题，归类整理。 质疑探究自主总结1、 ；2、 ；3、 。典型例题例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： 例2 化简下列各式： ; .训练案（约

3、 分钟）基础训练 -把最简单的题做好就叫不简单！1. 下列说法中正确的是（ ）a. 若=，则，的长度相同，方向相反或相同;b. 若与是相反向量，则=;c. 空间向量的减法满足结合律;d. 在四边形abcd中，一定有.2. 长方体中，化简= 3. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）a. b. 或 c. d. =4. 在四边形abcd中，若,则四边形是（ ）a. 矩形 b. 菱形 c. 正方形 d. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ）a. 零向量没有方向 b. 空间向量不可以平行移动c. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等 d. 同向且等长的有向

4、线段表示同一向量能力训练-挑战高手，我能行！1. 如图，平行六面体中，点为与的的交点，则下列向量中与相等的是（ ）a. b. b. c. d. 错题整改区1）错题号及分析：2）正确解法： §3.1.2 空间向量的数乘运算（一）学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题预习案（约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。预习自测1. 在平面上有两个向量， 若是非零向量，则与平行的充

5、要条件是 2. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 3. 对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数，使得 4. 如图，l为经过已知点a且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点o，点p在直线l上的充要条件是 5. 已知 ，求证: a,b,c三点共线. 请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。我的疑惑 探究案（约 分钟）学始于疑将预习课中生成的问题，归类整理。 质疑探究自主总结1、 ；2、 ；3、 。典型例题例1 已知直线ab，点o是直线ab外一点，若，且x+y1，试判断a,b,p三点是否共线？变式：已知a

6、,b,p三点共线，点o是直线ab外一点，若，那么t 例2 已知平行六面体，点m是棱aa的中点，点g在对角线ac上，且cg:ga=2:1,设=，试用向量表示向量.训练案（约 分钟）基础训练 -把最简单的题做好就叫不简单！1. 下列说法正确的是（ ）a. 向量与非零向量共线，与共线，则与 共线；b. 任意两个共线向量不一定是共线向量；c. 任意两个共线向量相等；d. 若向量与共线，则. 2. 正方体中，点e是上底面的中心，若,则x ，y ，z . 3. 若点p是线段ab的中点，点o在直线ab外，则 + .4. 平行六面体, o为ac与bd的交点,则 5. 已知平行六面体，m是ac与bd交点，若，则

7、与相等的向量是（ ）a. ； b. ；c. ； d. . 6. 已知a,b,p三点共线，点o是直线ab外一点，若，那么t 错题整改区1）错题号及分析：2）正确解法： §3.1.2 空间向量的数乘运算（二）学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题预习案（约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。预习自测1.对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .2.

8、空间一点p与不在同一直线上的三点a,b,c共面的充要条件是： 存在 ，使 对空间任意一点o，有 3. 若空间任意一点o和不共线的三点a,b,c满足关系式,则点p与 a,b,c共面吗？4.若空间任意一点o和不共线的三点a,b,c满足关系式,且点p与 a,b,c共面，则 .请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。我的疑惑 探究案（约 分钟）学始于疑将预习课中生成的问题，归类整理。 质疑探究自主总结1、 ；2、 ；3、 。典型例题例1 下列等式中，使m,a,b,c四点共面的个数是（ ） .a. 1 b. 2 c. 3 d. 4例2 已知空间四边形abcd的四个顶点a

9、,b,c,d不共面，e,f,g,h分别是ab,bc,cd,ad的中点，求证：e,f,g,h四点共面.训练案（约 分钟）基础训练 -把最简单的题做好就叫不简单！1. 在平行六面体abcda1b1c1d1中，向量、是（ ）a. 有相同起点的向量 b等长向量 c共面向量 d不共面向量.2. 正方体中，点e是上底面的中心，若,则x ，y ，z . 3. 若点p是线段ab的中点，点o在直线ab外，则 + .4. 平行六面体, o为ac与bd的交点,则 . 5. 在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三

10、向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为 （ ）.a0 b.1 c. 2 d. 3能力训练-挑战高手，我能行！若为第三象限角，试判断所在的位置。错题整改区1）错题号及分析：2）正确解法： §3.1.3空间向量的数量积学习目标1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题.预习案（约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。预习自测1. 范围: =0时, ;=时

11、, 成立吗？ ，则称与互相垂直，记作 .2 1). 已知向量满足，则_.2). , 则的夹角大小为_.请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。我的疑惑 探究案（约 分钟）学始于疑将预习课中生成的问题，归类整理。 质疑探究自主总结1、 ；2、 ；3、 。典型例题例1 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值例2 如图，在正三棱柱abc-abc中，若ab=bb,则ab与cb所成的角为（ ）a. 60° b. 90° c. 105° d. 75° 训练案（约 分钟）基础训练 -把最简单的题做好就叫不简单！ 1. 下列命题中：若

12、，则，中至少一个为 若且，则 正确有个数为（ ）a. 0个 b. 1个 c. 2个 d. 3个2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）a. b. c. d. 3.已知中，所对的边为，且,则= 4. 已知，且和不共线，当 与的夹角是锐角时，的取值范围是 .5. 已知向量满足，则_能力训练-挑战高手，我能行！如图，在平行四边形abcd-abcd中，,=60°,求的长. 错题整改区 1）错题号及分析：2）正确解法： §3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规

13、律；预习案（约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。预习自测1. 设，则向量的坐标为 .2. 若a，b，则 .3. 已知a，b，求ab，ab，8a，a·b请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。我的疑惑 探究案（约 分钟）学始于疑将预习课中生成的问题，归类整理。 质疑探究自主总结1、 ；2、 ；3、 。典型例题例1 已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底？例2 已知平行六面体，点g是侧面的中心，且，试用向量表示下列向量: . 训练

14、案（约 分钟）基础训练 -把最简单的题做好就叫不简单！1. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）a. b. c. d. 2. 设i、j、k为空间直角坐标系o-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点b的坐标是 3. 在三棱锥oabc中，g是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示 4. 正方体的棱长为2，以a为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，e为bb1中点，则e的坐标是 .5. 已知关于x的方程有两个实根，且，当t 时，的模取得最大值.能力训练-挑战高手，我能行！1. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求

15、在的坐标.错题整改区1）错题号及分析：2）正确解法： §3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.预习案（约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。预习自测1. 设在平面直角坐标系中，a，b，则线段ab .2. 已知，求：ab. 3ab； 6a. ； a·b.3. 当cosa、b1时，a与b所成角是 ； 当cosa、b1时，a与b所成角是 ； 当cosa、b0时，a与b所成角是 ，即a与b的位置关系是

16、 ，用符号表示为 .请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。我的疑惑 探究案（约 分钟）学始于疑将预习课中生成的问题，归类整理。 质疑探究自主总结1、 ；2、 ；3、 。典型例题例1. 如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值 例2. 如图，正方体中，点e,f分别是的中点，求证：. 训练案（约 分钟）基础训练 -把最简单的题做好就叫不简单！1. 若a，b，则是的（ ）a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分又不不要条件2. 已知，且，则x .3. 已知,与的夹角为120°，则的值为（ ）a. b. c.

17、 d. 4. 若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 5. 已知 ， 且，则（ ）a. b. c. d. 能力训练-挑战高手，我能行！ 1. 如图，正方体棱长为， 求的夹角；求证：. 2. 如图，正方体中，点m,n分别为棱的中点，求cm和所成角的余弦值. 错题整改区1）错题号及分析：2）正确解法： §3.2立体几何中的向量方法（1）学习目标1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题预习案（约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写

18、到后面“我的疑惑”处。预习自测1. 如果都是平面的法向量，则的关系 .2. 向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 .3. 设a，b，a·b 4. 设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系： ； .请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。我的疑惑 探究案（约 分钟）学始于疑将预习课中生成的问题，归类整理。 质疑探究自主总结1、 ；2、 ；3、 。典型例题例1 已知两点,求直线ab与坐标平面的交点.例2 在空间直角坐标系中,已知,试求平面abc的一个法向量. 训练案（约 分钟）基础训练 -把最简单的题做好就叫不简单！1. 设分别

19、是直线的方向向量，则直线的位置关系是 .2. 设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 .3. 已知，下列说法错误的是（ ）a. 若，则 b.若，则c.若，则 d.若，则4.下列说法正确的是（ ）a.平面的法向量是唯一确定的b.一条直线的方向向量是唯一确定的c.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量d.若是直线的方向向量，则5. 已知，能做平面的法向量的是（ ）a. b. c. d. 能力训练-挑战高手，我能行！1. 在正方体中，求证：是平面的一个法向量.2已知，求平面的一个法向量.错题整改区1）错题号及分析：2）正确解法： §3.2立体几何中的向量方法（2）学习目标1. 掌握利用

20、向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.预习案（约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。预习自测1. 已知，且，求.2. 在长方体中，已知,求的长.请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。我的疑惑 探究案（约 分钟）学始于疑将预习课中生成的问题，归类整理。 质疑探究自主总结1、 ；2、 ；3、 。典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点a为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60

21、°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 例2 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知,求的长. 训练案（约 分钟）基础训练 -把最简单的题做好就叫不简单！1. 已知，则 .2. 已知，则的夹角为 .3. 若m、n分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（ ）a. b. c. d.4. 将锐角为边长为的菱形沿较短的对角线折成的二面角，则间的距离是（ ）a. b. c. d.5.正方体中棱长为，,是的中点，则为（ ）a. b. c. d.能力训练-挑战高手，我能行！1. 如图，正方体的棱长为1，分别是的中点，

22、求： 所成角的大小； 所成角的大小； 的长度. 错题整改区1）错题号及分析：2）正确解法： §3.2立体几何中的向量方法（3）学习目标1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.预习案（约 分钟）依据课前预习案通读教材，进行知识梳理，完成预习自测题目，并将预习中不能解决的问题填写到后面“我的疑惑”处。预习自测1. 已知，试求平面的一个法向量. 2. 如图a空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示?分析:过作于o,连结oa,则d=|= , . c

23、osapo=|cos|d. =|cos|=3. 在棱长为1的正方体中，求点到平面的距离.请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来，等待课堂上与老师和同学探究解决。我的疑惑 探究案（约 分钟）学始于疑将预习课中生成的问题，归类整理。质疑探究自主总结1、 ；2、 ；3、 。典型例题例1 已知正方形abcd的边长为4，e、f分别是ab、ad的中点，gc平面abcd，且gc2，求点b到平面efg的距离.例2 如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和,使得,且.已知，求公垂线的长.小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解.训练案（约 分钟）基础训练 -把最简单的题做好就叫不简单！1. 在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体中