专题分式运算中的常用技巧

1、lift【明關学习目标贏敷学泊.冇的放矢】初中数学专题：分式运算中的常用技巧编稿老师H1徐文涛1 一校-杨雪二校黄楠审核刘敏、考点突破知识点考纲要求命题角度备注分式的性质掌握利用分式的基本性质进行约分和通分分式的运算综合运用1. 利用设k的方法进行分式化简与计算2. 利用公式进行分式化简与计算3. 利用整体通分的思想对分式进行化简 与计算常考、重难点提示重点：1. 掌握设参数法进行分式运算;2. 利用公式变形进行分式运算;3. 掌握整体通分的思想方法。 难点：会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。h ”骷讲脑魏【枷听名颐磁，斑m.提升能力】微课程1 :设k求值【考点精讲】运用已知条件，求代数式

2、的值是数学学习的重要内容之一。除了常规代入求值法， 还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数 量关系，设k求值，也叫做设参数法。通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式 叫作参数式，其中的字母叫做参数。参数法，是许多解题技巧的源泉。【典例精析】例题1已知旦 -0，求3a 2b c的值。345a 2b ca 思路导航： 首先设一 一 k，则可得 a = 3k, b = 4k, c = 5k，然后将其代入345a 2b c3a 2，即可求得答案。答案：解：设- k ( k工 0),贝U a=

3、 3k , b= 4k, c= 5k,3453a 2b c 3 3k 2 4k 5k 6k 3所以=一a 2b c 3k 2 4k 5k 10k5k法”表示出a、b、c可以使点评：本题考查了运用设 k值的方法求分式的值，用“设运算更加简便。例题2 已知a，b，c均不为0，且 _2b53b c 2c a7求LL的值。2b 3a思路导航:仔细观察的未知数。所以,c 2b，八要a、b、3a3b c2b2b2c ac用同一个未知数表示，就可以约去分式中=k,用k来表示a、b、c,然后将其代入所7求的分式即可。答案：解：设沁I = k,537则 a + 2b= 5k，3b c= 3k，2c a= 7k，

4、由+得，2b+ 2c = 12k, b+ c = 6k，由+，得4b= 9k,9- b= k,分别代入、得,42k,15c=k,415,9,kk c2b =422b3a9. k3. k22a=k46kb ca ca babcb ca ca babck的值,代入即可求值。b ca ca babc例题3 已知思路导航：设=k,得答案：解：设=k,得三式相加即可求出计算(a b)(b c)(c a)。abcb+ c= ak, a+ c = bk,b+ c= ak, a+ c = bk,a+ b= ck ；然后将a + b= ck ；把这 3个式子相加得 2 (a+ b+ c) = ( a+ b+ c

5、) k若 a + b+ c = 0, a+ b= c,贝U k= 1若 a + b+ cm0,贝U k = 2(a b)(b c)(c a) ck ak bk 3=kabcabc当k = 1时，原式=1,当k = 2时，原式=8。点评：用含k的代数式表示出a, b, c的值是解决本题的突破点。【总结提升】设k求值解题的基本步骤(1) 设参数k，即选择适当的参数k (参数的个数可取一个或多个)；(2) 建立含有参数的方程或代数式；(3)消去参数，即通过运算消去参数，使问题得到解决。例:已知xyz，求x y z的值。a bbcc a解:设xyzk，于是有 x (a b)k, y (b c)k, z

6、 (c a)k ,a bb cca所以xy z (ab)k(bc)k(c a)k = 0。微课程2：活用公式变形【考点精讲】完全平方公式的变形活用公式变形<平方差公式的变形(a b)2 a2 2ab b2(a b)2 a2 2ab b2(a b)(a b) a2 b2完全平方公式和平方差公式是数学中的两个重要的乘法公式，也是同学们解题时常出错的难点。在进行运算时，若能根据公式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用公式，可使 问题化繁为简，收到事半功倍的效果， 同时掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。【典例精析】例题1已知a 5a + 1 = 0(a 0)，计算a44的值。a1

7、 1思路导航：让等式两边同时除以 a,得到a= 5,然后对a4进行公式变形即可。aa2 1答案：解：因为0,将a2 5a+ 1 = 0两边都除以a整理得：a = 5,a所以a4丄4 a212 a 222 (a2122112)2 = (a 2 a22) 2aaaaa a=(a 1)2222 =2 2(5 2)2= 527点评：本题既考查了对完全平方公式的变形，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含一 1了整体的数学思想和正确运算的能力。解答本题的关键是将a 看做一个整体代入。a1 2 1例题 2 计算(X )(X-2-)( XXX思路导航:将原式乘以代数式(X1 8 1 16 1 24 )(x8

8、)(x16)(X -)XXX1 1),同时再除以代数式(X ),即可连续利用平方X差公式。答案：解:原式=(x2/ 32(X32(Xx33-)(x2x4f)(x2X-2 ) XX131X在本题中，1(x -)(xXl)(x4X1 2)(xX1 84)(xX1 42 )(XX1 168)(XX1 84 )(X X11 16 1 2 1 8)(X 16 )( X -) (X )XXXX211)XX21原式乘以同一代数式， 之后再除以同一代数式还原,点评：方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。就可连续使用平例题3已知a -a思路导航：本题将2七 a求 42a a2a42a a-的值。

9、1的分子、分母颠倒过来，即变为求1a4 a2 1a21 g的值,a再利用公式变形求值就简单多了。答案:1 2 25 , (a )2 25，即 a2aA 23,aa4a2 12a2a2a=a212 = 23+ 1 = 24。 a点评：利用1241x和1互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的关系，可以使一些X分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程更加简捷。【总结提升】 完全平方公式的常见变形： 2 2 2(1) a + b =( a+ b) 2ab,(2) a2+ b2=( a b) 2+ 2ab,(3) (a + b) 2( a b) 2= 4ab,2 2 2 2(4) a + b + c

10、=( a+ b + c) 2 (ab+ ac + be) 平方差公式的常见变形：(1) 位置变化：(a+ b) ( b+ a)=( b2 a2);(2) 符号变化：(一a b) (a b)=( a2 b2)；(3) 系数变化：(3a+ 2b) (3a 2b) = 9a2 4b2;(4) 指数变化：(a3 + b2) (a3 b2)= a6 b4;(5) 项数变化：(a+ 2b c) (a 2b+ c) = a2( 2b c) 2;(6) 连用变化：(a+ b) (a b) (a2 + b2) = ( a2 b2) (a2 + b2)= a4 b4。微课程3：整体通分【考点精讲】分式的加减运算过

11、程中，一般要按照运算法则同级运算从左到右计算。 异分母分式加减 的运算法则是“异分母的分式相加减， 先通分变为同分母的分式， 然后再加减。”但对于一 些较为特殊的异分母分式加减运用此规则显得麻烦。因而需根据题型，灵活运用其法则及有关知识进行解答。在分式计算题中，如果出现了部分整式，我们可以把整式看成一个整体进行通分，从而最终达到解决整个问题的目的。【典例精析】3w例题1计算：x2 x 1x 1思路导航：题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求能作为整体的部分，那么计算起来可以简便一些。对于本题可以将后面的部分看做一个整体进行通分。(x 1)(x2 x 1)3答案：解：原式=(x2x 1x

12、 1)=X3X3x311。x 1点评：本题是求一个分式与一个多项式的和, 通分相加，可以使解法更简便。若把整个多项式看作分母为1的分式，再2001例题2计算：a a667a1334思路导航：将后三项看做分母是1,变为2001a667-a 16671334 彳a a 1，整理后,利用完全平方公式即可解答。答案：解：原式=2001a6677a 12001 za (/ 667(a2001a667a 16671)(a1334a11334a 1)667a667a 12001八a 1)a 11_667-a 1点评：本题考查分式的加减，在计算过程中要注意整体思想的运用，运用分式的通分必须注意整个分子和整个分

13、母。注意到a667, a1334与a2001之间的关系，利用换元法，可以将问题转化为我们熟悉的形式。【总结提升】若题目为整式和分式相加减运算，可把整式看做一个整体进行通分计算。解此类题可运用整体思想，把整式看做分母是“ 1 ”的一个整体参与计算，可达到简化目的，使计算简便。例如：计算分式a 2 时，可将a + 2看做一个整体，将其分母看做“ 1”进行通2 a分，可使运算过程大大简化。UII風学以姻.甚朋旳（答题时间：60分钟）设k求值已知x:2 = y: 3= z：,贝Ux2x3yyz的值是（z)A. 1B. 7C.3D.173若实数a、b、c、d 满足bcd nt，则ab2bc,2cd2da

14、的值是bcdaabcdA. 1或0B. - 1 或0C.1或2D. 1 或1曰 右x是个不等于0的数，且 x2-3x + 1 = 0,则42x2等于（x3x1A.丄B.丄C.10D. 121012、选择题1.2.3.)、填空题x y zx y z4. 若_ 丄 -0，贝yi=。3 57xa b5. 若 2a= 3b= 4c,且 abc0,贝U 的值是c 2b三、解答题a 右_2求a23ab2b22的值。b72a2ab3b已知2x, y,z满足一35求5x y的值。xyzz xy 2z已知a b c ab ca bc求(a b)(a c)(b c)的值。cbaabc6.7.8.活用公式变形、选择

15、题421化简(a ? a ) ?4 a的结果是()a 2 a 2aA. 4B. 4C. 2aD. 2a1 12.已知m+ 一 = 3，那么m? 一的结果是( m5C. v72 2(3x 2y) (x 3y) A. 73.设 3x 2yx ya. 3925B.B.(4x39y)2D.二、填空题24.已知x4x + 1 = 0,5.已知:三、解答题6.先化简，后求值:7.计算：已知、选择题1.当a= 3时,2.A. 31已知丄a3.A. 3252x2x(0 v av 1),2(2x 2y)39c.20(a 1)(a 2)a2的值D.20a4 13a aa 2 +计算丄a 1a2 2aA.1 aa2

16、 4a 4C.二、填空题14. 若a=，则21 15. 已知丄丄a b三、解答题4a 42048x2013x0x 204822013x的值。整体通分1-的值为（1B. 4-a的值是(a b3B.3的结果为（其中C. 5C. 3B.D.a2 4aD. 6D.11)2aa2 (a-,则-b a(a 1)16. 计算：（7. 计算：8. 先化简，1)空m n3x / 2(xx 1再求值:(x1)m 2n ；;n m(2)x2 2xx2 1(X 12x 1x 1)4xy)(xx y釵），其中 x = 3, y=-2。x y、选择题设k求值1. B 解析：设 x: 2= y: 3= z: = a,则可以

17、得出：x= 2a, y = 3a, z = 0.5a ,代入3yZ2x y z2a9a0.5a10.5a“中，得原式7。4a3a0.5a1.5a2. D解析：设a =b = cd222222k，贝S b = ac, c = bd , d = ac = b , a = bd= c ,由abc dab=k 得，a= bk，由 d = k 得，d = ak = bk2，由=k 得，c = dk = bk3，再由=k 得，b- adcbk4=k，即：k = 1, k=± 1。当 k= 1 时，原式=1;当 k= 1 时，原式=一 1。2X3. A 解析：解：设2 k ,x4 3x2 1则12

18、 x312kxQ2 x3x10,13,xx132 110,k110故选A。二、填空题3k 5k 7k4. 5 解析：由题意，设 x = 3k, y = 5k, z = 7k ,原式=5。3k5. 2 解析：设 2a= 3b= 4c = 12k (kz 0),贝V a= 6k , b= 4k, c= 3k，所以，原式= 2。三、解答题6. 解：设 a 2k，则 b 7k原式=(a 2b)(a b)(2 a 3b)(a b)a 2b 2a 3b2k 14k4k 21k12沁23517.解:设xyzzx k则x2k,y :z 3k, xz 5k,y6k,z 3k5x y52k6k4k1y2z6k23

19、k12k3abcab ca bc8.解:设k ,cba则ab(k1)c,a c (k 1)b， b c (k 1)a。由+有2(a b c)(k1)(a b c),所以(a b c)(k 1)0,故有k 1或a b c 0。当 k 1 时，(a b)(a c)(bc)2c2b2a 8abcabc1。当 abc 0时， b)(a c)(b c) ( c)( a)( b) abcabc活用公式变形、选择题1. A 解析：原式=一(a+ 2) + ( a 2)= 4。2. D 解析：T(51mm)2(m1)2m4m； =( m+1 ) 2 4= 9-4 = 5,二 m? 1mm5。3. A 解析：解：小3x Q -2y2,xy3x 2y 2x2y,x 4y,原式=2y)22(4y3y)222 2(141)y2 2 219539(16yy)(8y2y)(1510 )y12525、填空题4.丄15解析：解:2Q x 4x1-4 ,xx22x11 2 .2 x 1x5. 2解析:解:Q (a1)2aa2a4 1a3 a2 2a1(x 1)2 1x(a