专题九解析几何第二十八讲抛物线

1、专题 解析几何第二十八讲 抛物线2019年2x2 y21.（2019 全国 II 理 8）若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆1 的一个焦点，则 p=3p pA 2B3C4D82.（2019 北京理 18（1）已知抛物线 C:x2 2 py经过点 （2，-1）.求抛物线 C 的方程及其准 线方程；233（2019 全国 I 理 19）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，2B，与 x 轴的交点为 P（1）若 AF BF 4，求 l 的方程； uuruur（2）若 AP 3PB，求 AB x214. （2019全国 III 理 21）已

2、知曲线 C：y= ，D 为直线 y=上的动点，过 D作 C的两22条切线，切点分别为 A，B.（ 1）证明：直线 AB 过定点：5（ 2）若以 E（0， ）为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形2ADBE 的面积 .2010-2018年一、选择题22 1（2018全国卷 ）设抛物线 C：y2 4x的焦点为 F，过点（ 2,0） 且斜率为 的直线与 C3交于 M ， N 两点，则 FM FN =A5B6C 7D822（2017新课标） 已知F为抛物线 C：y 4x的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线l1与C交于 A、B两点，直线 l2与C交于 D 、

3、E两点，则 |AB| |DE |的最小值为23（2016年四川）设O为坐标原点， P是以 F 为焦点的抛物线 y2 2px（p 0）上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 PM =2 MF , 则直线 OM 的斜率的最大值为AB 2C2D14（2016年全国 I）以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A ， B两点，交C的准线于 D，E 两点已知 |AB|=4 2，|DE |=2 5 ，则C的焦点到准线的距离为A2B4C6D85（ 2015 浙江）如图，设抛物线 y2 4x的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B,C ，其中点 A, B在抛物线上， 点C在 y轴上，则 BC

4、F 与 ACF 的面积之比是ABF 1AF 1B2BF 12AF 2 1CBF 1AF 1D2BF 12AF 2 12 2 2 26（2015 四川）设直线 l 与抛物线 y2 4x相交于 A, B两点，与圆 x 5y2 r2 r 0相切于点 M ，且M 为线段 AB的中点若这样的直线 l恰有 4条，则 r的取值范围是A 1，3B 1，4C 2，3D 2，427（ 2014新课标 1）已知抛物线 C：y 8x的焦点为 F ，准线为 l， P是l上一点， Q是 直线 PF与C的一个焦点，若 FP 4FQ ，则| QF |=75A BC3D 2228（2014 新课标 2）设F 为抛物线 C：y2

5、 3x的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于A,B两点， O 为坐标原点，则 OAB 的面积为（ ）A343B983C 6332D29（ 2014辽宁）已知点 A（ 2,3）在抛物线 C：y x 13 （ 2012 山东）已知双曲线C1 ： 2 a 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A ， 2 px的准线上，过点 A 的直线与 C在第 一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（ ）1234A B CD234310（ 2013新课标 1） O为坐标原点， F 为抛物线 C: y2 4 2x的焦点， P为C上一点， 若

6、|PF | 4 2 ，则 POF 的面积为（）A2 B2 2 C2 3 D 411（2013江西）已知点 A 2,0 ，抛物线C : x2 4y的焦点为 F ，射线FA与抛物线 C相 交于点 M ，与其准线相交于点 N，则|FM |:|MN |=A 2: 5 B1:2C 1: 5D 1:312（2012 新课标）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y2 16x的准线交于 A、B两点， |AB| 4 3，则 C的实轴长为A、B、 2 2C、4D、82y2 1（a 0,b 0） 的 离心率 为 2 若抛物 线 b2C2 :x2 2py（p 0） 的焦点到双曲线 C1的渐

7、近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为A x28 3y3B2 16 3 2 x23 yC x2 8y2D x 16y14（2011 新课标）已知直线B 两点， |AB | 12 ，P 为 C 的准线上一点，则 ABP 的面积为A18B24C36D48二、填空题15 （2018 全国卷 ）已知点M（ 1,1）和抛物线 C： y2 4x，过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A ， B两点若 AMB 90 ，则 k216（2017新课标）已知 F是抛物线 C：y2 8 x的焦点， M是C上一点， FM的延长线交 y轴于点 N若 M 为FN 的中点，则 |FN | 17(2015 陕西)若抛物

8、线 y2 2px(p 0) 的准线经过双曲线 x2 y2 1的一个焦点，则 p=18( 2014 湖南)如图 4，正方形 ABCD和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a b) ，原点O为 AD的中点，抛物线 y2 2px(p 0)经过 C,F两点，则 b a219(2013北京)若抛物线 y2 2px的焦点坐标为 (1,0) ，则 p ，准线方程为 20( 2012 陕西)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽 米221(2010浙江)设抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F ，点 A(0,2) 若线段 FA的中点 B 在抛

9、物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为 三、解答题2 22(2018北京)已知抛物线 C： y2 2 px经过点 P(1,2) 过点 Q(0,1)的直线 l与抛物线C 有两个不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N (1) 求直线 l 的斜率的取值范围；11 (2)设O为原点， QM QO ，QN QO ，求证： 为定值223( 2018全国卷)设抛物线 C：y2 4x的焦点为 F ，过F 且斜率为 k(k 0)的直线 l与C交于 A，B两点， |AB| 8(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B且与 C的准线相切的圆的方程224(2018浙江

10、)如图，已知点 P是 y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线 C：y2 4x上存在不同的两点 A ，B 满足 PA ， PB 的中点均在 C 上(1)设 AB 中点为M ，证明： PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆22yx21( x 0 )上的动点，求 PAB 面积的取值范围4252017 新课标)已知抛物线 C ：2y2 2x ，过点 (2,0)的直线 l 交C与 A， B两点，圆M 是以线段 AB为直径的圆(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；26(2)设圆 M 过点 P(4, 2) ，求直线l 与圆 M 的方程2017浙江)如图，已知抛物线 x2 y点 A( 1,1) ，39B(2

11、3,94)，抛物线上的点P(x,y)( 1 x 3)，过点 B作直线 AP的垂线，垂足为 Q)求直线 AP 斜率的取值范围；）求 |PA| | PQ |的最大值2127（2017北京）已知抛物线 C：y2 2px过点 P（1,1）过点 （0, ）作直线 l 与抛物线 C 交 于不同的两点 M ， N ，过点 M 作 x轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A， B ， 其中 O 为原点（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证： A 为线段 BM 的中点28 （2016 年全国 III）已知抛物线 C： y2 2x的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 l1，l2分 别交 C

12、 于 A， B两点，交 C的准线于 P，Q 两点.（）若 F 在线段 AB 上，R是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程x229（ 2015 新课标 1）在直角坐标系 xoy中，曲线 C： y 与直线 y kx a （a 0） 交 4与M ，N两点，（）当 k 0时，分别求 C在点M 和N处的切线方程；（） y轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有 OPM OPN ？说明理由30（2014 山东）已知抛物线 C: y2 2px（p>0）的焦点为 F ， A为C 上异于原点的任意 一点，过点 A的直线 l交C于另一点

13、 B，交 x轴的正半轴于点 D，且有 FA FD 当点 A的横坐标为 3 时， ADF 为正三角形。（）求 C 的方程；（）若直线 l1/l ，且 l1和C有且只有一个公共点 E，）证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标；） ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说 明理由。312014 陕西）如图，曲线 C 由上半椭圆 C1:y22 a2x2 1(a b 0,y 0) 和部分抛物 b2线C2:yx2 1（y 0）连接而成， C1,C2的公共点为 A,B ，其中 C1的离心率为32（）求 a, b的值；过点 B的直线 l 与C1,C2分别交于 P, Q （均异于点 A

14、,B ），若 AP AQ，求直线 l 的方程32c 0 到直线2013 广东）已知抛物线l :x y 2 0PA,PB ，其中32的距离为 3 2 设 P为直线 l 上的点，过点 P作抛物线 C的两条切线2A,B 为切点（）求抛物线 C 的方程；（）当点 P x0,y0 为直线 l上的定点时，求直线 AB的方程；）当点 P在直线 l 上移动时，求 AF BF 的最小值233（2012新课标）设抛物线 C：x2 2py（p 0）的焦点为 F，准线为 l，A为C上一点，已知以 F 为圆心， FA为半径的圆 F 交l于B、D点（）若 BFD 90o， ABD的面积为 4 2，求 p的值及圆 F 的方

15、程；（）若 A、 B 、F三点在同一直线 m上，直线 n与m平行，且 n与C只有一个公共 点，求坐标原点到 m、 n 距离的比值34（2011新课标）在平面直角坐标系xoy中， 已知点 A（0, 1）， B点在直线 y3上，M 点满足 MB / /OAMA AB MB BA ，M 点的轨迹为曲线C）求 C 的方程；） P为 C上动点， l为 C在点 P处的切线，求 O点到 l距离的最小值专题九 解析几何第二十八讲 抛物线答案部分2019年21 D解析 由题意可得：3p p p ，解得 p 8 故选 D22.解析（ I）由抛物线 C : x22py 经过点 2, 1 ，得 p 2.所以抛物线 C

16、 的方程为 x 24 y ，其准线方程为 y 1.33x1 x2，由题设可得 x1 x21 2 2 1 23.解析 设直线 l: y 2 x t,A x1,y1 ,B x2,y2 1)由题设得 F 3,0 ，故|AF | |BF |4x1 x212(t 1)y x t 2 22，可得 9x2 12(t 1)x 4t2 0 ，则2y 3x57，得 t 所以 l 的方程为 y x2 8 2 8 uur2)由 AP 3PB可得 y1 3y2 从而 12(t 1)379uuur由 y 2 x t ，可得 y2 2y 2t 0 y2 3x所以 y1 y2 2 从而 3y2 y2 2 ，故 y2 1,y1

17、 31 4 13 代入 C 的方程得 x1 3,x2 1 故 | AB| 4 13 1 2 3 3124解析(1)设D t, 12 , A x1,y1 ，则 x12 2y1.由于 y' x ，所以切线 DA的斜率为 x1 ，故设B x2,y2 ，同理可得 2tx2 2 y2 +1=0 .故直线 AB的方程为 2tx 2y 1 0.1所以直线 AB过定点 (0, ) .21 (2)由( 1)得直线 AB的方程为 y tx .2y tx 1可得 x2 2tx 1 0.2 2 ，y x2y2于是 x1x22t,x1x21,y1y2tx1x21 2t21，| AB| 1 tx1x21t 2x1

18、x24x1x22 t21 .设d1,d2分别为点 D，E到直线 AB的距离，则 d1t2 1,因此，四边形 ADBE的面积 S 1 |AB| d1 d2t2 3 t2 1设M 为线段 AB的中点，则 M t,t由于EM AB ，而EM t,t2 2 ， AB与向量(1, t)平行，所以 t t2 2t 0.解得 t=0或 t 1.当 t=0时， S=3；当 t1时， S 4 2.因此，四边形 ADBE 的面积为 3或 4 2 .2010-2018年221 D 【解析】通解 过点 ( 2,0) 且斜率为 的直线的方程为 y (x 2) ，33由 y 3 (x 2) ，得 x2 5x 4 0，解得

19、 x 1或 x 4 ，所以 x 1 y22y 4x，或 x 4y4不妨设 M (1,2) ， N(4,4) ，易知 F (1,0) ，所以 FM (0, 2) ， FN (3, 4) ，所以FM FN 8 故选 D2 2 y (x 2)优解 过点 ( 2,0) 且斜率为 2 的直线的方程为 y 2 (x 2)，由 3 333y2 4x，得2x2 5x 4 0，设 M(x1,y1) ，N(x2,y2)，则 y1 0， y2 0 ，根据根与系数的关系，得x1 x2 5，x1x2 4 易知F (1,0) ，所以 FM (x1 1, y1) ，FN (x2 1,y2)，所以FM FN(x11)(x21

20、)y1y2x1x2(x1x2 )1 4x1x24 5 1 8 8故选D2A【解析】由已知 l1垂直于 x轴是不符合题意， 所以 l1的斜率存在设为 k1 ，l2的斜率为 k2，由题意有 k1 k21，设 A(x1,y1)，B(x2,y2)， D(x3,y3)，E(x4,y4)此时直线 l1方程为 y k1(x 1) ，y2 4x取方程，得 k12x2 2k12x 4x k12 0 ，y k1(x 1) 1 1 122 x1 x22k12 4 2k12 4k1k1同理得 x3 x42k22 4k22由抛物线定义可知| AB | |DE | x1 x2 x3 x4 2 pk1223 C 【解析】设

21、 P 2pt2 ,2pt ,M x, y (不妨设t 0 )，则FP 2pt2 ,2pt FM 1FP，3xp2p2pt2pt23t2pt ,3,22t1 1 22t2 1 t 21t 2 1 2(kOM )max22 ，故选C4B【解析】由题意，不妨设抛物线方程为y2 2px(p 0)，由 |AB| 4 2 ，y12 4x1y22 4x2两式相减得 (y1 y2)( y1 y2) 4(x1 x2) ，y1 y2x1 x2y1 y2y0|DE | 2 5 ，可取 A(4,2 2) ， D( p, 5) ，设 O 为坐标原点， p22由|OA| |OD |，得 162 8 p 5，得 p 4 ，

22、所以选 Bp4S BCF BC xB BF 15A 【解析】如图，BCF B ，故选 A S ACF AC xA AF 16D 【解析】当直线 l的斜率不存在时，这样的直线 l恰好有 2条，即 x 5 r，所以 0 r 5；所以当直线 l的斜率存在时，这样的直线 l 有2条即可x1 x2 2x0设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0, y0)，则 1 2 0 y1 y2 2y0设圆心为 C(5,0) ，则 kCMy0 ，因为直线 l 与圆相切，所以 2 y01 ，x0 5y0 x0 522 2 2解得 x0 =3，于是y02r24，r >2，又 y024x0，即 r24 12，

23、7C【解析】过点 Q作QQ l交l于点Q ，因为 PF 4FQ ，所以| PQ |:| PF | 3:4，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以 |QF | | QQ | 3故选 C8D【解析】易知抛物线中 p 3 ，焦点F(3,0) ，直线AB的斜率 k 3，故直线 AB的2 4 3方程为 y 3 33 2 21 93 (x 43) ，代人抛物线方程 y2 3x，整理得 x2 221x 196 0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x1 x2 221，由物线的定义可得弦长|AB| x1 x2 p 12，结合图象可得 O到直线 AB的距离 d 2psin30 38，19 所以 OAB

24、的面积 S 12|AB|d 499D【解析】 A( 2,3) 在抛物线 y2 2 px的准线上， p 2 p 4，22 y2 8x ，设直线 AB 的方程为 x k(y 3) 2 ，将与 y2 8x联立，得 y2 8ky 24k 16 0，则 =( 8k)2 4(24k 16) 0 ，21即 2k2 3k 2 0，解得 k 2或 k(舍去)，2将 k 2 代入解得 x 8, y 8 ，即 B(8,8) ，4又 F (2,0) ， kBF 43 ，故选 D10C【解析】 OF2 ，由抛物线的定义可得 P 点的坐标 3 2, 2 6 ，11 POF 的面积为 OF yP212 2 2 6 2 3

25、11C【解析】依题意可得 AF所在直线方程为 2x y 1代入 x2 4y得y 3 512又|FM |:|MN | (1 y):(1 y) 1: 5 C【解析】设 C:x2 y2 a2(a 0)交y2 16x的准线 l:x 4于 A( 4, 2 3) B( 4, 2 3)得： a2 ( 4)2 (2 3) 2 41322D【解析】因为双曲线 C1 ： x2 y2 1(a 0,b 0) 的离心率为 2,abc所以 2 b 3a.又渐近线方程为 bx ay 0,所以双曲线 C1 的渐近线 a方程为 3x y 0.而抛物 C2 :x2 2py(p 0) 的焦点坐标为 (0, p), 2C【解析】设抛

26、物线的方程为142y 2px ，易知 |AB| 2p 12 ，即 p 6 ，点P在准线上， P到AB的距离为 p 6，所以 ABP面积为36，故选 C152【解析】解法一 由题意知抛物线的焦点为 (1,0) ，则过 C的焦点且斜率为 k 的直线方程为 y k(x 1) (k 0)，由 2 ，消去 y得k2(x 1)2 4x ，y 4x2 2 2 2即k2x2 (2k2 4)x k2 0，设 A(x1,y1)， B(x2,y2)，2则 x1 x2 2k22 4k2，x1x2 1由 y2k(x 1)，消去x得y2y2 4x14(k1 y 1)，2 4 4即 y y 4 0，则 y1 y2， y1y

27、2 4 ，kk由 AMB 90 ，得 MA MB (x1 1,y1 1) (x2 1,y2 1)4x1x2 x1 x2 1 y1y2 (y1 y2) 1 0 ，22k2 4 4将 x1 x22 ， x1x2 1与 y1 y2， y1y2 4 代入，kk解法二 设抛物线的焦点为 F ， A(x1,y1)，B(x2, y2)，则2y12 y22 4x24x1所以 y12 y22 4(x1 x2) ，则 k y1 y24 ，x1 x2 y1 y2取AB的中点 M ( x0 , y0 ) ，分别过点 A，B做准线 x 1的垂线，垂足分别为 A，B ，又 MB 90 ，点 M 在准线 x 1 上，1 1

28、 1所以|MM | |AB| (|AF| |BF|) (|AA| |BB |)又M 为AB的中点，所以 MM 平行于 x轴，且 y0 1，所以 y1 y2 2，所以 k 2 16 6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与 x轴交于点 F' ，作 MB l 与点 B ， NA l 与点 A ，由抛物线的解析式可得准线方程为x 2 ，则AN FF 'AN 2,FF' 4，在直角梯形 ANFF'中，中位线 BM 3，由抛物线的2定义有： MF MB 3 ，结合题意，有 MN MF 3 ，故 FN FM NM 3 3 6 172 2【解析】 y2

29、= 2 px的准线方程为 x p，又 p>0，所以 x p 必经过双曲22线 x2 y2 1的左焦点 ( 2,0) ，所以 p 2 ， p 2 2 2181 2【解析】 由正方形的定义可知 BC CD ，结合抛物线的定义得点 D为抛物线的 焦点，所以| AD | p a，D(p,0) ，F(p b,b) ，将点 F的坐标代入抛物线的方程 22得b2 2p( p b) a2 2ab ，变形得 (b)2 2b 1 0，2 a a解得 b 1 2或 b 1 2 (舍去)，所以 b 1 2a a a192， x 1【解析】 p 1,p 2；准线 x p 12220 2 6 【解析】建立直角坐标系

30、，使拱桥的顶点O 的坐标为 (0,0) ，设抛物线的方程为x22py， l与抛物线的交点为 A、 B，根据题意知 A( 2, 2) ， B(2, 2)则有 2 a 2 2， a 12水位下降 1米，则 y 3，此时有 x 6或 x 6此时水面宽为 2 6 米213 2【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为 2 ，B点坐标为( 2，1)44 所以点 B 到抛物线准线的距离为 3 2 4222【解析】 (1)因为抛物线 y2 2px 经过点 P(1,2) ，所以 4 2 p ，解得 p 2 ，所以抛物线的方程为 y2 4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为

31、y kx 1( k 0 )y2 4 x 2 2由得 k2x2 (2k 4)x 1 0 y kx 1依题意 (2k 4)2 4 k2 1 0，解得 k 0或 0 k 1又 PA， PB与 y轴相交，故直线 l不过点 (1, 2) 从而 k 3所以直线 l 斜率的取值范围是 ( , 3) ( 3,0) (0,1) (2)设 A(x1,y1)， B(x2,y2)由 (1)知 x1 x22k 2 4 ， x1x2 12 kk直线 PA的方程为 y 2 y1 2 (x 1)x1 1令 x 0 ，得点 M 的纵坐标为 yMy1 2 2kx1 1 2 x1 1x1 1同理得点 N 的纵坐标为 yNkx2 1

32、 2 x2 1uuur uuru uuur uuru由 QM = QO ， QN = QO 得 =1 yM ，1 yN 所以 1 1 1 11 yM 1 yNx1 1x2 1(k 1)x1 ( k 1)x2 k 11 2 x1x2 ( x1 x2)x1x22 2k 41 k2 1 k2 =2k 1 1 k2 所以 1 1 为定值23【解析】 (1)由题意得 F (1,0) ，l 的方程为 y k(x 1)(k 0) 设 A(x1, y1),B(x2, y2)，y k( x 1), 2 2 2 2 由 2得 k2x2 (2k2 4) x k2 0y2 4 x22 2k 2 416k2 16 0

33、，故 x1 x221 2k 24k 2 4所以|AB| |AF| |BF | (x1 1) (x2 1) 2 k24k 2 4由题设知 4kk2 4 8，解得 k 1(舍去)，k 1因此 l 的方程为 y x 1 3)，(2)由(1)得 AB的中点坐标为 (3,2) ，所以 AB的垂直平分线方程为设所求圆的圆心坐标为 ( x0, y0) ，则y0 x0 5,(x0 1)2 ( y0 x0 1)2解得 x0 3,或16. y0 2 y0 6.x0 11,144 因此所求圆的方程为 (x 3)2 (y 2)2 16 或 (x 11)2 (y 6)2224 , y2) 24【解析】 (1)设P( x

34、0 , y0 ) ， A( y1 ,y1)，B(y24因为 PA ， PB的中点在抛物线上，所以 y1， y2为方程12(y1 y0 )2(2)4 y2 x04 4即 y12 2y0y1 8x0 y02 0 的两个不同的实数根2所以 y1 y2 2y0 因此， PM 垂直于 y 轴y1 y2 2y0(2)由 (1)可知 1 2 0 2 y1y2 8x0 y0所以 |PM | 1(y12 y22) x0 3y02 3x0，|y1 y2| 2 2(y02 4x0) 841 3 2 3 因此， PAB的面积 SPAB|PM | |y1 y2|(y02 4x0)2242因为 x02 y0 1(x0 0

35、) ，所以 y02 4x04x02 4x0 4 4,54因此， PAB面积的取值范围是 6 2,15 10425【解析】(1)设 A x1,y1 ，B x2,y2 ，l： x ym 2x my 2 2由 2 可得 y2 2my 4 0 ，则 y1y24y2 2x又x1=y12 ，x2=y22 ，故 x1x2= y1y2 =41 2 2 2 1 2 4因此 OA的斜率与 OB的斜率之积为 y1 y2 =-4 =-1 ，所以 OA OB x1 x2 4故坐标原点 O 在圆 M 上2（2）由（ 1）可得 y1 +y2 =2m ， x1 +x2 =m y1+y2 +4=2m 4故圆心 M 的坐标为 m

36、2+2，m ，圆 M 的半径 rm2 2m2由于圆 M 过点 P（4, 2） ，因此由（ 1）可得 y1y2=-4 ， x1x2 =4 21所以 2m2 m 1 0，解得 m 1或 m 2当 m 1 时，直线 l 的方程为 x y 2 0 ，圆心 M 的坐标为 （3,1） ，圆 M 的半径为10 ，圆 M 的方程为 x 3 2 y 1 2 1019 1当m 时，直线l的方程为 2x y 4 0，圆心M的坐标为 （ , ），圆M的半24 2径为 85 ，圆 M 的方程为 (x 9)2 (y 1)24 4 2851626【解析】（）设直线 AP 的斜率为 k ，21x4x121x，213因为 12

37、 x 23 ，所以直线 AP斜率的取值范围是( 1,1) 。）联立直线 AP 与 BQ 的方程11kx y k 0,2493x ky k 0,42解得点 Q 的横坐标是2k2 4k 32(k2 1)因为|PA|= 1 k2(x 1)= 1 k2 (k 1)22|PQ |= 1 k2(xQ x) = (k 1)(k 1) ，Qk2 1所以|PA|PQ|= (k 1)(k 1)3令 f (k) (k 1)(k 1)3 ，因为2f (k) (4k 2)(k 1)2 ，11所以 f (k) 在区间 ( 1, ) 上单调递增， ( ,1)上单调递减，127因此当 k时， | PA | PQ |取得最大值

38、21627【解析】()由抛物线 C： y2 2 px 过点 P(1,1)，得 p所以抛物线 C 的方程为 y2 x11抛物线 C的焦点坐标为 (1 ,0) ，准线方程为 x 1 44()当直线 MN 的斜率不存在或斜率为 0 时，显然与抛物线只有一个交点不满足题 意，所以直线 MN 的斜率存在且不为 011设 (0, ) 为点 Q ，过 Q 的直线 MN 方程为 y kx 1( k 0 )，设 M ( x1, y1) ， N(x2, y2) ，22显然， x1， x2 均不为 01y kx 2 2由2，得 4k2 x2 (4k 4)x 1 0y2 1 2 1 考虑 (k 1)2 4 14 k2

39、 1 2k ，由题意0，所以 k 211k则 x1 x2 1 2k ， k21x1x21 2 4k由题意可得 A， B 横坐标相等且同为 x1 ，因为点 P 的坐标为 (1,1)，所以直线 OP 的方程为 y x ，点 A 的坐标为 (x1, x1)直线 ON 的方程为 y y2 x，点 B的坐标为 (x1, y2x1) x2x2x2若要证明 A为 BM 的中点，只需证 2 yA yB yM ，即证 x1 y2 y1 2x1 ，y1 kx1 将 2 代入上式，1y2 kx22 2 2即证 (kx2 )x1 (kx1 )x2 2x1x2 ，1即证 (2k 2)x1x2(x1 x2) 0 将代入得

40、(2k 2) 12 1 2k 0 ，化简有4k2 2k2k11k2k2 2k20恒成立，所以 2yA yB yM 恒成立故 A 为线段 BM 的中点128【解析】由题设 F( ,0).设l1:y a,l2:y b，则 ab 0，且2a2b2A(a2 ,a), B( b2 ,b),111 P( 2,a),Q( 2,b),R( 2,ab2).记过 A,B两点的直线为 l，则 l的方程为 2x (a b)y ab 0()由于 F 在线段 AB 上，故 1 ab 0. 记 AR的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则a b a b 1 abk12 2 b k21 a a ab a a所以 ARFQ .

41、111b a FDbax1222)设 l与 x轴的交点为 D(x1,0) ，则 S ABF,S PQFab211bax1212由题设可得，所以 x1 0舍去)，x1设满足条件的 AB的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直时，由kAB kDE 可得2abyx1(x 1)aby，所以 y2 x 1(x 1) .当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合 .所以，所求轨迹方程为 y2 x 1.29【解析】()由题设可得 M(2 a,a)，N( 2 2,a)，或 M( 2 2,a)，1x2N(2 a,a). yx，故 y在 x=2 2a处的导数值为 a，24C在(2 2a,a) 处的切

42、线方程为 y a a(x 2 a) ，即 ax y a 0.2故 y x 在x 2 2a处的导数值为a ，C在( 2 2a,a)处的切线方程为y a a(x 2 a) ， 即 ax y a 0.故所求切线方程为 ax y a 0 或 ax y a 0.()存在符合题意的点，证明如下：设P(0,b)为符合题意的点， M(x1,y1)，N(x2, y2)，直线 PM ， PN 的斜率分别为 k1,k2 .将 y kx a 代入 C 的方程整理得 x2 4kx 4a 0. x1 x2 4k,x1x24a. k1 k2y1 b y2 b 2kx1x2 (a b)(x1 x2 ) k(a b)=x1x2

43、x1x2a当 b a 时，有 k1 k2 =0 ，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故 OPM =OPN ，所以 P(0, a)符合题意30【解析】()由题意知 F ( 2p ,0) ，设D(t,0)( t 0)，则FD的中点为 (p42t,0)因为 FA FD ，由抛物线的定义可知 3 p t p ，22解得 t 3 p或 t3(舍去)p 2t 2由3，解得 p 2 所以抛物线 C的方程为 y2 4x 4)()由()知 F (1,0) ，设 A(x0,y0)(x0y0 0) D(xD,0)(xD 0)因为 FA FD ，则 xD 1 x0 1，由 xD0得 xDx02，故

44、D(x02,0) ，故直线 AB的斜率 kABy0D D0 0 AB2因为直线 l1和直线 AB 平行，y2 y8 y 8yb 0 ， y0y0由题意642 32b 0 ，得 b2y02y0y0设 E(xE,yE) ，则 yE4 , xE 42y0y02当 y02 4 时，yEy04 y0 ，k AE2，xEx0y0 4可得直线 AE的方程为 y y042 y0y02 4( x x0 ) ，由 y024x0，整理得 y4y02y0 4(x 1)，直线 AE 恒过点 F (1,0)当 y02 4时，直线 AE的方程为 x 1，过点 F (1,0) ，所以直线 AE过定点 F (1,0) )由()

45、知直线 AE过定点 F (1,0) ，11所以 AE AF FE (x0 1) ( 1) x02 。x0x0设直线 AE的方程为 x my 1，因为点 A(x0, y0)在直线 AE上故m x0 1设 B(x1,y1)，直线 AB的方程为 y y0y0 (x x0)y022由于 y0 0，可得 x y 2 x0 ， y028代入抛物线的方程得 y 2 8 y 8 4x0 0y0设直线 l1的方程为 yy20x b，代入抛物线的方程得所以 y0 y18 ，可求得y0y1 y084， x1x0 4y0x0所以点 B 到直线 AE 的距离为48x0 4 m( y0) 1x0y01 m24(x0x 1

46、)=4( x0 x01则 ABE 的面积 S2x0 1 2) 16， x01当且仅当x0即 x0 1 时等号成立，x031所以 ABE 的面积的最小值为 16解析】()在 C1 ， C2方程中，令 y 0，可得 b=1,且得 A( 1,0), B(1,0) 是上半椭圆C1 的左右顶点，设 C1 的半焦距为 c ，由 c3 及 a c b 1 ，解得 a 2，a2所以 a 2， b 12()由()知，上半椭圆 C1的方程为 y x2 1(y 0) ，4易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为y k( x 1)(k 0)2 2 2 2代入 C1 的方程中，整理得： (k2 4) x2 2k2x k2 4 0 (*)设