空间解析几何基础知识课件

1、空间解析几何基础知识1空间解析几何基础知识2x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.一、空间点的直角坐标空间解析几何基础知识3xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间解析几何基础知识4 .21221221221zzyyxxmm 空间两点间距离公式空间两点间距离公式设设),(

2、1111zyxm、),(2222zyxm为为空空间间两两点点二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离空间解析几何基础知识5空间解析几何基础知识6向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m为为起起点点，2m为为终终点点的的有有向向线线段段.1m2m a21mm模长为模长为1 1的向量的向量. .21mm00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念或或或或或或空间解析几何基础知识7自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.

3、 .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . omm空间解析几何基础知识81 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法空间解析几何基础知识9向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运

4、算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab空间解析几何基础知识10设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa aa2a21 三、向量与数的乘法空间解析几何基础知识11数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：

5、aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系空间解析几何基础知识12同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.空间解析几何基础知识13空间解析几何基础知识14一、一、空间两向量的夹角的概念：空间

6、两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 空间解析几何基础知识15空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u aa 过过点点a作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点a 即即为为点点a在在轴轴u上上的的投投影影.空间解析几何基础知识16空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uaa bb 已已知知

7、向向量量的的起起点点a和和终终点点b在在轴轴u上上的的投投影影分分别别为为ba ,那那么么轴轴u上上的的有有向向线线段段ba 的的值值，称称为为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影.空间解析几何基础知识17abjupr.ba 向向量量ab在在轴轴u上上的的投投影影记记为为关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向量向量ab在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：abjupr cos| ab 证证uaba b b abjuprabju pr cos| ab u 空间解析几何基础知识18定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投

8、影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 空间解析几何基础知识19关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .prpr)(pr2121a ja jaaj aa bb cc （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a空间解析几何基础知识20设设a是是以以),(1111zyxm为为起起点点、),(2222zyxm为为终终点点的的向向量量，过过21, mm各作

9、垂直于三个坐标轴的平面各作垂直于三个坐标轴的平面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21mm为为对对角角线线的的长长方方体体.二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标空间解析几何基础知识21xyzo 1mpnqr 2m以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxmm)()()(12121221 空间解析几何基础知识2

10、2kzzjyyixxmm)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxmm 特殊地：特殊地：,zyxom 空间解析几何基础知识23向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyx

11、x ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 空间解析几何基础知识24非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式空间解析几何基础知识25xyzo 1m 2m 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa pqr向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表

12、示式21212121rmqmpmmm 空间解析几何基础知识260222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式空间解析几何基础知识271coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为空间解析几何基础知识28空间解析几何基础知识290)2( ba.ba .|)1(2aaa 关于数量积的说明：关于数量积的说明：一、两向量的数量积一、两向量的数量积向量向量a与与b的的数

13、量积数量积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.空间解析几何基础知识30数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba 空间解析几何基础知识31 cos|baba ,|cosbaba 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充

14、要条件为,kajaiaazyx 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式kbjbibbzyx zzyyxxbabababa 空间解析几何基础知识32向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.二、两向量的向量积二、两向量的向量积空间解析几何基础知识33向量积符合下列运算规律：向量积符合下

15、列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa 空间解析几何基础知识34向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出,kajaiaazyx kbjbibbzyx 空间解析几何基础知识35zzyxbaaa 000, 0 yxaa补充补充|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，abbac 空间解析几何

16、基础知识36定义定义 设已知三个向量设已知三个向量a、b、c，数量，数量cba )(称为这三个向量的称为这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积空间解析几何基础知识37关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba(1)向量的混合积是一个数量向量的混合积是一个数量.空间解析几何基础知识38空间解析几何基础知识39一

17、、曲面方程的概念曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面s与与三三元元方方程程0),( zyxf有有下下述述关关系系：（1 1） 曲曲面面s上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面s上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxf就就叫叫做做曲曲面面s的的方方程程，而而曲曲面面s就就叫叫做做方方程程的的图图形形 2202020rzzyyxx 例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxm、半半径径为为r的的球球面面方方程程.空间解析几何基础知识40以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有

18、两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程空间解析几何基础知识41二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放空间解析几何基础知识42二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的

19、曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识43二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识44二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定

20、直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识45二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识46二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识47二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的

21、曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识48二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识49二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定

22、直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识50二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识51二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识52二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的

23、曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识53二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴空间解析几何基础知识54 , 0,22 zyxfyoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕z轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程.同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲

24、线0),( zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 . 0,22 zxyf空间解析几何基础知识55例例 5 5 直线直线l绕另一条与绕另一条与l相交的直线旋转一周，相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫所得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫圆锥面的两直线的交点叫圆锥面的顶点顶点，两直线的夹角，两直线的夹角 20叫圆锥面的叫圆锥面的半顶半顶角角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶轴，半顶角为角为 的圆锥面方程的圆锥面方程xozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zym ),(zyxm圆锥面方程圆锥面方程

25、 cot22yxz oxzy cota ),y(xaz2222或或空间解析几何基础知识56例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程（1）双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕x轴轴和和z轴轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面空间解析几何基础知识57（2）椭圆）椭圆 012222xczay绕绕y轴和轴和z轴；轴；绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面（3）抛抛物物线线 022

26、xpzy绕绕z轴轴；pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面空间解析几何基础知识58播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识59定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱

27、面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识60定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识61定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的

28、准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识62定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识63定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线

29、准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识64定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识65定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线

30、，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识66定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识67定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动

31、直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识68定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识69定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线

32、，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识70定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.cl空间解析几何基础知识71柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面空间解析几何基础知识72从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxf，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表

33、示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线c.（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y空间解析几何基础知识73空间解析几何基础知识74 0),(0),(zyxgzyxf空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1s2sc空间曲线空间曲线c可看作空间两曲面的交线可看

34、作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程空间解析几何基础知识75 )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程空间解析几何基础知识76 0),(0),(zyxgzyxf消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxh曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投

35、影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影空间解析几何基础知识77类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyr 00),(yzxt面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxh空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy空间解析几何基础知识78空间解析几何基础知识79xyzo0mm 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一

36、向量一、平面的点法式方程n0)()()(000 zzcyybxxa平面的点法式方程平面的点法式方程法向量法向量已知点已知点),(0000zyxm,cban 空间解析几何基础知识80由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,cban 二、平面的一般方程空间解析几何基础知识81平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( d平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( a , 0, 0dd平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行

37、于 轴；轴；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.空间解析几何基础知识82,ada ,bdb ,cdc 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴上截距轴上截距空间解析几何基础知识83定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1

38、111cban ,2222cban 三、两平面的夹角空间解析几何基础知识84按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|coscbacbaccbbaa 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 空间解析几何基础知识85例例7 7 设设),(0000zyxp是是平平面面byax 0 dcz外外一一点点，求求0p到到平平面面的的距距离离. 1pnn0p .|222000cbadczbyaxd 点到平面距离公式点到平面距离公式空间解析几何基础知识8

39、6空间解析几何基础知识87xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa空间直线的一般方程空间直线的一般方程l一、空间直线的一般方程空间解析几何基础知识88xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sl),(0000zyxm0m m ,lm ),(zyxmsmm0/,pnms ,0000zzyyxxmm 二、空间直线的对称式方程与

40、参数方程空间解析几何基础知识89pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程,pnms 直线直线方向向量方向向量),(0000zyxm直线直线上一点上一点空间解析几何基础知识90定义定义直线直线:1l,111111pzznyymxx 直线直线:2l,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 两直线的方向向量的夹角称之两直

41、线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角空间解析几何基础知识91两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 空间解析几何基础知识92定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax,pnms ,cban 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角 0.2 空间解析几何基础知识93222222|sinpnmcbacpbnam 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公