推荐三角形常见辅助线的作法专题

1、12一、倍长中线一、倍长中线法法 遇到中线遇到中线可以利用可以利用倍长中线倍长中线，构造构造x全等全等，即把中线延长一倍，来，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。构造全等三角形。 如图，若如图，若ad为为abc的中线，的中线， 结论结论：abcde12 延长延长ad到到e，使，使de=ad，连结连结be（也可连结（也可连结ce）。）。abd ecd，1=e，b=2，ec=ab，ceab。3 可以利用角平分线所在直线可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。等三角形。二、角平分线对称全等二、角平分线对称全等 如图，在如图，在abc中，中，ad平分平

2、分bac。方法一：方法一：abcde必有结论：必有结论：在在ab上截取上截取ae=ac，连结连结de。ade adc。ed=cd，3 3* *2 21 1aed=c，ade=adc。4方法二：方法二：abcdf延 长延 长 a c 到到 f ， 使， 使af=ab，连结，连结df。必有结论：必有结论：abd afd。bd=fd，3 3* *2 21 1 如图，在如图，在abc中，中，ad平分平分bac。 可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。b=f，adb=adf。5abcdmn方法三：方法三：作作dmab于

3、于 m，dnac于于n。必有结论：必有结论：amd and。dm=dn，3 3* *2 21 1 如图，在如图，在abc中，中，ad平分平分bac。 可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。am=an，adm=and。 （还可以用（还可以用“角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两边距离相等边距离相等”来证来证dm=dn）6证明证明：例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形abcdabcd中，中，bdbd是是abcabc的的角平分线，角平分线，ad=cdad=cd，求证：，求证：a+c=180a+

4、c=180dabce在在bc上截取上截取be，使，使be=ab，连结，连结de。 bd是是abc的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在abd和和ebd中中 ab=eb（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） bd=bd（公共边）（公共边）abd ebd（s.a.s）1243 3+ 4180（平角定义），（平角定义），a3（已证）（已证）a+ c180 （等量代换）（等量代换）3 32 21 1* * a3（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） ad=cd（已知），（已知），ad=de（已证）（已证）de=dc（等量代换）（等量代换）4=c（

5、等边对等角）（等边对等角）ad=de（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）7证明证明: :例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形abcdabcd中，中，bdbd是是abcabc的的角平分线，角平分线，ad=cdad=cd，求证：，求证：a+c=180a+c=180dabcf延长延长ba到到f，使，使bf=bc，连结，连结df。 bd是是abc的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在bfd和和bcd中中 bf=bc（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） bd=bd（公共边）（公共边）bfd bcd（s.a.s）1243 fc（已证

6、）（已证）4=c（等量代换）（等量代换）3 32 21 1* * fc（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） ad=cd（已知），（已知），df=dc（已证）（已证）df=ad（等量代换）（等量代换）4=f（等边对等角）（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）（平角定义）a+ c180 （等量代换）（等量代换）df=dc（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）8证明证明: :例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形abcdabcd中，中，bdbd是是abcabc的的角平分线，角平分线，ad=cdad=cd，求证：，求证：a+c=180a+c=180dab

7、cm作作dmbc于于m，dnba交交ba的延长线于的延长线于n。 bd是是abc的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义） dnba，dmbc（已知）（已知）n=dmb=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在nbd和和mbd中中 n=dmb （已证）（已证） 1=2（已证）（已证） bd=bd（公共边）（公共边）nbd mbd（a.a.s）12 4=c（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） n433 32 21 1* * nd=md（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） dnba，dmbc（已知）（已知）nad和和mcd是是rt在在rt

8、nad和和rtmcd中中 nd=md （已证）（已证） ad=cd（已知）（已知）rtnad rtmcd（h.l） 3+ 4180（平角定义），（平角定义）， a3（已证）（已证）a+ c180（等量代换）（等量代换）9证明证明: :例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形abcdabcd中，中，bdbd是是abcabc的的角平分线，角平分线，ad=cdad=cd，求证：，求证：a+c=180a+c=180dabcm作作dmbc于于m，dnba交交ba的延长线于的延长线于n。12n433 32 21 1* * bd是是abc的角平分线（已知）的角平分线（已知） dnba，dmbc（已

9、知）（已知） nd=md（角平分线上的点到这（角平分线上的点到这 个角的两边距离相等）个角的两边距离相等） 4=c （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） dnba，dmbc（已知）（已知）nad和和mcd是是rt在在rtnad和和rtmcd中中 nd=md （已证）（已证） ad=cd（已知）（已知）rtnad rtmcd（h.l） 3+ 4180（平角定义）（平角定义） a3（已证）（已证）a+ c180（等量代换）（等量代换）10练习练习1 1如图，已知如图，已知abcabc中，中，adad是是bacbac的角平分线，的角平分线，ab=ac+cdab=ac+cd，求证：，求

10、证：c=2bc=2babcde122 21 1证明证明: :在在ab上截取上截取ae，使，使ae=ac，连结，连结de。 ad是是bac的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义）在在aed和和acd中中 ae=ac（已知）（已知） 1=2（已证）（已证） ad=ad（公共边）（公共边）aed acd（s.a.s）3b=4（等边对等角）（等边对等角）4* * c3（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等)又又 ab=ac+cd=ae+eb（已知）（已知）eb=dc=ed（等量代换）（等量代换） 3= b+4= 2b（三角形的一个外角等于（三角形的一个外角等

11、于和它不相邻的两个内角和）和它不相邻的两个内角和）c=2b（等量代换）（等量代换）ed=cd（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）11练习练习1 1如图，已知如图，已知abcabc中，中，adad是是bacbac的角平分线，的角平分线，ab=ac+cdab=ac+cd，求证：，求证：c=2bc=2babcdf12证明证明: :延长延长ac到到f，使，使cf=cd，连结，连结df。 ad是是bac的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）（角平分线定义） ab=ac+cd，cf=cd（已知）（已知） ab=ac+cf=af（等量代换）（等量代换） acb= 2f（三

12、角形（三角形的一个外角等于和它不相的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）邻的两个内角和）acb=2b（等量代换）（等量代换）32 21 1* *在在abd和和afd中中 ab=af（已证）（已证） 1=2（已证）（已证） ad=ad（公共边）（公共边）abd afd（s.a.s） fb（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） cf=cd（已知）（已知）b=3（等边对等角）（等边对等角）12练习练习2 2如图，已知直线如图，已知直线mnpqmnpq，且，且aeae平分平分banban、bebe平分平分qbaqba，dcdc是过是过e e的任意线段，交的任意线段，交mnmn于点于点d

13、d，交，交pqpq于点于点c c。求证：。求证：ad+ab=bcad+ab=bc。证明证明: :延长延长aeae，交直线，交直线pqpq于点于点f f。* *3 30 0* * *22222121abcdemnpq1234f513练习练习2 2如图，已知直线如图，已知直线mnpqmnpq，且，且aeae平分平分banban、bebe平分平分qbaqba，dcdc是过是过e e的任意线段，交的任意线段，交mnmn于点于点d d，交，交pqpq于点于点c c。求证：。求证：ad+ab=bcad+ab=bc。证明证明: :延长延长baba到点到点g g，使得，使得ag=adag=ad，连结，连结eg

14、eg。* *3 30 0* * *22222121abcdemnpq1234g14练习练习2 2如图，已知直线如图，已知直线mnpqmnpq，且，且aeae平分平分banban、bebe平分平分qbaqba，dcdc是过是过e e的任意线段，交的任意线段，交mnmn于点于点d d，交，交pqpq于点于点c c。求证：。求证：ad+ab=bcad+ab=bc。证明证明: :延长延长baba到点到点g g，使得，使得ag=adag=ad，连结，连结egeg。* *3 30 0* * *22222121abcdemnpq1234g15练习练习3 3 已知：如图在已知：如图在rtrtabcabc中，中

15、，bac=90bac=90，aebcaebc， bdbd是是abcabc的角平分线，的角平分线， gfbc gfbc ，求证：，求证：ad=fcad=fc。abcdeh12证明证明: :过过d d作作dhbcdhbc，垂足为，垂足为h h。gf* *3 30 0* * *16如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？小结：小结：（ 3 ） 作） 作 d m a b 于于 m ，dnac于于n。（1）在）在ab上截取上截取ae=ac，连结连结de。（2）延长）延长ac到到f，使，使af=ab，连结连结df。abcdefmn必有结论：必有结论：ade adc。必有结论：必有结论：abd afd。必有结论：必有结论：amd and。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。翻折三角形来构造全等三角形。