概率论第3章作业习题解答

1、1作业习题解答教材：盛骤 等概率论与数理统计第4版. 高等教育出版社, 2008概率论与数理统计概率论与数理统计22(1)盒子里装有3只黑球、2只白球、2只红球，在其中任取4只球。以x表示取到黑球的只数，以y表示取到红球的只数。求x,y的联合分布律。解：432247,0,1,2,3;0,1,2mnm nc c cmncpm ynx联合分布律为14/3518/3512/351/3510/3503/356/351/35220/352/3512/356/35015/352/353/350003210xypx=mpy=n第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题2(1)32(2)

2、在(1)中求pxy,py=2x,px+y=3,px3-y.14/3518/3512/351/3510/3503/356/351/35220/352/3512/356/35015/352/353/350003210xypx=mpy=n解：观察分布律表：px y=px=1,y=0+px=2,y=0+px=2,y=1+px=3,y=2=19/35py=2x=px=1,y=2=6/35px+y=3=px=1,y=2+px=2,y=1+px=3,y=0=20/35px3-y=px=0,y=0+px=0,y=1+px=2,y=0=10/35第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题2(

3、2)43. 设随机变量(x,y)的概率密度为(6), 02,24,( , )0, kxyxyf x y其他(1)确定常数k； (2)求px1,y3； (3)求px1.5； (4)求px+y4(2)1313021,3( , )( , )33/8p xydxdyf x ydxdyf x yk(1)2402( , )1811/8dxdyf x ykk 解：根据概率密度的性质和含义1.51.54021.5( ,272)74( ,2)3p xdxdyf x ydxdyf xky(3)(4)02424xy240216243( ,3)xp xydxdyf x yk第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量

4、及其分布 习题习题35第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题4(1)4. 设x, y都是非负的连续型随机变量，它们相互独立. 0)()(dxxfxfyxpyx其中fx(x)是x的分布函数，fy(y)是y的概率密度.(1) 证明(1) 证：因为相互独立，故联合概率密度为)()(),(yfxfyxfyx所求概率计算如下：gdxdyyxfyxp),(gy=xxyoxyyxg0, 0:6第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题4(1)yyxyfxdxfdy00)()()()(00yfxdxfdyyyxgdxdyyxfyxp),(0)()(yfydyfyx0

5、)()(xfxdxfyx因为x是非负的，故其分布函数为dttfxfxxx0)()(得证。7第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题4(2)4. 设x, y都是非负的连续型随机变量，它们相互独立. (2) 设x,y相互独立，其概率密度分别为其他 , 00 ,)(11xexfxx其他 , 00 ,)(22yeyfyy求pxy.(2) 解：联合概率密度为其他 , 00, 0 ,)()(),(2121yxeyfxfyxfyxyx8第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题4(2)yyxgedxdydxdyyxfyxp021021),(所求概率计算如下：211g

6、y=xxyoxyyxg0, 0:95. 设随机变量(x,y)具有分布函数1, 0,0,( , )0, xyx yeeexyf x y 其他求边缘分布函数., 1(00, ), ) ( yyyeyyff x 其他, 1(00, )( , ) xxxexf x yf 其他解：根据二维连续型随机变量边缘分布函数的定义式第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题510第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题66. 将一枚硬币掷3次，以x表示前2次中出现的h的次数，以y表示3次中h出现的次数。求x,y的联合分布律以及(x, y)的边缘分布律。|,ixpixjyp

7、jyixp解：根据乘法定理1or ; 2 , 1 , 0 ,)211 ()21(212or , 022iijicijijiii11第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题6x012py=jy01/8001/811/81/403/8201/41/83/83001/81/8px=i1/41/21/41联合分布律表(含边缘分布)12第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题88. 设二维随机变量(x,y)的概率密度为其他 , 00 ,),(yxeyxfy求边缘概率密度.0 ,),()(0yyedxedxyxfyfyyyy0 ,),()(xedyedyyxfx

8、fxxyx解：13第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题99. 设二维随机变量(x,y)的概率密度为其他 , 01 ,),(22yxycxyxf(1) 确定常数c;(2) 求边缘概率密度.(1) 解：根据概率密度的归一性要求可得214),(112112cydycxdxyxdyfdxx421 c14(2) 解：根据边缘概率密度的定义可得其他 0,11 ),1 (21),()(42122xxcxydycxdyyxfxfxx其他 , 010 ,32),()(2/52ycydxxcydxyxfyfyyy第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题9(2)151

9、1. 以x记某医院一天出生的婴儿的个数，y记其中男婴的个数，设x,y的联合分布律为14(7.14) (6.86,),!()!mn menmnmpmxy, ; 0,0,1,21,2,nnm(1)求边缘分布律； (2)求条件分布律；(3)特别，写出当x=20时，y的条件分布律解：(1)根据边缘分布律的计算式14147.146.86(7.14) (6.86), !()!(7.14)(7.14) !mn mn mn mmmep ymp xn ymm nmeeemmnm140014140(7.14) (6.86), !()!14 (7.14) (6.86)!()!mn mnnmmnnmn mmep xn

10、p xn ymm nmeenm nmnn第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题111611(2)求条件分布律已知联合分布律：1414(7.14) (6.86)14(1)!()!,mn mnmmn mneec ppmp xn ymnmn边缘分布律：1414!nep xnn7.14(7.14)!mep ymm，(泊松分布)6.86,(6.86)!|()n mp xn ymep ypmmynnmx根据条件分布律的计算式可得：,|(1)mmn mnp xn ymcpp ym xxnnpp7.14/140.51p 第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题11

11、1711(3)特别，写出当x=20时，y的条件分布律解：已经求得条件分布律,|(1)mmn mnp xn ymcpp ym xxnnpp0.51p ,2020|20(0.51)1, mmmcypppm xp则第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题1118第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题1313. 在第9题中 求条件概率密度 ，特别，写出y=1/2时x的条件概率密度。 求条件概率密度 ，特别，分别写出当x=1/3, x=1/2时的y的条件概率密度。(1)求条件概率：)|(|yxfyx)|(|xyfxy21|43 ,21|41xypxyp19第

12、第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题13解：已知联合概率密度为其他 , 01 ,),(22yxycxyxf其他 0,11 ),1 (21)(42xxcxxfx其他 , 010 ,32)(2/5ycyyfy边缘概率密度分别为20第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题13(1)其他， , 012332)(),()|(22/322/52|yxyxcyycxyfyxfyxfyyx其他， , 02123)21(23)21|(222/32|xxxyxfyx21第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题13其他， , 0112)1 (21)

13、(),()|(24422|yxxyxcxycxxfyxfxyfxxy其他， , 0191 4081)3/1 (12)31|(4|yyyxyfxy(2)其他， , 0141 1532)2/1 (12)21|(4|yyyxyfxy22第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题13(3)11532)2/1 ,(21|4114/14/1|ydydyyfxypxy1571532)2/1 ,(21|4314/34/3|ydydyyfxypxy23第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题1414. 设随机变量(x,y)的概率密度为其他 , 0, 10 ,| , 1)

14、,(xxyyxf求条件概率密度)|( ),|(|yxfxyfyxxy1xy0 xy xy1124第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题14条件概率密度为xyxxxfyxfxyfxxy| , 10 ,21)(),()|(|1| , 1| ,|11)(),()|(|xyyyyfyxfyxfyyx1xy0 xy xy11解：先计算两个边缘概率密度10 ,2),()(xxdydyyxfxfxxx1| |,|1 ),()(1|yydxdxyxfyfyy2521. 设随机变量(x,y)的概率密度为, 01,01,( , )0, xyxyf x y其他分别求(1)z=x+y,(2)z

15、=xy的概率密度。解(1)( )(, )zzf zy y dyf2011(, ), 01(, )(2), 120, zzf zy y dyzzf zy y dyzzz其他zx0112y=zy=z-1y第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题212621(2) z=xy的概率密度zx011x=z1( )( , )|zzzf xdxxxf解：12(1), 010, 1() zzxdxxzxz其他第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题21(2)27第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题2323. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为0 , 00 ,)(tttetft设各周的需求量相互独立. 求(1)两周，(2)三周的需求量的概率密度.解：设这两周的需求量分别为x,y,则x,y相互独立，概率密度分别为0 , 00 ,)(xxxexfxx0 , 00 ,)(yyyexfyy28第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题23两周的需求量z=x+y,其概率密度为zzzyxzdxexzxdxxzfxfzf00)()()()(0 , 00 ,613zzezz29第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 习题习题2424. 设随机变量