正多边形与圆分析

1、春季同步课程第四讲正多边形与圆教学目标1. 了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，正多边形内角、中心角的求法2. 掌握圆与正多边形之间的关系及其相关运算3. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法教学重点正多边形内角、中心角的求法，正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法.教学难点会应用圆与圆的内接正多边形的边长之间的关系解决实际问题教学方法建议总结归纳，启发诱导，讲练结合，巩固优化第一部分知识梳理与正多边形有关的概念1. 正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，如上图的正六边形ABCDEF.2. 正多边形的中心正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做这个

2、正多边形的中心，如上图的点O.3. 正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，如上图中的OG OD.4. 正多边形的边心距正多边形的内切圆的半径长叫做这个正多边形的边心距，如上图中的OG.5. 中心角,如上图圆中的正多边形的一边所对的关于外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角/ COD.正多边形的对称性1. 正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形.一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.2. 正多边形的中心对称性当边数为偶数时，正多边形是中心对称图形，它的对称中心是它的两条对称轴的交点当边数为奇数时，正多边形不是中心对称图形三.圆内正多边形的计算在正n边

3、形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正 n边形分成n个全等的等腰三角 形.每个等腰三角形的腰是正 n边形的半径，底边是正 n边形的边，顶角是正 n边形的中 心角；底边上的高是正 n边形的内切圆的半径.它的长是正n边形的边心距.如图，设n边形的半径长为 R,中心角为a,边长为 a，边心距为r，则利用等腰三 角形OCD通过解直角三角形 OGD可由其中的两个量求出其余的两个量 进一步还可以求 出这个正n边形的周长和面积.在有关正多边形的计算中，重点掌握：(1) 已知边数求有关角的大小，或反过来已知有关角的大小求边数(2) 利用三角比进行有关正三角形、正四边形、正六边形的边长、边心距和半径长的计算.第

4、二部分例题精讲例1下面给出五个命题(1) 正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆BE(2) 各边相等的圆外切多边形是正多边形(3) 各角相等的圆内接多边形是正多边形(4) 正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形(5) 正n边形的中心角y,且与每一个外角相等其中真命题有()A. 2个 B . 3个 C . 4个 D. 5个 出题意图：考查正多边形中的基本概念以及对称性解析：(1)正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故 正确；(2)各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；(3) 圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；

5、(4) 边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形 是轴对称图形，不是中心对称图形；(5)正n边形的中心角an 故正确的是(1) (5).答案：B360，且与每一n-个外角相等.针对训练1卜列命题中，正确的命题是( )A.正多边形一定是中心对称图形B.正n边形的对称轴有n条C.正多边形的对称轴是过顶点和中心的直线.D.各边相等的多边形是正多边形 例2 (1)如图1，已知 PAC是圆0的内接正三角形，那么/ OAC多少度？(2)如图2，设AB是圆0的直径，AC是圆的任意一条弦，/ OAOa- 如果a= 45。，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此

6、多边形是几边形？请说明理由. 若AC是圆的内接正n边形的一边，贝U用含n的代数式表示a,应为出题意图：考查圆内正多边形的计算解析：（1）先根据圆周角定理求出/ AOC勺度数，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的 性质即可解答；（2）假设AC是圆内接多边形的一条边， 则此多边形的内角为 45°X 2=90 故此多边形是正方形；根据正多边形内角和定理即可求出答案.答案：解：（1）：公PAC是圆O的内接正三角形/ AOC=Z APC=2X 60° =120°/ OA=OCOAC（2）能Ta =45°圆内接正多边形的一个内角为90°是正方形 AC是圆的

7、内接正n边形的一边180AOC180120302 (n 2) 18090180n针对训练2如图，已知正四边形 ABCD内接于半径是6厘米的eO，求图中阴影部分的周长和面积AC例3如图，已知半径长为 R的eO中， ABC和四边形ADEF分别是eO的内接正三角形 和内接正方形，求 BC EF、EC的长.FCAbAc, boeCOE60 ,AEBC.在BOH 中,BHOB sinBOE二 R2BC2BH、3R在OEF中，EOF90 ,0EOFREF、2R出题意图：考查正多边形的计算解析：利用正多边形的相关概念，并结合三角比，通过解直角三角形即可得出答案 答案： 如图，联结 OB OC AE OF,贝

8、U由题意AE过点0,且 BOC 120 , EOF 90 设OE交BC于HQ AB AC在 EOC 中， COE 60 ,OE OC R答案:解：Q AB是e O的内接正十二边形的一边春季同步课程OCE是等边三角形EC R针对训练3求半径为R的圆的外切正三角形和内接正六边形的面积比例4 已知点A B、C在eO上，AB是e O的内接正十二边形的一边，BC是e O的内接正方形的一边，求以 AC为一边的eO的内接正多边形的边数出题意图：考查正多边形的计算解析：先算出Ab所对的圆心角 AOB的度数和?C所对的圆心角 BOC的度数，从而可以求出Ac所对的 AOC的度数，最终即可算出以 AC为一边的e O

9、的内接正多边形的边数.360120AOB 360 3012又Q BC是e O的内接正方形的一边BOC360904AOC3090120 或 903060边数为3AOC 120 时,春季同步课程当 AOC 60时，3606边数为660综上：以AC为一边的圆0的内接正多边形的边数为 3或6针对训练4已知点A、B C在e 0上，AB是e 0的内接正五边形的一边， AC是e 0的内接正六方形的一边，求 BAC的度数第三部分优化作业基础训练题（A）1. 下列说法中，正确的是（）A. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B. 正多边形的中心角都是锐角，内角都是钝角C. 正多边形的中心角与边数成反比例关系

10、.D正多边形的内角是边数的正比例函数.2. 下列图形中，既有内切圆又有外接圆的是（）A.等腰梯形B. 菱形C.矩形D.正方形3. 已知正多边形的半径与边长相等，那么这个正多边形的边数是（）A.6B.5C.4D.74. 以半径为1的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，则（C春季同步课程A.不能构成三角形B.这个三角形是等腰三角形C.这个三角形是直角三角形D.这个三角形是等腰直角三角形5. 正五边形是 对称图形6. 正八边形有条对称轴，它不仅是对称图形，还是对称图形.7. 内切圆的半径是,3，外接圆的半径是 2的正多边形边数是 .8. 正五边形的中心角等于 度，正十边形的外角等

11、于 度.9. 若点A B、C在e O上，AB是e O的内接正十边形的一条边，BC是e O的内接正十五边形的一边，则以 AC为一边的eO的内接正多边形的边数是 .10. 已知：如图，正三角形 ABC外接圆的半径为 R,求它的边长、边心距和面积.11. 如图，已知正五边形 ABCDE勺边长为2.(1) 求正五边形 ABCDE勺一个内角的度数；(2) 已知AE和CD的延长线相交于点 0,求DC长.13.如图，正五边形 ABCDE，对角线 AD与BE相交于点P.求证：EA2 EP BE12. 如图，要把边长为6厘米的正三角形纸板剪去三个三角形, 正六边形的周长和面积得到一个正六边形，求这个14.如图，

12、已知多边形 ABDEC是由边长为4的等边三角形 ABC和正方形BDEC组成，一个圆 过A D E三点，求该圆半径的长.DE春季同步课程提高训练题（B）1. 如图，有一圆内接正八边形 ABCDEFG日若厶ADE的面积为10,则正八边形 ABCDEFG的面积为 （）A. 40FD. 802.正多边形的一个内角的度数不可能是（）A. 80B.135C.144D.1503. 小敏将一个正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图所示, 该正五边形的边心距 0B长为.2，AC为科学方舟船头 A到船底的距离，请你计算1AC - AB =. （不能用三角函数表达式表示）24. 求证：从正六边

13、形的一个内角顶点所作的三条对角线四等分这个内角春季同步课程5. 如图，e O的半径为10cm,把圆周六等分的分点为 M N P、Q K、T,分别联结 MRNQ NT PK QT MK得到两个三角形 MPK和NQT它们的边分别相交于点 A B、C、D E、F，求这个六边形的面积.6. (1)正三角形在O O中厶ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进行：则DO:BD:OB的值?(2) 如果是正四边形，则 OE:AE:OA的比值是多少？(3) 如果是正六边形 AB:OB:OA的比值是多少？春季同步课程7. 求边长为a的正五边形ABCDE勺对角线的长A到正五边形的五边8. 设正五边形的边长为

14、a，面积为S,在正五边形内任取一点 A,则点距离之和是一个定值吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由综合迁移题（C）1. 一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比3. eOi和e O2的公共弦AB既是e O1的内接正方形的一条边，又是e O2的内接正三角形的一条边，已知 AB=a求0Q2的长.OM10.一 D2 R, BC11. (1)108（2）DO 751 （提示：联结CE禾U用比例即可）12. 12cm , 6 3卅13.证明过程略（提示：可证得AEAPE : BAE，所以 BEEPEA，从而得出答案）春季同步课程 参考答案：针对训练1. B2. 周长：（1224,2 ）厘米 面积：（3672）厘米23. 2:14. 6 或 114基础训练题（A）1. C2. D3. A4. C5. 轴6. 8 ，轴，中心7. 68. 72,369. 6 或 3014. 4 （提示：先找出圆心的位置，过A作DE的垂线，再联结AD,并作AD的中垂线，两条线的交点即是圆心，然后利用圆中的相关条件进行解答即可） 提高训练题（B） 1. A春季同步课程2. A3. U24. 证明过程略5. 50、3 cm26. （ “OD：BD：OB 1:73:2（ 2）OE:AE:OA 1:1:农 （3）AB:OB:OA 1/3: 2J5 17. 丄a