开放与探索型问题

1、(学P154)第38讲开放与探索型问题第七章数学思想与开放探索问题第四篇综合与实践1内容特性所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性由于这类题综合性强、解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用数形结合、分类讨论等数学思想2问题类型(1)条件开放与探索型问题；(2)结论开放与探索型问题；(3)条件、结论开放与探索型问题；(4)过程开放与探索型问题3解题策略从总体上看，解开放型题时，通过观察、比较、分析、综合及猜想，应尽可能地放开思维，大胆猜想，仔细论证，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出

2、正确的结论从方法上看，一般以分类讨论及反演推理等方法较为常见(1)条件开放型问题：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性类型一条件开放与探索型问题例1(2013荆门)四边形ABCD中，对角线A

3、C、BD相交于点O，给出下列四个条件：ADBC；ADBC；OAOC；OBOD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A3种 B4种 C5种 D6种【思路分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可【答案】组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；可证明ADOCBO，进而得到ADCB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；可证明ADOCBO，进而得到ADCB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边

4、形判定出四边形ABCD为平行四边形；故选：B.【解后感悟】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件1(2014温州)请举反例说明“对于任意实数x，x25x5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x (写出一个x的值即可)2类型二结论开放与探索型问题例2如图，在AEC和DFB中，EF，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：AEDF，ABCD，CEBF.(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你

5、认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果，那么”)(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由 【思路分析】(1)如果作为条件，作为结论，得到的命题为真命题；如果作为条件，作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；(2)若选择(1)中的如果，那么，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由ABDC，等式左右两边都加上BC，得到ACDB，又EF，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等得到CEBF，得证；若选择如果，那么，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由EF，CEBF，利用AAS可

6、得出三角形ACE与三角形DBF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出ACBD，等式左右两边都减去BC，得到ABCD，得证【答案】(1)如果，那么；如果，那么；(2)若选择如果，那么，证明：AEDF，AD，ABCD，ABBCBCCD，即ACDB，在ACE和DBF中，ACEDBF(AAS)，CEBF；若选择如果，那么，证明：AEDF，AD，在ACE和DBF中，ACEDBF(AAS)，ACDB，ACBCDBBC，即ABCD.EF，AD，ACDB，EF，AD，ECFB，【解后感悟】此题运用全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键2(201

7、3烟台)已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是_，QE与QF的数量关系是_(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明 (3)如图3，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明【答案】(1)AEBF，QEQF.(2)QEQF.证明：延长FQ交AE于点D.AEBF，12.34，AQBQ，AQDBQF.QDQF.AECP，QE为斜边FD中线QEQF(3)(2)中结

8、论仍然成立理由：延长EQ，FB交于点D.AEBF，1D.23，AQBQ，AQEBQD.QEQDBFCP，FQ为斜边DE中线QEQF.类型三条件、结论开放与探索型问题例3(2013益阳)如图1，在ABC中，A36，ABAC，ABC的平分线BE交AC于E.(1)求证：AEBC；(2)如图(2)，过点E作EFBC交AB于F，将AEF绕点A逆时针旋转角(0144)得到AEF，连结CE，BF，求证：CEBF；(3)在(2)的旋转过程中是否存在CEAB？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由【思路分析】(1)根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；(2)由旋转的性质

9、可知：EACFAB，AEAF，根据全等三角形证明方法得出即可；(3)分别根据当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，当点E的像E与点N重合时，求出即可【答案】(1)证明：ABAC，A36， ABCC72. 又BE平分ABC，ABECBE36. BEC180CCBE72.ABEA，BECC. AEBE，BEBC.AEBC.(2)证明：ACAB且EFBC，AEAF； 由旋转的性质可知：EACFAB，AEAF， 在CAE和BAF中，CAEBAFCEBFABAC，FABEAC，AFAE，(3)存在CEAB.由(1)可知AEBC，所以，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径(圆弧)

10、与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形， BAMABC72，又BAC36. CAM36当点E的像E与点N重合时由ABl得，AMNBAM72，AMAN，ANMAMN72MAN18027236CANCAMMAN72当旋转角为36或72时，CEAB.【解后感悟】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键3(2013苏州)如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB10cm，BC12cm.点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1

11、cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s.当点F到达点C(即点F与点C重合)时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是EBF，设点E，F，G运动的时间为t(单位：s)(1)当t_s时，四边形EBFB为正方形；(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；(3)是否存在实数t，使得点B与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)2.5(2)由题意得AEt，BF3t，CG1.5t.AB10，BC12，BE10t，FC123t.点F在BC上运动，03t12，即0t4.当EBFFCG时， ，

12、，解得t .当EBFGCF时， ， ，CGBFEBFCttt5 . 133t-1210514FCBFEBCGttt31231.5t10化简，得t228t800.解得t1142 ，t2142 (不合题意，舍去)0t4，t 或t142 符合题意若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，则t 或t142 .69695146951469(3)不存在，理由如下：如图，连结BD.点O为矩形ABCD的对称中心，点O为BD的中点假设存在实数t，使得点B与点O重合，此时，EF是OB垂直平分线，垂足为点H.易知，BD2 ，BH BD .易证EHBBHFBCD，BF ，BE .AE10BE

13、.点F的运动速度是点E的运动速度的3倍，但 3，不存在实数t，使得点B与点O重合4161261126110611039AEBF类型四过程开放与探索型问题例4(2014绍兴)(1)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF45，延长CD到点G，使DGBE，连结EF，AG.求证：EFFG. (2)如图，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，点M，N在边BC上，且MAN45，若BM1，CN3，求MN的长【思路分析】(1)证ADGABE，FAEFAG，根据全等三角形的性质求出即可；(2)过点C作CEBC，垂足为点C，截取CE，使CEBM.连结AE、EN.通过证明ABMACE(

14、SAS)推知全等三角形的对应边AMAE、对应角BAMCAE；然后由等腰直角三角形的性质和MAN45得到MANEAN45，所以MANEAN(SAS)，故全等三角形的对应边MNEN；最后由勾股定理得到EN2EC2NC2即MN2BM2NC2.【答案】(1)证明：ABEADG，ADAB， 在ABE和ADG中，ABEADG(SAS)，ADAB，ABEADG，DGBE，BAEDAG，AEAG，EAG90，在FAE和GAF中，FAEFAG(SAS)EFFG；AEAG，EAFFAG45，AFAF，(2)解：如图2，过点C作CEBC，垂足为点C，截取CE，使CEBM，连结AE、EN， ABAC，BAC90，BA

15、CB45， CEBC，ACEB45，在ABM和ACE中，ABMACE(SAS)ABAC，BACE，BMCE，AMAE，BAMCAE. BAC90，MAN45，BAMCAN45. 于是，由BAMCAE，得MANEAN45. 在MAN和EAN中， MANEAN(SAS) MNEN. 在RtENC中，由勾股定理，得EN2EC2NC2. MN2BM2NC2.BM1，CN3，MN21232， MN .AMAE，MANEAN，ANAN，10【解后感悟】 本题是几何综合题，通过观察、比较、分析、综合及猜想，运用正方形、全等三角形、等腰直角三角形以及勾股定理等几何图形的性质，经过归纳、类比、联想等推理的手段，

16、得出正确的结论(学P156)4(2013陕西)问题探究(1)请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；(2)如图，M是正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由问题解决(3)如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABCDBC，点P是AD的中点，如果ABa，CDb，且ba，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由【答案】(1)如图所示(2)如图，连结AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交A

17、B、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分 理由如下： 点O是正方形ABCD对角线的交点，点O是正方形ABCD的对称中心 APCQ，EBDF. 在AOP和BOE中 AOP90AOE， BOE90AOE， AOPBOE.OAOB，OAPEBO45， AOPBOE(ASA)APBEDFCQ.AEBQCFPD.设点O到正方形ABCD一边的距离为d. (APAE)d (BEBQ)d (CQCF)d (PDDF)dS四边形APOES四边形BEOQS四边形CQOFS四边形POFD直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分21212121(3)存在当BQCDb时，PQ将四边形ABCD面

18、积二等分理由如下： 如图，延长BA至点E，使AEb，延长CD至点F，使DFa，连结EF. BECF，BECF.四边形BCFE为平行四边形 BCBEab， 平行四边形BCFE为菱形 连结BF交AD于点M，则MABMDF. AMDM，即点P、M重合 点P是菱形EBCF对角线的交点 在BC上截取BQCDb，则CQABa.设点P到菱形EBCF一边的距离为d.SABPSQBP (ABBQ)d (CQCD)d SCQPSCDP.当BQb时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分2121【经验积累题】【试题】(2013临沂)如图，矩形ABCD中，ACB30，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线A

19、C，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F.(1)当PEAB，PFBC时，如图1，则 的值为_(2)现将三角板绕点P逆时针旋转(060)角，如图2，求 的值；(3)在(2)的基础上继续旋转，当6090，且使APPC12时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论PFPEPFPEPFPE【分析与解】(1)(2)如图2，过点P作PHAB，PGBC，垂足分别为H，G.在矩形ABCD中，ABC90，PHBC.又ACB30，APHPCG30PHAPcos30 AP，PGPCsin30 PC由题意可知HPEGPF，RtPHERtPGF.32321 又点P在矩形ABCD对角线交点上，APPC. PCAPPCAPPGPHPFPE321233PFPE(3)变化证明：如图3，过点P作PHAB，PGBC，垂足分别为H，G.根据(2)，同理可证 又AP