二次函数知识点总结和题型总结

1、精品word 二次函数学问点总结和题型总结一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如是常数，的函 数，叫做二次函数。 这里需要强调：a 0 最高次数为2 代数式肯定是整式2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项例题：例1、函数y=(m1)xm2 +1+5x3是二次函数，求m的值。练习、假设函数y=(m2+2m7)x2+4x+5是关于x的二次函数，那么m的取值范围 为 。二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：的性质：a 确实定值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，

2、随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，

3、随的增大而增大；时，有最大值二次函数的对称轴、顶点、最值技法：假设解析式为顶点式y=a(xh)2+k，那么最值为k；假设解析式为一般式y=ax2+bx+c那么最值为1抛物线y=2x2+4x+m2m经过坐标原点，那么m的值为 。2抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为1，3，那么b ，c .3抛物线yx23x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4假设抛物线yax26x经过点(2，0)，那么抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A. B. C. D.5假设直线yaxb不经过二、四象限，那么抛物线yax2bxc( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y

4、轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴6 二次函数y=mx2+(m1)x+m1有最小值为0，那么m 。三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的外形不变，将其顶点平移处处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的根底上“值正右移，负左移；值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减 方法二：沿轴平移:向上下平移个单位，变成或沿轴平移：向左右平移个单位，变成或函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题：1抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。2抛物线y=2x212x+25的开口方向是 ，顶点坐

5、标是 。3通过配方，写出以下函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：1y=x22x+1 ； 2y=3x2+8x2； 3y=x2+x44、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得 图象的解析式是y=x23x+5，试求b、c的值。5、把抛物线y=2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 问所得的抛物线有没有最大值，假设有，求出该最大值；假设没有，说明理由。四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然

6、后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，假设与轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值例题：函数y=a(xh)2的图象与性质1填表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标2 试说明函数y=(x3)2 的图象特点及性质开口、对称轴、

7、顶点坐标、增 减性、最值。3 二次函数y=a(xh)2的图象如图：a = ，OAOC，试求该抛物线的解 析式。二次函数的增减性1. 二次函数y=3x26x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y 随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。2. 函数y=4x2mx+5，当x> 2时,y随x的增大而增大；当x< 2时，y 随x的增大而削减；那么x1时,y的值为 。3. 二次函数y=x2(m+1)x+1，当x1时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是 .4.二次函数y=x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x

8、1<x2<x3，那么y1,y2,y3的大小关系为 .七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：，为常数，；2. 顶点式：，为常数，；3. 两根式：，是抛物线与轴两交点的横坐标.留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，明显 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结

9、起来，打算了抛物线开口的大小和方向，的正负打算开口方向，的大小打算开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，打算了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，打算了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边那么，在轴的右侧那么，概括的说就是“左同右异总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的

10、交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，打算了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的例题：函数的图象特征与a、b、c的关系1.抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，那么a、b、c的符号为A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<0 2.抛物线y=ax2+bx+c的图象2如下图，那么以下结论正确的选项是 Aa+b+c> 0Bb> -2aCa-b+c>

11、; 0Dc< 03.抛物线y=ax2+bx+c中，b4a，它的图象如图3，有以下结论： c>0； a+b+c> 0a-b+c> 0b2-4ac<0abc< 0 ；其中正确的为 ABCD4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是 5.二次函数yax2bxc，假设a>b>c，且abc0，那么它的图象可能是图所示的( ) 6 二次函数yax2bxc的图象如图5所示，那么abc，b24ac， 2ab， abc 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.在同一坐标系中

12、，函数y= ax2+c与y= (a<c)图象可能是图所示的( ) A B C D8.反比例函数y= 的图象在一、三象限，那么二次函数ykx2-k2x-1c的图象大致为图中的 A B C D 9.反比例函数y= 中，当x> 0时，y随x的增大而增大，那么二次函数ykx2+2kx的图象大致为图中的 A B C D 二次函数解析式确实定：依据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种状况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛

13、物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式例题：函数解析式的求法一、抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1二次函数的图象经过A0，3、B1，3、C1，1三点，求该二 次函数的解析式。2 抛物线过A1，0和B4，0两点，交y轴于C点且BC5，求该二 次函数的解析式。二、抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(xh)2+k求解。3二次函数的图象的顶点坐标为1，6，且经过点2，8，求该二 次函数的解析式。4 二次函数的图象的顶点坐标为1，3，且经过点P2，

14、0点，求二 次函数的解析式。三、抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(xx1)(xx2)。5二次函数的图象经过A1，0，B3，0，函数有最小值8，求该二次 函数的解析式。九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180° 关于顶点对称后，得到

15、的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的外形肯定不会发生变化，因此永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或便利运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与轴交点状况：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊状况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离.

16、 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴肯定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置推断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号推断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式

17、，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.例题：二次函数与x轴、y轴的交点二次函数与一元二次方程的关系1. 假设二次函数yx24xc图象与x轴没有交点，其中c为整数，那么c 写一个即可2. 二次函数yx2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3. 抛物线y3x22x1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个

18、交点 C.有两个交点 D.有三个交点4. 如下图，二次函数yx24x3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 那么ABC的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.15. 抛物线y5x2(m1)xm与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为 ，那么m的值为( ) A.2 B.12 C.24 D.486. 抛物线yx2-2x-8，1求证：该抛物线与x轴肯定有两个交点；2假设该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。十一、函数的应用二次函数应用二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相

19、见,b的符号较特殊，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。假设求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。例题：二次函数应用(一经济策略性1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店打算提高销售价格。经检验觉察，假设按每件20元的价格销售时，每月能卖360件假设按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件是价格