整理003空间解析几何与线性代数期终

1、02-03学年第二学期空间解析几何与线性代数期终试题200215 1-3，i I02A3 0|11 0 =01.2.3.4.一填空题侮小题3分,共36分):0若A是正交矩阵，则行列式|A3AT| = _;空间四点A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(-1, 4, 9)共面的充分必要条件是5.点P(2, 4 “到直线1：宁二葺時的距离为6. 若4阶方阵A的秩为2,则伴随矩阵A*的秩为_;7. 若可逆矩阵P使AP = PB, B = J 2 ,则方阵 a的特征多项式为；8. 若3阶方阵A使I -A, 2I A, A+3I都不可逆，则A与对角阵相似(其中I是3阶

2、单位矩阵);0 1 119. 若A = x 1 y与对角阵相合，则(x, y) = .1 -2 0 一10. 设 A = A1, A2, A3, A4,其中列向量 A1, A2, A4线性无关,A3 = 2A1 - A2 +A4,则齐次线性方程组 Ax = '的一个基础解系是；11. 设 A, B 都是 3 阶方阵,AB = O, r(A) - r(B) = 2,则 r(A) + r(B) =(A) 5;(B) 4;(C) 3;(D) 2;12. 设n阶矩阵A满足A2 = 2A,则以下结论中未必成立的是.(A) A-I 可逆，且(A-I)1 = A-I;(B) A = O 或 A =

3、2I;(C)若2不是A的特征值，则A = O;(D) |A| = 0或A = 2I.二计算题(每小题8分，共24分)2 01513 110113. 12-313 01214.求直线1:x -2 y T z 1在平面二:x + y - 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程.1 0 2|-1 0 0115.设 XA = AB + X,其中 A =0 2 0,B =0 0 0-1 0 10 0 1求X ".三 计算题,解答题(3小题共32分).1 111212ao g P-51-1， 253 5厂-30 一一b.V = L(1, - 2, >3)是由16.设向量组一：打二二1,二

4、2,二3生成的空间.已知维(V) = 2,V.(1)求a, b; (2)求V的一个基，并求在此基下的坐标；(3)求V的一个 标准正交基.仃.用正交变换化简二次曲面方程：2 2X1 + X2 - 4X1X2 - 2X1X3 - 2X2X3 = 1求出正交变换和标准形，并指出曲面类型. 218.设D为由yOz平面中的直线z = 0,直线z = y ( y - 0)及抛物线y + z = 2, 围成的平面区域.将D绕y轴旋转一周得旋转体(1) 画出平面区域D的图形；(2) 分别写出围成门的两块曲面S1, S2的方程；(3) 求S1, S2的交线I在zOx平面上的投影曲线C的方程；(4) 画出S1,

5、S2和l, C的图形.四证明题，解答题(每小题4分，共8分).19. 设口是线性方程组Ax = b的一个解，b式B, ®, S是导出组Ax =日的基础解 系.证明：，1+ , 2+线性无关.20. 设是3维非零实列向量， 2 .又A = -：J.(1)求A的秩；(2)求A的全部特征值；(3)问A是否与对角阵相似？ (4)求|l -A3|.02-03学年第二学期空间解析几何与线性代数期终试题解答一填空题侮小题3分，共36分):10 2-2002O2 10-3 10/2113. 若A是正交矩阵，则行列式|A A | = 1;4. 空间四点A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C

6、(1, 2, k), D( 1, 4, 9)共面的充分必要条件 是 k = 3;5. 点P(2, -1, 1)到直线|：兰1二上二？的距离为_J_ ;2216. 若4阶方阵A的秩为2,则伴随矩阵A*的秩为_0 ;7. 若可逆矩阵P使AP = PB, B = 0 孑，贝昉阵A的特征多项式为1OO-(并1)(；'3);8.若3阶方阵A使I -A, 21 A, A+3I都不可逆，则A与对角阵似(其中I是3阶单位矩阵);0 1 19. 若A = x 1 y与对角阵相合，则(x, y) = (1, -2).J -2 ° 一10. 设 A = A1, A2, A3, A4,其中列向量 A

7、1, A2, A4线性无关,A3 = 2A1 - A2 + A4,则齐次线性方程组 Ax =二的一个基础解系是 =2, -1, -1, 1T;11. 设 A, B 都是 3 阶方阵,AB = O, r(A) - r(B) = 2,则 r(A) + r(B) = _D ;(A) 5;(B) 4;(C) 3;(A) A-I 可逆,且(A-I)1 = A-I;(B) A = O 或 A = 2I;(C)若2不是A的特征值，则A = O;(D) |A| = 0 或 A = 2I.(D) 2;12.设n阶矩阵A满足A2 = 2A,则以下结论中未必成立的是_B .二计算题(每小题8分，共24分)20113

8、.11120-33010 00 10 11 05 叫1)2114 03012010-30-32 1 0 1011010-303 汇(一1)叫一2)10-3001111040 3 43 14 = 2914求直线l:宁二亍二宁在平面二：x + y- 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程.解：过直线I且垂直于平面二的平面 1的法向量必垂直于向量2, 1, 2和1, 1, -2,因而可取为丿；又因为二1过直线I上的点(2, 1, -1),=-4, 6, 1.由此可得平面二1的点法式方程-4(x - 2) + 6( y- 1) + (z + 1) = 0整理得于是可得直线I：2投影直线的一般方程：4

9、x6 y-z - 3 = 0x-2 :上！=三在平面二:x + y - 2z + 1 = 0上的垂直 1 2：x + y_2z+1=0 4x-6y_z_3 = 0.- 1 _-1,B = |0解:原方程可化为X(A-1) = AB,其中I表示单位矩阵.0 0 0AI =00广12, AB =02.10 求 X 99.10 0 2(1 0 00 1 00 1 0-1 0 0初等列变换0 1-1 0 2十01I。 0 00 0 01 0 1L1/2 0 -1=ab(A_i"4-1 01 1r3/200 1于是可得X =AB(AI)0 00 ,X =000 1L1/2 0-1003/23

10、100100,201992 49349100101 1349'101X(X2)x1 149000000=J9000 .2 :001J/20-121/20-1(注意X未必等于(A-l)AB !)j 1_11设向量组。1= 21口2 =1,2 0,5= 10 一216.三 计算题,解答题(3小题共32分).P= _5j . V = L(G1, «2, «3)是由4：1, ： 2, ： 3生成的空间.已知维(V) = 2, V.(1)求a, b; (2)求V的一个基，并求在此基下的坐标；(3)求V的一个 标准正交基.1 122 1解：(1) A = 巴1, 5, 。3,初

11、等行变换!21 :115 _ 310 2ab0-1313-10 a -6 b + 2 .000因为维(V) = 2, V.所以 a - 6 = b + 2 = 0,即 a = 6, b = - 2.由上述初等行变换的结果可知：1, ： 2构成V的一个基，且=31 一 ： 2.令-1 =：1, 2 =2,1 :132006-11/21012刁1 11_1/21再单位化得V的一个标准正交基6-612 - O10 142-6仃.用正交变换化简二次曲面方程：2 2X1 + X2 - 4x1 X2 - 2X1X3 - 2X2X3 = 1求出正交变换和标准形，并指出曲面类型.解:二次型f(X1,X2,X3

12、)=X12+X22- 4X1X2- 2X1X3-2X2X3的矩阵 A =1-2-111-21-1 1.厂1-10 J2 1 -1 1 1=(-3)(- 1)(+ 2).九1A的特征多项式Rd -A | =21=-2的特征值向量：j 111可-1, = 1 , 3二 10丄A 的特征值 1 = 3, 2 = 1,= -2.由(iI -A)x =二求得A的对应于i = 3, 2 = 1, 运1 1,单位化得P 1-1 , P2它们已经两两正交-Ki I- 6-6- I211 -111-5问2令 P =-V2 2.0v/6v'3/3 I_1P且施6冋3 ,贝U PTP =6 33 33 00

13、0 1 0 1.0 0 -2222令x = Py,则原二次曲面的方程化为 3y1 + y2 - 2y3 = 1. 可见该二次曲面为二次锥面.18.设D为由yOz平面中的直线z = 0,直线z = y ( y - 0)及抛物线y + z2 = 2,围成的平面区域.将D绕y轴旋转一周得旋转体门.(1)画出平面区域D的图形； 分别写出围成门的两块曲面S1, S2的方程；(3) 求Si, S2的交线I在zOx平面上的投影曲线C的方程;(4) 画出Si, S2和I, C的图形.解：(1)平面区域D的图形如右图所示：门由锥面Si： y= x2z2和旋转抛物面S2： y = 2-x2-z2围成.(3)由 y

14、 = . x2 z2 和 y = 2- x2 - Z 消去 y 得 x2 + z = 1.由此可得Si, S2的交线I在zOx平面上的投影曲线2 2c的方程:x=0Si, S2和I, C的图形如右图所示：四证明题,解答题(每小题4分,共8分).19.设口是线性方程组Ax = b的一个解，b式耳，S是导出组Ax =日的基础解 系.证明：，1+ , 2+线性无关.证明：因为A = b “，所以 不是线性方程组 Ax =二的解.而1, 2是Ax =油勺基础解系，故，】，2线性无关，否则 能由1, 2线 性表示，从而是线性方程组 Ax =二的解，矛盾！假若 k1+ k2( 1+ ) + k3( 2+

15、)=飞,则(k1 + k2 + k3)+ k2 1 + k3 2 =-.于是(k1 + k2 + k3) = k2 = k3 = 0,即 k1 = k2 = k3 = 0.所以，1+ , 2+线性无关20.设是3维非零实列向量，= 2 .又A =、-J.(1) 求A的秩；(2)求A的全部特征值；(3)问A是否与对角阵相似？ (4)求|I -A3|.TT aa ab ac解：(1)设a = a, b, c式日，则 A = aa = ba bb bc 丰 O,且秩(A) = 1. 3 cb cc(2) 设1 v是A的对应于特征值的特征向量.即一:= '-.若ccTP = 0,则ZP = a

16、o(TP =日，而Ph 日，故九=0.此时，P是aTx = 0的解向量.而秩(。丁)= 1,故aTx = 0的每个基础解系均由两个线性无关的解向量构 成.即对应于入=0, A有两个线性无关的特征向量，若oTB鼻0,则由motT0 =汕 可得皿TaotTP =加邛.从而扎=otTot. 此时，由于 工汀= :.故可取1 = :作为对应于'=: 的特征向量.综上所述，A的全部特征值有：九=0和X = 口丁匕 由可见A有3个线性无关的特征向量，所以A与对角阵相似.(4)由可见存在3阶可逆矩阵P,使PAP =oo o_o o T-31311313因此 |1 - A | = |P-|I -A |

17、P| = |（P|P - PA P）| = |I 一（PAP） |T 3=1 -（）.02-03学年第二学期空间解析几何与线性代数期终试题解答一 (24%)填空题:1. 若向量=i aj - k ,= bi j k , = k共面，则参数a, b满足ab = 1.2. 过点P(1, 2, 1)且包含x轴的平面方程为y- 2z = 0.3. 已知矩阵A满足A2 + 2A - 3I = O,其中I表示单位矩阵，则A的逆矩阵A1 =1(A 2I ).34.设矩阵A =5.设向量组：i =- 11_0 4 02 3 32 0 0-6 ,则行列式 |A2b'| = 1/70 .7312, «3 =际则当参数k =0时,“叫«3线性相关6.向量空间R2中向量=(2, 3)在R2的基，与=(1, 1)= (0, 1)下的坐标为(2,1).7.满足下述三个条件的一个向量组为(一21, 0), (1, 0, 1),这三个条件是：它们是线性无关的；其中的每个向量均与:'=(1, 2, 1)正交;凡与:正