数列通项、数列前n项和地求法例题+练习

1、实用标准文案通项公式和前n项和一、新课讲授：求数列前N项和的方法1.公式法(1)等差数列前n项和:S门a.)n 2nan(n 1)d2特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k 1(2k 1)gak1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公文档式在很多时候可以简化运算。(2)等比数列前n项和: q=1 时，Sn nana1 1 qq 1，Sn，特别要注意对公比的讨论。1 q(3 )其他公式较常见公式:1、Snn(n 1)2Snnk2k 1n(n 1)(2 n 1)63、Snnk3k 1知 1)2例1已知log 3 x亠，求x x2log 2 3x3的前n项和.例 2设 Sn= 1+2+3+n , n

2、N ,求f (n)的最大值.(n 32)Sn i2错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列 例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n1)xn 1例4求数列2 ,二2 , ¥ ,年，前n项的和2 2 2 2练习：求：Sn=1+5x+9x2+ +(4n-3)x n-1答案:当x=1时,当x工1时,Sn=1+5+9+ (4n-3 ) =2n 2-nSn= _1 十x 4x(1-x n)1-x+1-( 4n-3 ) Xn 3.倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所

3、用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个(ai an).29例 5求 sin 1 sin 2sin2 32 2sin 88 sin 89 的值4.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例6求数列的前n项和：1 1,4,-2 7,，一百 3n 2，a aa111 1练习：求数列12,24,38，?，（n 2?），?的前n项和。5.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合，使之能消去一

4、些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cos n cos( n 1)tan(n 1)tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n)2(5)例9例 10anann(n 1)(n2)1?n(n 1)(n(2n 1)(2 n 1)112(2n1)(n 2)n 2n(n 1)12n2(n 1) nn(n 1)12n1n 2n 11(n 1)2n，则 Sn11(n 1)2n求数列一1, 一1 V2 V2在数列an中，an&，又 bn，求数列b n的前n项的和.例 11求证:11cos0 cos1cos1 cos 2解:设S11cos0

5、cos1cos1 cos2sin 1tan(n 1) tan ncos n cos(n 1)S11cos0 cos1cos1 cos2=1(ta n 1 si n1ta nO ) (ta n21cos1cos88 cos89.2 .sin 11cos88 cos89（裂项）1（裂项求和）cos88 cos89tan1 ) (ta n3tan2 ) tan89tan88 11, C0S1(tan 89 tan 0 ) = cotl =2-sin 1sin 1sin 1原等式成立1111练习：求3153563之和。6.合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求

6、数列的和时，可 将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12求 cos1 ° cos2 °+ cos3 °+ + cos178 ° cos179。的值例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log 3 ailog3 a2log 3 aio的值.7. 利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规 律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法 .例 15 求 1 11 1111111 之和.n个1练习：求5, 55, 555，的前n项和。使其能只以上一个 7 种方法虽然各有其特点， 但总的

7、原则是要善于改变原数列的形式结构， 进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决, 要很好地把握这一规律,就能使数列求和化难为易,迎刃而解。求数列通项公式的八种方法、公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项、累加、累乘法1、累加法 适用于：an 1 an f(n)a2 ai f(1)若 an i anf (n) (n 2)，则a3 a2f LLan 1 anf(n)n两边分别相加得 an 1 aif(n)k 11，求数列an的通项公式。例1已知数列an满足an 1 an 2n 1，a解：由 an 1 an 2n 1 得 a. 1an 2n 1则an

8、(an an 1)(an 1 an 2) L (a3 a2)(a2 a1)a12( n 1) 1 2(n 2)1L (2 2 1) (2 11)12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 1 (n 1)n2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 12n2所以数列an的通项公式为an n 。例2 已知数列an满足an 1 an 2 3n 1，印 3，求数列an的通项公式。解法一：由 an 1 an 2 3n 1 得 a. 1 a.2 3n 1 则(a2ai) ai(2 3n11)(23n2 1)2(3n 13n 2L3231)3(13n1)(n1)32133n 3n133nn1an(a

9、nan 1)(an 1 an 2)LL (2 32 1) (2 311) 3(n 1) 3所以 an3nn 1.解法二：an 13an 2 3nn 11两边除以3On 2 J3n 33nan 13nOn 2n3 3ananan1an 1an 2 )3n V3nan)V1an 13n2)21212(3R(33n1)(32(n1)(丄113(3n3n3n 1(an 2(3n 2an 3 )3n3)L (:a2 a1、a_31, 2132 )L(-2 )333313n 2L 11因此On3n2(n1)3n 1)2n2 1Erf厶I则 an n 33n 322、累乘法 适用于：an 1f(n )anf

10、(n),则鱼f(1), f(2),L L ,也a1a2anf(n)两边分别相乘得,an 1a1na1f (k)k 1例3 已知数列an满足an 12(n 1)5n an，43，求数列an的通项公式。解：因为 an 12(n 1)5n a.,印3，所以an0,则也an2(n 1)5n ，故电邑L竺邑aan 1 an 2a2 ai2(n 1 1)5n12(n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 522(1 1) 51 32n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1) (n 2) L 21 3n(n 1)3 2n 1 5 n!n(n 1)所以数列an的通项公式为an3 2n 1 5n!.、待定系数法

11、 适用于an 1 qan f(n)分析：通过凑配可转化为an 11f (n)2an1 f (n)；解题基本步骤:1、确定f (n)2、设等比数列1f (n)，公比为3、列出关系式an 12【an 1 f (n)4、比较系数求5、解得数列an1 f (n)的通项公式2)，求数列an的通项公式。6、解得数列 an的通项公式解法一：Qan2an 1 1(n 2),an 1 2(an 1 1)又Q a1 1 2, an 1是首项为2，公比为2的等比数列an 1 2n，即 an2n 1解法二：Q an2an 1 1(n 2),n例 4 已知数列an中，a1 1,an 2a“ 1 1(nan 12an 1

12、两式相减得an 1 an 2(an ani)(n 2)，故数列i是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的n 1例5 已知数列an满足an 1 2an 4 3 ,印1，求数列 an的通项公式。解法一：设an 113n2(an3n1)，比较系数得 14, 2 2,则数列an 4 3n 1是首项为a1 4 31 15，公比为2的等比数列，n 1n 1n 1n 1所以 an 4 35 2,即 an 4 35 2解法二：n 1an 12 an 4两边同时除以3 得：罟n，下面解法略33 33注意：例6已知数列an满足 an 12 an解：设an 1x(n 1)2 y(n1) z2( an比较系数得x

13、 3,y10,z18 ,所以an 13(n 1)210( n1) 182(an由 a13 12 10 118 131320 ,23n 4n 5, a11，求数列an的通项公式。2 、xn yn z)3n210n 18)2得 an 3n 10n 1802，故数列an23n 10n 18为以3(n 1)2 10( n 1) 182q 3n 10n 18a13 12 10 1 18 1 3132为首项，以2为公比的等比数列，因此2n 4 3n210n 18。an 3n210n 1832 2n 1，则 an注意：形如an 2pan 1 qan时将an作为f(n)求解分析：原递推式可化为an 2 an

14、1 ( p)(an 1 an)的形式，比较系数可求得，数列an 1 an为等比数列。例7 已知数列an满足an 2 5an 1 6an, a11, a22，求数列an的通项公式。解：设an 2an 1(5)(an 1 an)比较系数得2，不妨取则 an 2 2an3(an i2an)，则 an 12an是首项为4，公比为3的等比数列an 1 2an4 3n 1,所以an4 3n 15 2n 1四、迭代法例8 已知数列 an满足an 13( n 1)2nanai5,求数列an的通项公式。解：因为an 13(n 1)2nan所以an2n23n2n 1an 1_3(n 2) 2n 32 (n 1)

15、n 2(n 2) (n 1)an 33s (n 2)( n 1)n 2(n 3) (n 2) (n 1) an 3L3n 1 2 3L L (n 2) (n 1) n21 2 LL (n 3)a1a；(；1)232(n 1) n 2( an 2(n 2) (n 1)2) (n 1)n(n 1)3n 1 n!2 2a1又a1 5，所以数列an的通项公式为an 5n(n 1)3n 1 n!2 2o注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式n 5例9 已知数列an满足an 1 2 3 an , a1 7，求数列an的通项公式。n 5解

16、：因为 an 1 2 3 an, a1 7，所以 an 0, an 1 0 。两边取常用对数得lg an 1 5lg a.nlg3Ig2设 lgan 1 x(n 1) y 5(lg a.xn y)（同类型四）比较系数得,lg3T，ylg316lg24由 lgailg34lg376lg3 lg2160 ,得 Ig an叫 lg3 lg21640，所以数列Ig an则 lg anlg3n4lg3 lg 2lg3 l76 -是以Ig 7164 (lg7lg3 lg3416lg34晋)5n 1lg316竽为首项,，因此为公比的等比数列,lg an(lg 7lg3 lg3 lg2)5n 1lg(7lg(

17、7413刁13413厉1316164124)5n124)5n15 n 1lg(75n 4n 13 165nnlg(34nlg(341 12厂)5n 1则 an755n 4n 13165n1 12。2、倒数变换法例10 已知数列解：求倒数得丄1(nan 23、换元法461 13花2刁)1 1316 2刁)lg24适用于分式关系的递推公式，分子只有一项an满足an2an_2,an 11),an求数列an的通项公式。ananan 1anan 1为等差数列，首项an11，公差为丄，2a1适用于含根式的递推关系例11已知数列an满足an 1 (1 4an16J 24an）, a1 1，求数列an的通项公

18、式。解：令bn1 24an，则 an £(诸1)代入an 11花(1 4anJ EQ 得1 1 21)亦1 4方(bn1) bn即 4b； 12(bn 3)因为bnJ_24a；0，则 2bn 113bn 3，即 bn1 尹-可化为bn所以bn3是以 b 3, 1 24a1 24 1 3 2为首项,1-为公比的等比数列，因此2n 1bn 3(2，则 bn (2)n23，即.,124an3，得an 2(n C)n 1。3 423六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式， 再用数学归纳法例12解：由a2a3a4加以证明。已知数列an满足an 1 an8(n

19、1)2(2n 1) (2 n 3)2 ， a18，求数列an的通项公式。9an 1an8(n 1)2 2(2n 1) (2n 3)及a1a18(1 1)8 _8 29924258(2 1)248348(2221) (2 23)2252549498(3 1)488480(231)2(2 33)24949818125a2a3(2 1 1)2(2 1 3)21，下面用数学归纳法证明这个结论。由此可猜测an旦兀(2n 1)2(1 )当 n(2 1 1)2 11 时，a (2 11)28，所以等式成立。9（2）假设当n k时等式成立,即ak帶则当k 1时,ak 1ak8(k 1)2 2(2k 1) (2

20、k 3)2 2(2 k 1)1(2k 3)根据（1），（ 2）可知，等式对任何 n都成立。8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 3)2 1(2 k 3)22(k 1) 12 12(k 1) 12由此可知，当n k 1时等式也成立。七、阶差法1、递推公式中既有Sn ,又有an分析：把已知关系通过 anS|, nSnSn 1,n2转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。例13 已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn6(an 1)(an 2)，且 a2，a4，a9成等比数列，求数列an的

21、通项公式。1解：对任意 n N 有 Sn-(an 1)(an 2)61当 n=1 时，sa1(ai 1)(a1 2)，解得 a1 1 或 261当 n >2 时，Sn 1 (an 1 1)(an 1 2)6-整理得：(an an i)(an an 1 3) 0an各项均为正数，二an an 132当ai 1时，an 3n 2，此时a?a9成立2当ai 2时，an 3n 1，此时a° a?a9不成立，故ai 2舍去所以an 3n 22、对无穷递推数列例14已知数列an满足a11ana12a2解：因为 ana 2a2 3a3 L (n1)an 1(n所以an1 a2 a? 3a3 L(n 1)an 1nan用式式得an 1 an nan则an 1(n 1)an( n 2)故苑ann 1(n2)所以ananan 1a3La2an 1an 2a2n(n1)L 4由ana1 2a2 3a3 L (n1)an 1(n2),则a21，代入得an1 3 45 Lnn!。2所以，an的通项公式为an -n!2 .3a3 L (n 1)an 1(n 2)，求an的通