第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法

1、韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案第四讲  常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、 目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出

2、基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组                                               

3、0; (3.20)其中是实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一矩阵，恒存在非奇异的矩阵，使矩阵成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换      (3.21)其中 ,将方程组(3.20)化为                  &

4、#160;                        (3.22)我们知道，约当标准型的形式与矩阵a的特征方程的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵a的特征根均是单根的情形.设特征根为这时        

5、                   方程组(3.20)变为      (3.23)易见方程组(3.23)有n个解  把这n个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解  这里是矩阵第列向量，它恰好是矩阵关于特征根的特征向量，并且由线性方程组所确定. 容易看出，构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式在时为. 于是

6、我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵a的n个特征根彼此互异，且分别是它们所对应的特征向量，则                    是方程组(3.20)的一个基本解组.例1 试求方程组的通解.解 它的系数矩阵是特征方程是即             

7、60;      所以矩阵的特征根为先求对应的特征向量满足方程即可得. 取一组非零解，例如令，就有. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是 故方程组的通解是(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组               （3.20）归结为求矩阵a的特征根和对应的特征向量问题现在考虑复根情形因为a是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共

8、轭根，由定理3.11，对应解是 其中是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现 定理3.12 如果实系数线性齐次方程组有复值解其中与都是实向量函数，则其实部和虚部 证明 因为是方程组(3.8)的解，所以                  由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明： , 即,都是方程组(3.8)的解.证毕.定理

9、3.13 如果是区间上的个线性无关的向量函数，是两个不等于零的常数，则向量函数组                    (3.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在个不全为零的常数，使得对区间上的所有皆有  所以因为线性无关，从而    从上式可知，, 因为, 故. 即所有常数都等于零，矛盾. 证毕.

10、由代数知识知, 实矩阵a的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果是特征根，则其共轭也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于的复值解形式是                        这里是对应于的特征向量.由于矩阵a是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根的解，记作 . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为 

11、        由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n个解仍组成基本解组.例2 求解方程组 解 它的系数矩阵为特征方程是即特征根为  先求对应的特征向量为再求所对应的特征向量. 它应满足方程组即用2i乘上述第一个方程两端，得显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即求它的一个非零解.不妨令 则. 于是对应的解是故原方程组的通解为(三) 矩阵a的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵 的特征根均

12、是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若是 的重特征根，则由齐次线性方程组所决定的线性无关特征向量的个数, 一般将小于或等于特征根的重数. 若=,那么矩阵对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若，由线性代数的知识，此时也可以求出个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵的列向量，可将矩阵化成若当标准型    其中未标出符号的部分均为零无素，而   是阶约当块， 是(3.20)的特征

13、根，它们当中可能有的彼此相同.    于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成                           (3.25)根据(3.25)的形式，它可以分解成为个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构对

14、于一般情形，其推导是相似的.设方程组                                                

15、0;       （3.26）中是5.5矩阵，经非奇异线性变换其中且，将方程组(3.26)化为                                       

16、;                   (3.27)我们假定这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组                           &#

17、160;                     (3.28)                             

18、          (3.29)在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得同样对(3.29)可解得这里是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现 在(3.29)中不出现我们依次取可以得到方程组(3.27)的五个解如下  , 从而                       

19、        (3.31)是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又 ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换中可得原方程组(3.26)的五个解， ,              而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式则显然有.至此我们已清楚地

20、看到，若中有一个三阶若当块，是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，                                          (3.32)其中每

21、个是的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式 其中都是五维常向量.而对于中的二阶若当块，是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式其中也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若是的一个重特征根，则所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于，而且这些阶数的和恰好等于. 这样，由以上分析我们得到    定理3.14 设是矩阵的m个不同的特征根，它们的重数分别为. 那么，对于每一个，方程组(3.20)有个形如的线性无关解，这里向量的每一个分量为x的次数不高于的多项式.

22、 取遍所有的就得到(3.20)的基本解组.    上面的定理既告诉了我们当的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n阶矩阵互不相同的特征根为，其重数分别是, , 记维常数列向量所组成的线性空间为，则(1) 的子集合是矩阵的维不变子空间，并且(2) 有直和分解;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组. 定理3.15 如果是(3.20)的重特征根，则方程组(

23、3.20)有个形如                             (3.33)的线性无关解，其中向量由矩阵方程              (3.34)所确定.取遍所有的，则得到(3.20)的

24、一个基本解组. 证明 由定理3.14知，若是（3.20）的重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有                 消去，比较等式两端x的同次幂的系数（向量），有          （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同（3.35）与

25、（3.34）同解的证明请见教材这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出，再依次利用矩阵乘法求出. 由引理3.1得知，线性空间可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的，就可以由(3.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n个解. 记这n个解构成的解矩阵为，显然，是由(3.34)最下面的方程求出的n个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵中的各列构成了n维线性空间的一组基，因此，于是是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组解 系数矩阵为特征方程为特征根为 其中对应的解是下面求所对应的两个线性无关解.由定理3.1

26、5，其解形如并且满足由于  那么由可解出两个线性无关向量  将上述两个向量分别代入中，均得到为零向量.于是对应的两个线性无关解是   最后得到通解例4 求解方程组解 系数矩阵是特征方程为 , 有三重特征根由定理3.15，可设其解形如满足方程组由于               故可分别取 再将它们依次代入上面的方程，相应地求得为 为 于是，可得原方程组三个线性无关解   

27、;                                    最后方程的通解可写成    本讲要点： 1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵a的特征根和特征

28、向量。2复特征根对应实变量复值解，要掌握把复值解实值化3特征根有重根时，利用待定系数法求解 p 223补充练习p 223 例2 试求解方程组 解 由得 则方程有形如形式的解 代入原方程组得：由得由得故形如的解为：齐次通解为：p 231补充练习例7例7 试求解方程组 解：由得 则方程有形如形式的解 代入原方程组得：由得由得故形如的解为：齐次通解为：p 239补充练习例7例9 试求解方程组 解：由 当时，方程组有的解：其中由得则为一齐次特解。当时，方程组有的解。 代入原方程组得：由得由得故形如的解为：齐次通解为：of chicken manure bacteria, eggs can b

29、e killed, make chicken manure safe organic fertilizer with high efficiency. timely watering, make sure seedlings to moisture requirements. (4) the application of new type high efficient inhibitor fertilizer can effectively prevent damage caused by the effect of quick-acting organic fertilizer on seedling, and prevent soil compaction, promote healthy growth. 2, the use of some of the new technical measures, improve the survival rate (1)