交通数据处理-参数估计与假设检验1

1、概率统计方法是最早应用于交通研究的数学方法之一。在交通控制，驾驶人行为分析，通行能力研究和交通规划等研究方向都得到了较广泛的应用。概率统计模型分为离散型分布和连续型分布。离散型分布产用于描述一定时间间隔内事件的发生次数。如某段时间内到达停车场的车辆数，某路段一年内发生的交通事故数等。交通工程中常用的离散型分布主要有三种：泊松分布、二项分布和负二项分布。泊松（泊松（PoissonPoisson）分布）分布()(),0,1,2,.!xTTeP Xxxxll-=()TXxTe2.718280P Xxl=- - - - - - - - - - - - - - - -在计数时间 内，时间 发生 次的概率

2、单位时间内平均发生的事件次数计数时间，如一个信号周期。自然对数的底数，取值为泊松（泊松（PoissonPoisson）分布）分布记，则m为时间T内平均发生的事件数。期望与方差分别为在实际应用中，期望和方差分别可有样本均值和样本方差进行估计mTl=()( ),0,1,2,.!xmmeP Xxxx-=( )E Xm=( )Var Xm=111kkiiiiiikiix fx fmnf=邋()()222111111NkijjijSxmxm fnn=-=-邋泊松分布的理论期望和方差是相等的，这是泊松分布的一个重要特点。当显著不等于1时，意味着应用泊松分布拟合数据不合适。在交通工程中，泊松分布最早用于描述

3、一定时间内到达车辆数的分布规律。当交通量不大且没有交通信号干扰时，基本上可用泊松分布拟合观测数据；当交通拥挤时，车辆间的干扰较大，应考虑其他分布。此外，泊松分布还常用于描述一定时间内交通事故发生次数。2Sm例：假设一个商场停车场停车需求服从泊松分布。停车场每小时平均停车数为10辆，求1小时内到达车辆数小于等于10辆的概率；1小时内车辆数大于10辆的概率；1小时内到达车辆数大于5但不超过10的概率。()0Tx!imxim eP Xxi-=时间 内到达车辆数小于等于 辆的概率为1T = 小时，x=10,m=10()101001010!iieP Xi-=()1010010101!iieP Xi-=-

4、()1010510510!iiePXi-=二项分布()()1,0,1,2,.nxxxnP XxC ppx-=-=()!xnnCx nx=-式中，,1,p npn- - -二项分布参数，0为正整数( )( )()1XE XnpVar Xnpp=-的期望和方差分别为()()222,()p npmSmnm pmmS=-=-参数的估计值为取整数当观测数据服从二项分布时，应有21Sm对于拥挤的交通流，可应用二项分布描述车辆到达规律负二项分布及其应用()()111,0,1,2,.xkxkP XxCpx-+-=-=,1,p kpk- - -负二项分布参数，0当随机变量X取值是连续的，则称X的分布为连续型分布

5、。在交通研究中常用的连续型分布主要有正态分布、对数正态分布、负指数分布、M3分布等。正态分布（又称高斯分布）在交通工程中，常用正态分布来描述车来那个运行速度分布；此外，在干扰较小的情况下各种不幸设施上行人步行速度也可用正态分布来描述。( )()221exp,22xf xxmsps骣-=- + 桫对数正态分布()()22ln,XYXNXXLNm sm s=设 是取正值的随机变量，如果服从正态分布则称 服从对数正态分布记为()()222ln1; ,exp,022xf xxxmm ssps轾-犏=-犏犏臌概率密度分布函数对数正态分布在交通研究中是常用分布之一。与交通参与者生理、心理变化有关的变量（如

6、驾驶员的反应时间、脉搏频率等）用对数正态分布来刻画是很好的选择。负指数分布在交通工程中，负指数分布、移位负指数分布、M3分布和爱尔郎分布常用于描述交通流中车头时距的分布。用T表示车头时距，则T为随机变量。当T的密度为，则车头时距服从负指数分布其分布为其意义是车头时距小于t的概率负指数分布适用于车流密度不大，车辆到达随机性较大情况下的车头时距分布。当车辆到达服从泊松分布时，车头时距服从负指数分布。()tf tell-=()1tF tel-=-移位负指数分布负指数分布拟合单车道交通流车头时距分布时，理论上会得到车头时距在00.1秒的概率较大，这与实际情况不符。为了克服负指数分布描述车头时距分布的这

7、种局限性，引入了移位负指数分布，假设最小车头时距不应小于一个给定的值。()()1,tF tetltt-=-分布函数为()(),tf tetltlt-=密度函数为M3分布当交通较拥挤时，出现了部分车辆成车队状态行驶。负指数分布和移位负指数分布都不能很好的描述这一现象。为此，Cowan提出了M3分布模型。该模型假设车辆处于两种行驶状态：一部分是车队状态形式，另一部分车辆按自由流状态行驶。M3分布函数为：()()1,0,(/ )1tetF ttqsqqltattatallt-= - - - - -=-式中：按自由流状态行驶车辆所占的比例车辆处于车队状态行驶时，车辆之间保持的最小车头时距流量 辆统计分

8、布在道路通行能力分析中的应用间隙接受理论在相交的两支车流中，假定一支车流是主路车流，另一支车流是次要车流，次要车流只能利用主路车流的间隙通过。当主路车流上的某一间隙大于临界间隙tc时，次要道路上的车流才能通过。由前述假设可知，如果主路上的间隙Ttc，则支路上车辆不能穿插；如果主路车流间隙满足()1cfcftntTtnt+-+tf为次要道路上车辆连续通过时保持的车头时距，称为随车时距间隙T内可穿插n辆车的概率为：在一个间隙内可穿插的平均车辆数为假设主路的到达率为（辆/s），则一小时内主路为次要道路提供的间隙有q = 3600* 故次要道路一小时可穿插车辆数为()()1ncfcfPP tntTtn

9、t=+-+ 0nnE NnP=0*nnCqnP=无信号控制交叉口通行能力根据主路车流中车头时距分布特性，可以得到相应的理论通行能力。当车头时距服从负指数分布（车辆到达服从泊松分布）则有()1tF tel-=-()()()()()()111cfcfncfcfcfcftnttntPP tntTtntP TtntP Ttnteell轾轾-+-+犏犏臌臌=+-+=+-+-=-整理可得次要道路通行能力为当车头时距服从M3分布时，次要道路通行能力为1cftteCqell-=-()()1,0,tetF ttltatt-= 1cftteCqella-=-在交通设计中的应用统计分布在交通设计中也有着较为广泛的应

10、用，如在行人交通控制系统设计时需要考虑行人可穿越间隙分布，在信号交叉口左转车道设计中需要预测每周期到达左转车辆数。此外，统计分布还可以用于评价这些交通设计的服务特性，如延误分析、排队长度计算等。例：在高速公路设计中，进口引道加速车道长度的确定是加速车道设计的核心内容。加速车道长度不仅要保证车辆在加速车道上完成需要的加速过程，还要保证一定的时间内车辆能够顺利汇入主线车流。假设高速公路上外侧车道的车头时距H服从参数为的负指数分布，并假设当Ht0是匝道上的车辆可以汇入；而对H5）。备选假设记为）。备选假设记为H1或或Ha。形式上，这。形式上，这个关于总体均值的个关于总体均值的H0相对于相对于H1的检

11、验记为的检验记为01:5:5HHmm备选假设应该按照实际世界所代表的方向来确备选假设应该按照实际世界所代表的方向来确定，即它通常是被认为可能比零假设更符合数定，即它通常是被认为可能比零假设更符合数据所代表的现实。据所代表的现实。比如上面的比如上面的H1为为m m5；这意味着，至少样本均值；这意味着，至少样本均值应该大于应该大于5；至于是否显著，依检验结果而定。至于是否显著，依检验结果而定。检验结果检验结果显著显著(significant)意味着有理由拒绝零意味着有理由拒绝零假设。因此，假设检验也被称为假设。因此，假设检验也被称为显著性检验显著性检验(significant test)。有了两个

12、假设，就要根据数据来对它们进行判有了两个假设，就要根据数据来对它们进行判断。断。数据的代表是作为其函数的统计量；它在检验数据的代表是作为其函数的统计量；它在检验中被称为中被称为检验统计量（检验统计量（test statistic）。根据零假设根据零假设（不是备选假设！），可得到该检（不是备选假设！），可得到该检验统计量的分布；再看这个统计量的数据实现验统计量的分布；再看这个统计量的数据实现值（值（realization）属不属于小概率事件。）属不属于小概率事件。也就是说把数据代入检验统计量也就是说把数据代入检验统计量,看其值是否落看其值是否落入入零假设下的小概率范畴零假设下的小概率范畴；如果的

13、确是小概率事件，那么就有可能拒绝零如果的确是小概率事件，那么就有可能拒绝零假设，或者说假设，或者说“该检验显著，该检验显著，”否则说否则说“没有足够证据拒绝零假设没有足够证据拒绝零假设”，或者，或者“该检验不显著。该检验不显著。”在零假设下，检验统计量取其实现值及（沿着在零假设下，检验统计量取其实现值及（沿着备选假设的方向）更加极端值的概率称为备选假设的方向）更加极端值的概率称为p-值值（p-value）。如果得到很小的如果得到很小的p-值，就意味着在零假设下小值，就意味着在零假设下小概率事件发生了。概率事件发生了。如果小概率事件发生，是相信零假设，还是相如果小概率事件发生，是相信零假设，还是

14、相信数据呢？信数据呢？当然多半是相信数据，拒绝零假设。当然多半是相信数据，拒绝零假设。但小概率并不能说明不会发生，仅仅发生的概但小概率并不能说明不会发生，仅仅发生的概率很小罢了。拒绝正确零假设的错误常被称为率很小罢了。拒绝正确零假设的错误常被称为第一类错误（第一类错误（type I error）。在备选假设正确时反而说零假设正确的错误，在备选假设正确时反而说零假设正确的错误，称为称为第二类错误（第二类错误（type II error）。到底到底p-值是多小时才能够拒绝零假设呢？也就值是多小时才能够拒绝零假设呢？也就是说，需要有什么是小概率的标准。是说，需要有什么是小概率的标准。这要看具体应用的

15、需要。但在一般的统计书和这要看具体应用的需要。但在一般的统计书和软件中，使用最多的标准是在零假设下（或零软件中，使用最多的标准是在零假设下（或零假设正确时）根据样本所得的数据来拒绝零假假设正确时）根据样本所得的数据来拒绝零假设的概率应小于设的概率应小于0.05，当然也可能是，当然也可能是0.01，0.005，0.001等等。等等。这种事先规定的概率称为这种事先规定的概率称为显著性水平显著性水平(significant level)，用字母，用字母a a来表示。来表示。a a并不一定越小越好，因为这很可能导致不容易并不一定越小越好，因为这很可能导致不容易拒绝零假设，使得犯第二类错误的概率增大。拒绝零假设，使得犯第二类错误的概率增大。当当p-值小于或等于值小于或等于a a时，就拒绝零假设。所以，时，就拒绝零假设。所以，a a是所允许的犯第一类错误概率的最大值。当是所允许的犯第一类错误概率的最大值。当p-值小于或等于值小于或等于a a时，就说这个检验是显著的。时，就说这个检验是显著的。归纳起来，假设检验的逻辑步骤为：归纳起来，假设检验的逻辑步骤为：1. 写出零假设和备选假设；