高中数学探究性试题汇编(四)

1、高中数学探究性试题汇编（四）课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法

2、，为学生终身学习和发展奠定基础。探究性试题有助于数学思维的提高。31在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足（），点的轨迹与抛物线：交于、两点.（）求证：；（）在轴上是否存在一点，使得过点直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.解：（）由（）知点的轨迹是、两点所在的直线，故点的轨迹方程是：即.2分由故.6分（）解：存在点，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点由题意知：弦所在的直线的斜率不为零7分故设弦所在的直线方程为：代入得故以为直径的圆都过原点.10分设弦的中点为则弦的中点的轨迹方程为：消

3、去得.14分32设函数R.（I）求函数的最值；（）给出定理：如果函数在区间上连续，并且有，那么，函数2 / 17在区间内有零点，即存在.运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.解：（I）令2分由知f（x）无最大值.6分（）函数f（x）在m，2m上连续.上递增.8分由10分又根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点.12分33已知数列an有a1=a，a2=p(常数p>0)，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+an，并有Sn满足。(1)求a的值；(2)试确定数列an是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；(3)对于数列bn，假如存在一个常数b使得对任

4、意的正整数n都有bn<b，且，则称b为数列bn的“上渐进值”，令，求数列p1+p2+pn-2n的“上渐进值”。解：（1），即（2）是一个以为首项，为公差的等差数列。（3），又，数列的“上渐近值”为。34已知函数,且的图象经过点,数列为等差数列.(1)求数列的通项公式(2)当n为奇数时,设问:是否存在自然数m和M,使得不等式恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意得即.令,则令,则令,则(3分)设等差数列的公差为d,则(5分).(6分)(2)由(1)知:.n为奇数时,(7分)(9分)由得:(10分)设,随n的增加而减小.又随n的增大而减小,为n的增函数.(12分

5、)当时,而(13分)由此易知:使恒成立的m的最大值为0,M的最小值为2,Mm的最小值为2.(14分)35已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项（）求数列an的通项公式；（）设bn（nN*），Snb1b2bn，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有Sn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解：（）由题意得（a1d）（a113d）=（a14d）2，2分整理得2a1dd2a11，解得（d0舍），d24分an2n1（nN*）6分（）bn（），Snb1b2bn（1）（）（）（1）10分假设存在整数t满足Sn总成立.又Sn+1Sn

6、0，数列Sn是单调递增的12分S1为Sn的最小值，故，即t9又tN*，适合条件的t的最大值为814分36已知数列满足：，（）求数列的通项公式；（）求使不等式成立的所有正整数、的值解（）由2an+1=3anan1（n2），得2（an+1an）=anan1，因此数列anan1是以a2a1=1为首项，为公比的等比数列，4分于是an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=6分（）由不等式，得，即，8分所以2（4m）·2n82n为正偶数，4m为整数，（4m）·2n=4，或（4m）·2n=6，或或或解得或或或经检验使不等式成立的所有正整数m、n的值为（m，n）

7、=（1，1）或（2，1）或（3，2）12分说明问题（1）的归纳做法是：由已知可得，于是37已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.（1）求点G的轨迹C的方程；（2）过点（2，0）作直线，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.解：（1）Q为PN的中点且GQPNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，短半轴长b=2，点G的轨迹方程是（2）因为，所以四边形OASB为平行四边形若存在l使

8、得|=|，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在.设l的方程为把、代入存在直线使得四边形OASB的对角线相等.38设无穷数列an具有以下性质：a1=1；当（）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；（）若，其中，且记数列bn的前n项和Bn，证明：解：（）令，则无穷数列an可由a1=1，给出.显然，该数列满足，且6分（）8分又39.已知抛物线，过C上点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线。若C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标（）；设为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点

9、的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由。解（1)函数的导数上点处切线的斜率，因为过点的法线斜率为，所以，解得，故点M的坐标为。（2）设为C上一点，若，则C上点处的切线斜率，过点的法线方程为，此法线过点；若，则过点的法线方程为：若法线过，则，即若，则，从而，将上式代入，化简得：，若与矛盾，若，则式无解。综上，当时，在C上有三点及，在这三点的法线过，其方程分别是：。当时，在C上有一点，在这点的法线过点，其方程为：。40已知函数（1）求函数f(x)是单调区间；（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；（3）是否存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的

10、实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.解：（1）函数的定义域是对求导得（2分）由由因此是函数的增区间；（1，0）和（0，3）是函数的减区间（5分）（2）解法一：因为所以实数m的取值范围就是函数的值域（6分）对令当x=2时取得最大值，且又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，进而有无限趋近于.因此函数的值域是即实数m的取值范围是（9分）解法二：方程有实数根等价于直线与曲线y=lnx有公共点，并且当直线与曲线y=lnx相切时，m取得最大值.（6分）设直线相切，切点为求导得解得所以m的最大值是。而且易知当与曲线y=lnx总有公共点。因此实数m的取值集合是（9分）（3）结论：这样的正数k不存在。（10分）下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程