初等数学研究答案第一章到第六章

1、大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社习题一1答：原则：（1）ab （2）a的元素间所定义的一些运算或基本关系，在b中被重新定义。而且对于a 的元素来说，重新定义的运算和关系与a中原来的意义完全一致。 （3）在a中不是总能施行的某种运算，在b中总能施行。 (4) 在同构的意义下,b应当是a满足上述三原则的最小扩展,而且由a唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c组成集合m。a=b， 假设，则 由归纳公理知m=n，所以命题对任意自然数c成立。 （2）若ab，则 则ac<bc。 （3）若a>b，则 则ac>bc。3证明:

2、(1)用反证法：若。当ab时，由乘法单调性知acbc. 当ab时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc矛盾。则a=b。 （2）用反证法：若。当ab时，由乘法单调性知acbc. 当a=b时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc矛盾。则ab。 （3）用反证法：若。当a<b时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc矛盾。则a>b。4. 解：（1） （2） 5证明：当n=1时， 假设当n=k时则当n=k+1时 则对，是9的倍数.6证明：当时，=，=；则当时成立。假设当时成立，即()()() ()=当时，()()()

3、()（）=（）=当时成立。7解：（1） （2） （3）当n=1时， 假设当n=k时则当n=k+1时 则对，是10的倍数.8证明： 9证明：假设存在b，使得由若若 因此10证明：则=11答:(1)加法,乘法,减法; 构成数环 (2)乘法,除法; (3)加法,乘法; (4)加法,乘法; (5)加法,乘法,除法; (6)乘法; (7)加法,乘法,减法;构成数环 (8)加法,乘法,减法;构成数环12 证明：方法一 即 即 方法二：设则由p=q得， ， ，；， ，；则<即则13（1） （2） （3） （4）14 解： 则它的有效数字的个数为4。 15 解：16 证明：方法一：是有理数，则其不包含x

4、； 得,方法二：是有理数，则=； 则是有理数17 证明： 则若若得;即无理数等于有理数矛盾,则18解：（1） 并且 此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1. （2） 并且 此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为0. （3） 并且 此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1.19.（1）（）答：复数集与复平面内以0为起点的一切向量组成的集合一一对应； （2）() 答:两复数的和与积都是实数的充分条件是：这两个复数是共轭复数 （3）()答：共轭虚数的正整数次幂仍是共轭复数； （4）() 答: 一个非零复数的模等于1的充分条件是它与它的倒数之和为实数.20 证明:当， 当，

5、当， 21 解：z= 则|z|=；则22 解：|z|=1， =则u=当；当23. 解方程 ; 则24解：(1) （2） 而（3） =当令 25解：由图像知； 则 26 解：设z=x+yi,则代入27 证明：而则 28证明: 的两边同乘以 将x=.按照复数相等的条件得习题二1解：设这个多项式为.然后将已知点依次代入： 因此， 即2解： 令得; 令得 令得 令得 则 即 =3解：由于成为的完全平方式，则 得:4证明: (1)= = 即: (2) ,即 即: 则是和的一个公因式。5证明: 则; = 即6解: 若有一次因式利用综合除法,可试除的 若 若 若 若若有二次因式设其为=按对应项系数相等得得时

6、 时。综上可知当时能分解成整系数因式。7解:(1)法一: 原式为对称式,但显然原式没有一个因式,又由于原式为四次式,则设有一个二次对称式的因式则=法二: =(2) (3) 原式为对称式,当时原式为零,故为原式的一个因式,又由于原式为三次式,则还有另一个二次对称式的因式.设()令,令则(4) 原式为轮换式,当时原式为零,故为原式的一个因式,又由于原式为四次式,则还有另一个一次对称式的因式.设k()令 则-2()8解: （1） =比较系数得：； 设则则（2） =比较系数得：； 设则则9解：（1） （2）=（3）原式为轮换式,当时原式为零,故为原式的一个因式,.设令 则（4） = =10解：（1）

7、= = （2） =比较系数得：； 设则则 11解：（1）先用综合除法，试除数可能是经检验只有是原式的一次因式，令展开比较系数得 则 = （2）12解：13. 设求证：对于任何奇数k，均有 ，即, 则； 当，而 则 当，而 则 当，而 则14证明： 则 =15证明：当时，等式成立。 假设当时成立，即 =当时=+=等式成立。16解; （1）通分并合并同类项后与原式比较系数，得：则（2）通分并合并同类项后与原式比较系数，得：则17解：（1） （2）= （3）=0. =18解：（1）（2） =2=219. （1） =（2） =(3) (4) 20解: =21证明: =同理可知则 =22 解: 则即23

8、 证明：24 证明：成等差数列，则 即则。即25证明： =26 解： 解之得，又由于,故.27证明:要证即证 即证 = 即证=2 即证=(1) 而 即则=即（1）式成立。命题成立。28. (1) =1 (2) = = = (3) = = = =。 (4) =+ = = = =29证明： 即 则 则 由复数相等的性质可得 30证明： 即,则 即证得31（1）(); (2) 解：（1），则 （2） =32证明：(1) =又由于则又 (2) =又由于则又(3) 而又由于则又（4）而当由于又所以 （5）=由于,又.则 (6) 而又由于而所以习题三1解：（1）由则 则 (2) 2证明：（1）令即当，又当

9、则（2）则；又当，即由此得 则对于任意3答：（1）是；（2）不是4解：（1）由.(2) 由(3) 由(4) 由(5) (6) 由(7) (8) 由 (9) 由（10）由5. (1)解：(2)解：(3) 解：6证明：的定义域为实数集r，则 即当即故的定义域为实数集r7解：（1）；而则（2）， 则（3）(4) ,则, 得法二：；则 即则(5) 令则（6） 当(7) 即（8） 则(9) ;(10) 8 解：令，则y 则 当时，有意义；当时，9解：（1）得反函数为.其定义域和值域为（2）由得反函数为.其定义域和值域为10证明：对，则无上界.但对>1,则任何小于1的数都是的下界.11 证明: 由于

10、是有界函数,则而没有上界,则对则对，则与的和在定义域上无上界.12 解: 则 13. (1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)偶函数 (6)偶函数14解: 则是偶函数.15解: 则16解:(1) 则的定义域为,它是奇函数.（2）由 则 (3) (4) 对17解：当时，即又是奇函数，则则18解：=0 则19解：（1） 即。要比较2x，3y和6z的大小，只须比较的大小即可。而,即(2) 20解：由于当=>0;当=-=->0;综上可知.21解:令,则在-1,1上单调递增.而则22 解: 由于则则则，故23证明： 则是周期。假设最小正周期是，且则即令,即.

11、则这与不成立,即证.24证明:假设是以为周期的周期函数. 即则令则令当令当矛盾。则不是周期函数。25解：（1）由得， 则（2）26. （1）=（2）27解：习题四1解：（1） 2解：方程和在有理数集，实数集上同解，在复数集上不同解。3（1）不同解。定义域不相同. （2）不同解。定义域不相同. （3）同解(4)不同解(5)同解(6)同解(7)不同解。定义域不相同(8)同解(9)同解(10)不同解。定义域不相同4解：(1)方程两边同乘以得， 即或但或为增根，故原方程无解。（2）解：方程两边同乘以得， 即或但为增根，故原方程解为。（3）解：方程两边同乘以得， 即或但为增根，故原方程解为。（4）解：方

12、程两边同乘以得， 即或故原方程解为或（5）解：令则方程两边同乘以得即 即或，故原方程解为或.（6）解：设则即则 当时得当时得或 即原方程的解为或5解：（1）方程两边同乘以得， 即或则(舍)，即原方程的解为 （2）利用合分比性质得，即 即或则即原方程的解为 (2)解：方程两边同乘以得： 即 则+ 即 当时；当时也满足。 即原方程的解为(3) 解：原方程变为 整理得,即运用差根变换,各根减去,可得缺二次项的三次方程一次项常数项 (1) (2)且 (3) 设是(1)的任意一个解,则的另外两个解为其中是1的三次单位根由(3)得到与相对应的的三个解: 因此的三个根是，因此的三个根是，则原方程的根为 (4

13、) 解：原方程变为得: 整理得即原方程的解为6 解(1) 原方程变为得两边平方得即即原方程的解为(2) 解:两边平方得:,则无解.(3) 解:先分子有理化当时: 再平方整理得: 利用待定系数法得令即即.当时也是解，则原方程的解为;.(4)解: 原方程变为 即,即7解：(1) = =得或 （2） = =得(3) 得或(4) 得或8解：令则 = 即9解: 令,则先求以为根的方程为. 再求以为根的方程为 即 10解:由得和求以和为根的方程为.11解:由得 则先求以为根的方程为.再求以和为根的方程为12 解:若整除则即或13(1)解: 一次项常数项 (1) (2)且 (3) 设是(1)的任意一个解,则

14、的另外两个解为其中是1的三次单位根由(3)得到与相对应的的三个解: 因此的三个根是 其中（2）解: 运用差根变换,各根减去1,可得缺二次项的三次方程一次项常数项 (1) (2)且 (3) 设是(1)的任意一个解,则的另外两个解为其中是1的三次单位根由(3)得到与相对应的的三个解: 因此的三个根是 其中(3) 解: 则或(4) 解：则或14解(1)方程两边同除以, 令则；即当时，当时，或则方程的解为或(2) 解:方程两边同除以, 令则；即解得: 或当时, 当时,则方程的解为 (3) 解:显然是一个根， =再求的根，方程两边同除以, 令则；即当时，当时，或则方程的解为，或(4) 解:方程两边同除以

15、, 令则；即当时，当时，则方程的解为(5) 解: 方程两边同除以, 令则；即解得: 或当时, 当时,则方程的解为(6) 解:显然是一个根， =再求的根，方程两边同除以, 令则；即则当时，当时，；当时，则方程的解为，15由题意得即16(1)解： 则，(2)解： 则，(3) 解：令则即；则或.即则, 即则, .(4)解：令则即当时，即则当时，即则当时，即则或当时，即则或则方程的解为；17 证明：是方程的一个根， 而则方程的另外两个根是和18(1) 解：方程两端同乘以 得, 则当时,有;当时,有 (2) 解: 当时：1）若时，。2）当时3）若时，方程两端同乘以得: 当时或 即.(3) 解:当时：1）

16、若时，。2）若时， 当时：1）若时，2）若时， 设代入方程得 ,整理得; 即或 当时代入得即当时, 当时或当时代入得当时，当时，(4) 解: 当时，无解；当时，整理得:; 当时, . 当时，无解。(5)解:由方程本身可得两端同除以得:,令得:则(舍);当时则当无解；当19解：（1）由观察得方程的一组整数解是，所以原方程的通解是 （为任意整数） （2）由观察得方程的一组整数解是所以原方程的通解是 （为任意整数）（3）由观察得方程的一组整数解是，所以原方程的通解是 （为任意整数）（4）由观察得方程的一组整数解是所以原方程的通解是 （为任意整数） 20解：由题意得由观察得方程的一组整数解是， 则 （

17、为任意整数） 则为任意整数.21（1）解： 令则即 当时， 即当时， 即（2）解：由得，即或 但当时故方程的解为.(3)解：两边取以10为底的对数，令，则，即则或(舍), 故方程的解为.（4） 解：两边取以为底的对数， 即则即或 （5）解：将方程整理得即，则，即或（6） 解：令，则即或当时，即无解. 当时，即,则.22解：(1)原方程等价于，令则即则将代入得(2) 将方程整理得即或当时当时，即则原方程的解为(3) 解：即 则 (4) 将方程整理得 即或当时舍去。当(5) 解：将其整理得即或（舍） 当时，即(6) 将其整理为即. 则或当时舍去. 当时,(7) ,即则.(8)解: 即 解得或; 当

18、时不合题意舍去，故原方程的解为.23解:将方程整理得即这里，；要使方程恒有解，则即.24. (1) 解：由原式得；令代入得解得 即 解得(舍) ; 则方程的解为 (2) 解: 将(1)代入(2)得,即 即则方程的解为 (3) 解：令代入得 将（2）代入（1）得：解得 即 则方程的解为 ; (4) 解：令代入得 解得即则方程的解为 ; （5）解：将方程组整理得两式相比得代入（1）式得 则方程的解为 （6） 将代入（1）得 （3）将（3）代入（2）得则方程的解为 （7）整理得 (1)-(2)得即 代入(1)得 即则 (舍); (舍); 则方程的解为 (8) 解：得 （3） 得 （4）化简得即则则方

19、程的解为 (9) (1)式两边平方得将(3)代入得则由(1)和(3)得; 则方程的解为 (10) (1)得 25 (1) 令则即或则或将其代入(2)得或即 （舍）； (2) :将方程整理得 解以上方程得; 则方程的解为; (3) 当同正时,将方程组整理得 则得,将其代入(2)得;当同负时,整理得无解.方程的解为.(4) 解：由（1）得 即，当时 （3）由（1）（3）得 可得 (6)由（2）（6）可得令可得可得则解得；当时(1)（2）化为 无解则方程的解为；26.(1) 解:令则即(舍(舍)则方程的解为; （2）将方程组整理得 联立（1）（2）得解得.即;（3）令则上述方程组变为 由（1）得或当

20、时；当时 则方程的解为； (4) 由(1)(2)得即方程的解为;27. 解下列方程组：(1) 由(1)得,则而,则即. 即方程的解为; (2) 得即解:将其代入(1)得即方程的解为(3) 由(1)(2)得 或 则原方程组的解为;(4) 得: 即将其代入(2)得解得或;当时当时则原方程组的解为;.；习题五1(1)条件不等式 (2) 条件不等式 (3)绝对不等式 (4) 矛盾不等式2 (1)不正确,如-1>-2,-3>-4,但3<8. (2)不正确,如但.(3)不正确,如但 (4)不正确,如但(5)不正确,如,但无意义.(6)正确, 要证即证显然成立.3= 即: .4证明:假设命

21、题成立,将两边平方,得 (1) 将(1)两边平方,得即 (2)将(2)两边平方,得末式显然成立,又各步皆可逆,所以原命题成立. 正确的证法: 假设命题成立,将两边平方,得 即 (1)将(1)两边平方,得即 (2)将(2)两边平方,得末式显然成立,又各步皆可逆,所以原命题成立.5（1）证明：即（2）证明：6 证明：当时，左边=1，右边=1，即 假设命题当时成立，即 当时， =.7证明:（1）左边平方得;左边平方得; 而即. 则(2) 要证上式成立，即证：；等号当成立。8证明:(1) (2) +=9 证明：方法1: 先建立一个不等式，设对任一正整数有 整理后得不等式 以代入上式，由于 故有则该数列

22、是一个单调递增数列. 方法2:根据得: 即而等号不成立,则10证明：11 证明：当时,显然成立.假设当时成立,即, 则当时, 即证.12 证明: 当时,显然成立.假设当时成立,即, 则当时, 即证.13 证明: .14证明:令则 15 证明: 法1：令则 令则,即<1. 法2：，则16 证明: ,令，则， 则，解得.17 证明: <.18(1) 证明: 由即证. (2) 证明: 由得: 19. (1)证明: 由于是凸函数,则由詹森不等式得,即 (2) 证明: 由于是凸函数,则由詹森不等式得,即 20证明: 用反证法，假设原式不成立，即 则当取. 这样与矛盾，故 21 证明:由三角不

23、等式得 , , 即. 等号成立当且仅当22证明:, 而,则函数为凹函数.23.(1)不同解(2)不同解(3)同解(4)不同解(5)不同解(6).同解24.(1)同解 (2)不同解（3）不同解（4）同解25.（1）当时，无解；当时，当时当时 （2）解：原式等价于：；即，则则原不等式的解集为（3）解：原式等价于：或则原不等式的解集为（4）解：原式等价于：则原不等式的解集为，即.(5) 解:原式等价于：或则原不等式的解集为.(6) 解: 原式等价于,则原不等式的解集为.(7) 解： 则原不等式的解集为(8) 解: 原式等价于：，则则，则原不等式的解集为（9）解：令，则原式变为当时， 则，则当时， 则或，则则原不等式的解集为（10）解：