第1章运动的描述

1、力学所研究的对象是物体的机械运动力学所研究的对象是物体的机械运动.机械运动机械运动：宏观物体之间宏观物体之间(或物体内各部分之或物体内各部分之间间)相对位置的变动相对位置的变动.牛顿力学牛顿力学: 以牛顿运动定律为基础的力学理论以牛顿运动定律为基础的力学理论 或称为经典力学或称为经典力学. 力力学学运动学运动学动力学动力学静力学静力学 运动学运动学: :研究物体位置研究物体位置随时间变化的规律随时间变化的规律, ,但不涉但不涉及引起变化的原因及引起变化的原因. . 动力学动力学: :研究物体间的研究物体间的相互作用相互作用, ,以及这种相互作以及这种相互作用所引起的物体运动状态用所引起的物体运

2、动状态变化的规律变化的规律. . 静力学静力学: :研究物体相互研究物体相互作用的平衡问题作用的平衡问题. .静力学可静力学可以看成是动力学的特殊情以看成是动力学的特殊情况况. .3第第1章运动的描述章运动的描述 （质点运动学）（质点运动学）1.1 参考系参考系 坐标系坐标系 物理模型物理模型1.2 位矢、位移、速度及加速度位矢、位移、速度及加速度1.3 曲线运动的描述曲线运动的描述1.4 运动学中的两类问题运动学中的两类问题1.5 相对运动相对运动* 4一、运动的绝对性和相对性 运动是绝对的运动是绝对的: 任何物体任何时刻都在不停地运动着任何物体任何时刻都在不停地运动着 运动又是相对的运动又

3、是相对的: 运动的描述是相对其他物体而言的。运动的描述是相对其他物体而言的。1-1 参参考考系系 坐标系坐标系 物理模型物理模型5二、参考系 为描述物体的运动，被选作为描述物体的运动，被选作基准基准的物体或物体系的物体或物体系称为参考系称为参考系 。运动学中参考系可任选运动学中参考系可任选 太阳参考系（太阳太阳参考系（太阳 恒星参考系）恒星参考系）常用的参考系：常用的参考系：6日心系日心系 地心参考系（地球地心参考系（地球 恒星参考系）恒星参考系）地心系地心系 地面参考系或实验室参考系地面参考系或实验室参考系地面系地面系 质心参考系质心参考系三、坐标系 为定量地描述物体为定量地描述物体的运动的

4、运动, ,须在参照系上选用一须在参照系上选用一个坐标系个坐标系。坐标系坐标系是参照系的数学抽象是参照系的数学抽象7xyz0(x,y,z)ijkr0 x rPre er xyzPA AnB Bn0s 0AB极坐标系极坐标系自然坐标系自然坐标系直角坐标系直角坐标系球面坐标系球面坐标系8四、物理模型 对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理想模型。方法描述的理想模型。质点模型：质点模型： 物体自身线度与所研究的物体运动的空物体自身线度与所研究的物体运动的

5、空间范围间范围r比可以忽略；或者物体作比可以忽略；或者物体作平动平动。真实的物体不满足上述条件则可将其视为质点系。真实的物体不满足上述条件则可将其视为质点系。综上所述：综上所述：选择合适的参考系选择合适的参考系. 以方便确定物体的运动性质；以方便确定物体的运动性质；建立恰当的坐标系建立恰当的坐标系. 以定量地描述物体的运动；以定量地描述物体的运动；提出较准确的物理模型提出较准确的物理模型. 以确定所提问题最基本运动规律以确定所提问题最基本运动规律. 9一.位置矢量由原点引向考察点的矢量。由原点引向考察点的矢量。 0rr表示为表示为1-2 位矢、位移、速度及加速度位矢、位移、速度及加速度 直角坐

6、标系中直角坐标系中kzj yixr xyz0(x,y,z)ijkr 222zyxr rzryrx cos,cos,cos1222 coscoscos10运动方程和轨道方程运动方程和轨道方程 质点在运动过程中，质点在运动过程中，空间位置空间位置随时间变化的函数随时间变化的函数式称为式称为运动方程运动方程。表示为：表示为： )(trr 直角坐标系中直角坐标系中ktzjtyitxtr)()()()( )()()(tzztyytxx 或或 运动方程是时间运动方程是时间t t的显函数。的显函数。 质点在空间所经过的路径称为轨道（轨迹）质点在空间所经过的路径称为轨道（轨迹）从运动方程中消去从运动方程中消去

7、t，即可得到，即可得到轨道方程轨道方程轨道方程不是时间轨道方程不是时间t t显函数显函数11二、位 移（矢量）由起始位置指向终位置的一个矢量由起始位置指向终位置的一个矢量1r2rr 12rrr 位置矢量的位置矢量的增量增量|12rrr 位移的模位移的模|12rrr 矢量模的增量矢量模的增量r 位移在直角坐标系中的表示式位移在直角坐标系中的表示式 kzj yixr rr |注意注意12l路程路程S t 时间内质点在空间内实际运行的路径距离时间内质点在空间内实际运行的路径距离r )(1tr)(2ttr s s与与 的区别的区别r 注意注意 s为标量为标量, 为矢量为矢量r rs rds d r 与

8、与 的区别的区别r r为标量，为标量， 为矢量为矢量r r rr rrdd 13三、速 度描述质点位置变化和方向变化快慢的物理量描述质点位置变化和方向变化快慢的物理量 1.平均速度与平均速率平均速度与平均速率 tr ts 1rA2rBrs rs ktzjtyitx 2.瞬时速度与瞬时速率瞬时速度与瞬时速率 trt 0lim dtrd速度方向：沿该点曲线的切线方向速度方向：沿该点曲线的切线方向.14tst 0lim dtds dtdsdtrd0 OA1rB3rC2r0 0 在直角坐标系中在直角坐标系中 kjikdtdzjdtdyidtdxzyx 15四、加速度描述质点速度变化快慢和方向的物理量描

9、述质点速度变化快慢和方向的物理量 OA1rB2rA B A B 平均加速度平均加速度ta 瞬时加速度瞬时加速度 dtdtat 0lim22dtrd在直角坐标系中在直角坐标系中kajaiakdtzdjdtydidtxdazyx 22222216例例:有一质点沿有一质点沿 x 轴作直线运动轴作直线运动, t 时刻的坐标为时刻的坐标为x = 5t2 - 3t3 (SI); 试求试求:(1)在第在第2秒内的平均速度秒内的平均速度;(2)第第2秒末的瞬时速度秒末的瞬时速度.(3)第第2秒末的加速度秒末的加速度.解解: (1) x = (5 22 - 3 23)- (5 12 - 3 13)= -6(m)

10、 t=1s,m/s6 tx (2)2910ttdtdx ,/162sm (3)dtda ,1810t 2m/s262 a17例例: 一人用绳子拉着车前进，小车位于高出绳端一人用绳子拉着车前进，小车位于高出绳端h的的平台上，人的速率为平台上，人的速率为 0 不变，求小车的速度和加速不变，求小车的速度和加速度（绳子不可伸长）与人的位置坐标度（绳子不可伸长）与人的位置坐标x的关系的关系l0 hx车车 解：人的速度为解：人的速度为 dtdx 0 车前进的速率车前进的速率 dtdl 车 O18222hxl xdtdxdtdll22 0 lx 车220hxx dtdxhxdxdxdtdxhxdtd)(22

11、02201 车)(322222201hxxhxdtd 车322220)(hxhdtda 车车191.3 曲线运动的描述曲线运动的描述平面自然坐标中的描述 由曲线上各点的切线和法线所组成的一系列坐标由曲线上各点的切线和法线所组成的一系列坐标系系称称自然坐标系。自然坐标系。ASO/0 0n0 切向单位矢量切向单位矢量指向物体运动方向指向物体运动方向法向单位矢量法向单位矢量0n指向轨道的凹侧指向轨道的凹侧r0 nvvv vnv DP1P21v 2vsABC1v2vv vv tBCtvatt00limlimtvtvtnt 00limlim tvvnt0limdtvddtvdn 00vvt; vnv D

12、ABC1v2vv tvtvatnt 00limlimtvntvtt 0000limlim 00 dtdvndtdv 2000nndvdddsdavnvnvndtdtds dtds0220 dtsddtdva 法向加速度法向加速度 切向加速度切向加速度 00nvvtn; dds 02nvanaatgan1的夹角与22222 vdtdvaaan引入曲率半径引入曲率半径ddvat2nva反映速度大小的变化率反映速度大小的变化率 反映速度方向的变化率反映速度方向的变化率 020nvdtdva解由图可知解由图可知 sinagyvgv22 20gtgvg t022 20gvvg tcosnagxvgv x

13、= 0 ygana 例：以速度例：以速度v0平抛一小球，不计空气阻力，求平抛一小球，不计空气阻力，求t时刻小时刻小球的切向加速度量值球的切向加速度量值a ，法向加速度量值，法向加速度量值an.24二、圆周运动自然坐标系自然坐标系:00 dtds020nRdtda 22dtsda Ran2 匀速圆周运动匀速圆周运动 ( =常数常数)0 aCRan 2 极坐标系中极坐标系中:)(t 角位置角位置12 *角位移角位移 方向为右手螺旋法则方向为右手螺旋法则dtd 角速度角速度角加速度角加速度22dddtdt tdtd00 tdt00 0 1 1 2 2p1p2极轴极轴方向同上方向同上匀速圆周运动匀速圆

14、周运动( 是恒量是恒量)dtd tdtd00 t0匀角加速圆周运动匀角加速圆周运动(是恒量是恒量)0t20012tt22002 () 例例 质点作半径为质点作半径为R的变速圆周运动的加的变速圆周运动的加速度大小为：速度大小为：（1）（2）（3）（4）t ddvR2vRvv2t dd22)()dd(Rvv2t讨讨 论论线量与角量的关系线量与角量的关系 同一种运动的两种描述方法，二者必有联系。同一种运动的两种描述方法，二者必有联系。 Rdds RdtdRdtds rr dtda dRRdt22 RRan 29例例:一一 小球作小球作匀减速圆周运动，初始转速匀减速圆周运动，初始转速n1 500转转每

15、分每分(r/min)，经，经t50 s后静止后静止.(1)求角加速度求角加速度和从制和从制动开始到动开始到静止静止小球小球的的转数转数N；(2)求求t25 s时质点的角时质点的角速度速度；(3)设圆的半径设圆的半径R1 m，求，求t25 s时时小球小球的的速速度和加速度度和加速度.22001=5050(50) =1250 rad 22tt解解(1)由题由题知知 ， 当当t50 s时时0，故：，故： 0150022=50 rad/s60n从开始制动到静止，质点的角位移及转数分别为：从开始制动到静止，质点的角位移及转数分别为：20/14. 35050sradt30(2)t25 s时质点的角速度为：

16、时质点的角速度为：0t502525 rad/s(3)t25 s时质点边缘上任一点的速度为时质点边缘上任一点的速度为R1 2578.5 m/s v相应的切向加速度和向心加速度为：相应的切向加速度和向心加速度为：2R3.14 m/sa 2232R1 (25 )6.16 10 m/sna rN62521250)(ta)(tr求导求导求导求导积分积分积分积分( ) tv 1.4 运动学中的两类问题运动学中的两类问题 一、一、由已知的运动方程可以求得质点在任一由已知的运动方程可以求得质点在任一时刻的速度和加速度；时刻的速度和加速度； 二、二、 已知质点的加速度以及初始条件已知质点的加速度以及初始条件,

17、可求可求质点速度及其运动方程质点速度及其运动方程 .dtrd dtda dtda ttadtd00 ttadt00 初始条件初始条件 t 0， = 0可确定可确定 dtdx ttxxdtdx00 ttdtxx00 初始条件初始条件 t 0，x = x0可确定可确定 一维情况：一维情况：x = 3t ，y = -4t2解将运动方程写成分量式解将运动方程写成分量式消去参变量消去参变量t，得轨道方程：，得轨道方程： 4x2 9y0 ， 由速度定义得由速度定义得)0( x38drvitjdt例例 已知一质点的运动方程为已知一质点的运动方程为r3ti 4t2 j，式中，式中r以以m计，计，t以以s计，求

18、质点运动的轨道、速度、加速度计，求质点运动的轨道、速度、加速度.其模为其模为 ，与，与x轴的夹角轴的夹角223(8 )vt8arctan.3t由加速度的定义得由加速度的定义得即加速度的方向沿即加速度的方向沿y轴负方向，大小为轴负方向，大小为28/.m s8dvajdt 38drvitjdt例例: 一质点沿半径为一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长的圆周运动，它通过的弧长s按按st2t2的规律变化的规律变化.问它在问它在2 s末的速率、切向加速末的速率、切向加速度和法向加速度各是多少？度和法向加速度各是多少？解由速率定义，有解由速率定义，有tdtds41 将将t2代入上式，得代入上式，得

19、2 s末的速率为末的速率为 1429 (ms1)法向加速度法向加速度Ran2 81 ms2 切向加速度切向加速度22dtsda 4 ms2 ，为一常数，为一常数则则2 s末的切向加速度为末的切向加速度为4 ms2.36例例: 一质点沿一质点沿x轴运动，其加速度轴运动，其加速度 a= k 2，式中，式中k为为正常数，设正常数，设t=0时，时，x=0， = 0； 求求 ，x作为作为 t 函数的表示式；函数的表示式； 求求 作为作为x的函数的表示式。的函数的表示式。 解解 2 k dtd分离变量得分离变量得 tvvkdtd020 kt )1(10 10 kt0 dtdxdtdx txdtktdx00

20、001 37)1ln(1 ktkx0 dxddtdxdxda dtd2 kdxd kdx d xkdx00 dkx 0ln kxe 0 381.5相对运动相对运动一、运动描述的相对性 由于选取不同的参考系，对同一物体运动的描述由于选取不同的参考系，对同一物体运动的描述就会不同就会不同. “静止参考系静止参考系”、“运动参考系运动参考系” 都是相对的都是相对的 39二、参照系之间的变换(非相对论效应非相对论效应)参考系参考系: S系和系和S/系系yxSoo/S/0rr/r1. 位矢变换关系位矢变换关系/0rrr 绝对绝对位矢位矢牵连牵连位矢位矢相对相对位矢位矢位移关系：位移关系：/0rrr 2. 速度变换关系：速度变换关系： /0 绝对绝对速度速度牵连牵连速度速度相对相对速度速度称为称为伽利略速度变换伽利略速度变换3.加速度变换关系：加速度变换关系： 40.const0 若若aa