2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)[理科数学](新课标)含规范标准答案

1、!-2012年普通高等学校招生全国统一考试 （全国卷 ） 理科数学 （新课标）含答案选择题：本大题共12 小题：每小题 5 分。1.已知集合 A 1,2,3,4,5,B （x,y） x A,y A,x y A ； ,则B中所含元素的个数为（(A)3(B) 6(C)(D)2.将 2 名教师： 4名学生分成 2个小组：分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动：每个小组由 和 2 名学生组成：不同的安排方案共有（）1名教师(A)12种(B)10种(C) 种 (D) 种3.下面是关于复数 z22 的四个命题：其中的真命题为（1ip1 : z 2p2 : z2 2ip3 :z 的共轭复数为 1 ip4 :z

2、 的虚部为 1(A) p2, p3(B) p1,p2(C) p ,p (D) p , p4.设 F1F2 是椭圆 E :2x2a2 by2 1(a b0） 的左、右焦点：3aP 为直线 x上一点：2的离心率为（ ）1（A）2F2PF1 是底角为 30o的等腰三角形：(B)(C)(D)5.已知 an 为等比数列： a4a7 2 ：a5a68 ：则 a1 a10 (A) 7 (B) 5(C)(D)6.如果执行右边的程序框图：输入正整数N(N 2) 和实数a1,a2,.,an：输出 A,B：则（(A)A B为a1, a2 ,., an 的和(B)AB为 a1, a2,., an 的算术平均数2(C)

3、A和 B分别是 a1, a2 ,., an 中最大的数和最小的数(D)A和B分别是 a1,a2,.,an中最小的数和最大的数7.如图：网格纸上小正方形的边长为1：粗线画出的是某几何体的三视图：则此几何体的体积为（(A) 6 (B) 9 (C) (D)8. 等轴双曲线 C 的中心在原点：焦点在x 轴上：C 与 抛物线 y2 16x 的准线交于A,B 两点：AB 4 3 ；则 C的实轴长为（）(A) 2 (B) 2 2 (C)(D)9.已知0：函数 f(x) sin(A) 12,45(B) 12,43x )在 ( , ) 上单调递减。则421(C) (0, 1 (D) (0,22的取值范围是（ ）

4、10. 已知函数 f （x）；则 yln(x 1) xf （x） 的图像大致为（）且 SC11.已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上：2 ；则此棱锥的体积为（SC 为球 O 的直径：ABC 是边长为 1的正三角形： ）(A) 62(B)(C) 32(D) 2212.设点 P 在曲线 yx上：点Q 在曲线 yln(2 x)上：则 PQ 最小值为（）(A)1 ln2 (B) 2(1 ln 2)(C) 1 ln2 (D) 2(1 ln 2)填空题：本大题共 4 小题：每小题 5 分。13.已知向量 a,b夹角为 45 ：且 a 1,2a b10 ；则 br 14. 设 x, y 满

5、足约束条件：x, y 0x y 1 ；则 z x 2y 的取值范围为 xy315.某个部件由三个元件按下图方式连接而成：元件1 或元件 2 正常工作：且元件 3 正常工作：则部件正常工作：设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000,50 2 ） ：且各个元件能否正常相互独立：那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为16.数列an 满足an 1 （ 1）nan 2n 1：则an 的前60项和为 三、解答题：解答应写出文字说明：证明过程或演算步骤。17.（12 分）已知 a,b,c分别为 ABC三个内角 A,B,C 的对边： acosC3a sin C b c 0（1

6、）求 A（2）若a 2： ABC的面积为 3；求 b,c。18.（12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花：然后以每枝10元的价格出售：如果当天卖不完：剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进 16枝玫瑰花：求当天的利润 y（单位：元 ）关于当天需求量 n （单位：枝： n N ）的函数解析式。2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝） ：整理得下表： 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（ i ）若花店一天购进 16枝玫瑰花： X表示当天的利润（单位：元） ：求 X的分布列： 数学期望及方差；（ ii ）若花店计划一天购进 16 枝

7、或 17 枝玫瑰花：你认为应购进 16 枝还是 17 枝？ 请说明理由。19. （ 12 分 ） 如 图 ： 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1 中1AC BCAA1 ： D 是棱 AA1的中点： DC1 BD2 1 1 1（ 1）证明： DC1 BC（ 2）求二面角 A1 BD C1 的大小。20.（ 12分）设抛物线 C: x2 2py（p 0）的焦点为 F ：准线为 l： A C ：已知以 F 为圆心：FA 为半径的圆 F 交l 于 B,D两点；（1）若 BFD 900： ABD的面积为 4 2；求 p的值及圆 F 的方程；（2）若 A,B,F 三点在同一直线 m上：直线 n与m平行：

8、且 n与C 只有一个公共点： 求坐标原点到 m,n 距离的比值。21）（本小题满分 12 分） 1已知函数 f（x） 满足满足 f （x） f （1）ex 1 f（0）xx2；2（1）求 f （x） 的解析式及单调区间；12（2）若 f（x）x2 ax b：求 （a 1）b的最大值。22012 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学参考答案二选择题：本大题共12 小题：每小题5 分。1. Dx 5,y 1,2,3,4 ：x 4, y1,2,3： x 3,y 1,2： x 2,y 1共10 个2. A甲地由 1名教师和2名学生：12C21C4212种3. Cz 2 2(1 i)1i1

9、i ( 1 i)( 1 i)p1 : z2 ： p2 : z2 2i ：p3: z的共轭复数为 1 i： p4: z的虚部为 14. CF2PF1 是底角为 30o 的等腰三角形PF23F2F1 2(2a c) 2cc3 ea45. Da4 a72： a5a6a4a78 a4 4,a72 或 a42,a7 4a4 4,a72 a18,a10 1a1 a10a42,a7 48,a1 1a1 a106. C7. B8. C9.A另：令：得：22k2(1()2得：22k59x ) , 不合题意 排除 (D)4 4 435( x ) , 合题意 排除 (B)(C)4 4 42： ( x )4244,3

10、154 2, 4 2243x 2k4242k2k 5 x4由题意知：2k4524即：2k2k取k 0得： 1210. Bg(x) ln(1 x) x g (x)x1xg (x) 01 x 0,g (x) 0 x 0 g(x) g(0) 0得： x 0 或 1x 0均有 f (x) 0 排除 A,C,D金解析：函数的定义域为 x x 1 x 0 ,可否定 D ；取 x 1 e 分母 2 e 0 f x 0, 可否定 A ；x011.A取 x 1 e1分母f x 0 ：可否定 C 。所以选 BABC的外接圆的半径33 ：点 O到面 ABC的距离R2r2SC为球 O的直径点 S到面 ABC的距离为2

11、d2631此棱锥的体积为 V S ABC3 ABC2d 1 3 2 63 4 3另：1S ABC3 ABC2R3排除B,C,D61x12. A 函数 yex 与函数2y ln(2 x) 互为反函数：图象关于x 对称1 函数 y e2上的点 P(x,1ex) 到直线y x 的距离为1xex22设函数 g(x)12ex x g (x) 21ex1 g(x)minln 2dminln 2由图象关于 yx 对称得： PQ 最小值为2dmin2(1 ln2)二填空题：本大题共4 小题：每小题 5 分。13.3 22a10 (2ab)2 10cos45103214. 3,3约束条件对应四边形 OABC边际

12、及内的区域： O(0,0), A(0,1), B(1,2), C(3,0)则 z x 2y 3,315. 83 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502)1 得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p23 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P1 1 (1 p)2 143 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 p1 p816.1830可证明： bn 1a4n 1 a4n 2a4n 3 a4n 4a4n 3 a4n 2a4n 2 a4n 16 bn 1615 14b1 a1 a2 a3 a4 10 S15 10 15 16

13、 1830 2 三、解答题：解答应写出文字说明：证明过程或演算步骤。17(12 分)解：( 1)由正弦定理得：（2）S1bc sin A3bc 42 ab22 c2解得： b c 212 分）解（ 1 ）当 n16时：y 16(105)80当n 15 时：y 5n5(16n)10n80得：10n80(n15)N)y(n80(n16)A6018.2）（i） X 可取 60： 70：80A 30 302bc cos A b c 4acosC 3a sin C b c 0 sin AcosC3sin AsinC sin BsinCsin AcosC 3 sin A sinC sin(a3sinA c

14、osA1 sin(A 30)C)12sinCP(X 60) 0.1,P(X70) 0.2, P( X 80) 0.7X 的分布列为X607080P0.10.20.7EX 60 0.1 70 0.2 80 0.7 76222DX 162 0.1 62 0.2 42 0.7 44( ii )购进 17 枝时：当天的利润为76.4y (14 5 3 5) 0.1 (15 5 2 5) 0.2 (16 5 1 5) 0.16 17 5 0.54 76.4 76 得：应购进 17 枝19.(12分)【解析】(1)在 Rt DAC中： AD AC 得： ADC 45同理： A1DC1 45CDC1 90得

15、： DC1 DC,DC1 BD DC1 面 BCD DC1 BC(2) DC1 BC,CC1 BC BC 面 ACC1A1 BC AC取A1B1的中点 O：过点 O作OH BD于点 H：连接 C1O,C1HA1C1 B1C1 C1O A1B1 ：面 A1B1C1 面 A1BDC1O 面 A1BDOH BD C1H BD 得：点 H 与点 D 重合：且 C1DO 是二面角 A1 BD C1的平面角设 AC a：则 C1O2a ：C1D2a 2C1O2C1DO 30即：二面角 A1 BD C1 的大小为 3020.(12分)【解析】(1)由对称性知： BFD 是等腰直角：斜边BD 2p点 A 到准

16、线 l 的距离 dFAFB 2pS ABD42BD d圆 F 的方程为 x2 (y 1)2 822)由对称性设 A(x0, x0 )(x02p0)：p则 F(0, )2点 A,B 关于点 F 对称得：B(x0, p 2p)2p22x0 3p得：A( 3p,3p)：直线 m:y23p p22x3p3y3p 022pyx2y 2p33p切点6p)直线n: yx 3yp 3(x63坐标原点到m, n距离的比值为 3p : 3p63。21.(12 分)【解析】1) f (x)f (1)ex 1f (0)xf (x) f (1)ex 1f (0) x令x1得： f(0)f (x)f (1)ex 1得： f(x) ex x12xx212x g(x)2f(0)f (1)ef (1) ef (x) exg (x) ex 1 0y g(x) 在 xR上单调递增f (x) 0 f (0)x 0, f (x)0 f (0) x得： f ( x)的解析式为 f (x) ex x12x2且单调递增区间为 (0, ) ：单调递减区间为 ( ,0)2) f(x)1x2 ax b2xh(x) ex (a 1)x b 0 得 h(x)当 a 1 0 时： h (x) 0y h(x) 在 x R 上单调递增时：